届高考数学文科第一篇考点五 考查角度1 古典概型与几何概型.docx

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届高考数学文科第一篇考点五考查角度1古典概型与几何概型

考查角度1　古典概型与几何概型

　　分类透析一　古典概型的应用

例1有5个小球（除颜色外无差别）,颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5个小球中任取2个不同颜色的小球,则取出的2个小球中含有红色小球的概率为（　　）.

A.B.C.D.

解析选取2个小球的方法有红黄,红蓝,红绿,红紫,黄蓝,黄绿,黄紫,蓝绿,蓝紫,绿紫,共10种,含有红色小球的选法有4种.由古典概型公式,所求概率P==.故选C.

答案C

方法技巧古典概型中基本事件数的探求方法:

（1）列举法.

（2）树状图法:

适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.

（3）列表法:

适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化,抽象的题目具体化.

　　分类透析二　几何概型的应用

例2设不等式组所表示的区域为M,函数y=-的图象与x轴所围成的区域为N,向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为（　　）.

A.B.C.D.

解析如图,由题意知区域M为△ABC及其内部,其面积为S=×4×2=8,

　　区域N为半圆及其内部（图中阴影部分）,其面积为S1=×π×22=2π,

∴所求概率P==.

故选A.

答案A

方法技巧数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间）,其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算P（A）.

例3甲、乙两人约定7:

10在某处会面,已知甲在7:

00~7:

20内某一时刻随机到达,乙在7:

05~7:

20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是（　　）.

A.B.C.D.

解析建立直角坐标系,如图,x,y分别表示甲,乙两人到达的时刻,则矩形中的点（x,y）表示甲,乙两人到达的时刻,则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是y-x≥5,其构成的区域为图中阴影部分,则所求的概率为P==.故选C.

答案C

方法技巧

（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.

（2）利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.

（3）几何概型有两个特点:

一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.

1.（2018年全国Ⅱ卷,文5改编）从数字1,2,3,4中任取两个不同数字组成两位数,则该两位数大于32的概率为（　　）.

A.B.C.D.

解析从数字1,2,3,4中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共12个,每个结果出现的可能性是相同的,所以该试验属于古典概型.记事件A为“取出两个不同数字组成的两位数大于32”,则A中包含34,41,42,43,共4个基本事件,根据古典概型概率公式,得P（A）==.故选B.

答案B

2.（2018年全国Ⅲ卷,文5改编）某单位电话总机室内有2部外线电话:

T1和T2.在同一时间内,T1打入电话的概率是0.4,T2打入电话的概率是0.5,两部同时打入电话的概率是0.2,则至少有一部电话打入的概率是（　　）.

A.0.9B.0.7C.0.6D.0.5

解析所求的概率为0.4+0.5-0.2=0.7.故选B.

答案B

3.（2018年全国Ⅰ卷,理10改编）折纸艺术是我国古代留下来的宝贵民间艺术,具有很高的审美价值和应用价值.右图是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形,然后在四个顶点处分别嵌入半径为正方形边长一半的扇形.向图中随机投入一个质点,则质点落在阴影部分的概率P1与质点落在正方形内且圆形区域外的概率P2的大小关系是（　　）.

A.P1>P2　　B.P1

C.P1=P2　　　　D.不能确定

解析将正方形内圆形区域外的四个直角进行沿直角边重合组合,恰好得到的图形就是阴影部分图形,所以阴影部分区域的面积等于正方形内圆形区域外的面积,故P1=P2.

答案C

4.（2017年全国Ⅰ卷,理2改编）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被y=3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为（　　）.

A.B.C.D.

解析设大圆的半径为R,函数y=3sinx的周期T==12,则R==6,

所以大圆的面积为S1=πR2=36π,两个小圆的面积之和为S2=π×12×2=2π,

故所求概率P==.故选B.

答案B

5.（2016年全国Ⅱ卷,理10改编）已知单位圆有一条长为的弦AB,动点P在圆内,则使得·≥2的概率为　　　　. 

解析如图,建立平面直角坐标系,设A（-1,0）,B（0,1）,则=（1,1）,

设点P的坐标为（x,y）,x2+y2≤1,

则=（x+1,y）,·=x+1+y≥2,故x+y-1≥0,

则使得·≥2的概率为P==.

答案

1.（2018衡水三轮模拟）已知某厂产品的合格率为0.8,现抽出10件产品检查,则下列说法正确的是（　　）.

A.合格产品少于8件B.合格产品多于8件

C.合格产品正好是8件D.合格产品可能是8件

解析因为某厂产品的合格率为0.8,所以抽出10件产品检查,合格产品约为10×0.8=8件,根据概率的意义,可得合格产品可能是8件,故选D.

答案D

2.（2018陕西咸阳一模）在区间[-1,1]上随机选取一个实数x,则事件“2x-1<0”的概率为（　　）.

A.B.C.　D.

解析由题意得,2x-1<0,即x<,由几何概型的概率公式可得事件“2x-1<0”的概率为P==.故选B.

答案B

3.（2018广东惠州模拟）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为（　　）.

A.B.C.D.

解析甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果,分别为（红,红）,（红,白）,（红,蓝）,（白,红）,（白,白）,（白,蓝）,（蓝,红）,（蓝,白）,（蓝,蓝）.他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果,即（红,红）,（白,白）,（蓝,蓝）,故他们选择相同颜色运动服的概率为=,故选A.

答案A

4.（2018广东省高三一模）下图为射击使用的靶子,靶中最小的圆的半径为1,靶中各圆的半径依次加1,在靶中随机取一点,则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（　　）.

A.　B.　C.　D.

解析根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得,此点取自黑色部分的概率是=.故选A.

答案A

5.（2018安徽马鞍山二模）从2名男生,3名女生中选3人参加某活动,则男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动的概率为（　　）.

A.B.C.D.

解析设2名男同学为A1,A2（A1是男生甲）,3名女同学为B1,B2,B3（B1是女生乙）,则总的基本事件有A1A2B1,A1A2B2,A1A2B3,A1B1B2,A1B1B3,A1B2B3,A2B1B2,A2B1B3,A2B2B3,B1B2B3,共10种可能,男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动有A1A2B2,A1A2B3,A1B2B3,A2B1B2,A2B1B3,A2B2B3,共6种方法.所以由古典概型的公式得P（A）==.故选D.

答案D

6.（2018江西上饶二模）在上随机取一个数x,则cosx的值介于与之间的概率为（　　）.

A.B.C.D.

解析令≤cosx≤,∵-≤x≤,∴-≤x≤-或≤x≤,

∴由几何概型的概率公式得P==.故选A.

答案A

7.（2018山东省枣庄市二模）七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是（　　）.

A.B.C.D.

解析如图,设AB=4,则OG=GH=FD=HI=IE=,DE=2,

所以此S四边形OGHI=×=2,S四边形EDFI=2×1=2,

所以此点取自阴影部分的概率是=.故选C.

答案C

8.（2018大庆市二模）在古代,直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”（如图）证明了勾股定理,证明方法叙述为:

“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:

“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和（朱实二）,四个全等的直角三角形的面积的和（朱实四）加上中间小正方形的面积（黄实）等于大正方形的面积（弦实）.”若弦图中“弦实”为16,“朱实一”为2,现随机向弦图内投入一粒黄豆（大小忽略不计）,则其落入小正方形内的概率为（　　）.

A.1-　B.　C.　D.1-

解析∵弦图中“弦实”为16,“朱实一”为2.

∴大正方形的面积为16,一个直角三角形的面积为2.

∴小正方形的面积为16-8,

∴随机向弦图内投入一粒黄豆（大小忽略不计）,则其落入小正方形内的概率为=1-.故选D.

答案D

9.（2018河南安阳二模）若执行如图所示的程序框图,其中rand[0,1]表示区间[0,1]上任意一个实数,则输出数对（x,y）的概率为（　　）.

A.B.

C.D.

　　解析本题概率类型为几何概型,测度为面积.所求概率为=.故选C.

答案C

10.（2018陕西高三联考）在由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点,则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（　　）.

A.9-B.9-πC.1-D.1-

解析画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,如图所示.△ABC的面积为S1=×3×6=9,△ABC内的点到其三个顶点的距离不都大于1所构成的区域的面积为S2=π,

∴该点到此三角形的三个顶点的距离都不小于1的概率为P==1-,故选D.

答案D

11.（2018河南高三一模）如图,在正六边形ABCDEF内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（　　）.

A.

B.

C.

D.

解析设正六边形的边长为2,AC与BE的交点为G,易知AB=2,BG=1,AG=CG=,CD=2,则所求的概率为=.故选D.

答案D

12.（2018山西一模）某市1路公交车每日清晨6:

30于始发站A站发出首班车,随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙两人某日早晨均需从A站搭乘该公交车上班,甲在6:

35-6:

55内随机到达A站候车,乙在6:

50-7:

05内随机到达A站候车,则他们能搭乘同一班公交车的概率是（　　）.

A.　B.C.　D.

　　解析建立如图所示的平面直角坐标系,x,y分别表示甲、乙两人到达A站的时刻,则坐标系中每个点（x,y）可对应某日甲、乙两人到达车站时刻的可能性.根据题意,甲、乙两人到达A站的时刻的所有可能组成的可行域是图中粗线围成的矩形,其中两人可搭乘同一班公交车对应的区域为黑色区域,根据几何概型概率计算公式可知,所求概率为=.故选A.

答案A

13.（2018华南师大附中模拟）已知如图所示的矩形,长为12,宽为5,在矩形内随机地投掷1000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆为600颗,则可以估计阴影部分的面积为　　　　　. 

解析由题意得≈,所以S≈36.

答案36

14.（2018江苏预测卷）在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务,则甲被选中,乙没有被选中的概率为　　　　　. 

解析利用列举法可知在含甲、乙的6名学生中任选2人有15种方法,其中甲被选中,乙没有被选中的方法有4种,则甲被选中,乙没有被选中的概率为.

答案

15.（2018绵阳南山中学模考）在一场比赛中,某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛,其得分的茎叶图如图所示,从上述得分超过10分的队员中任取2名,则这2名队员的得分之和超过35分的概率为　　　　. 

解析从得分超过10分的队员中任取2名,一共有以下10种不同的取法:

（12,14）,（12,15）,（12,20）,（12,22）,（14,15）,（14,20）,（14,22）,（15,20）,（15,22）,（20,22）.其中这2名队员的得分之和超过35分的取法有以下3种:

（14,22）,（15,22）,（20,22）.故所求概率P=.

答案