最高考届高考数学二轮专题突破课堂讲义第13讲圆锥曲线含轨迹问题文档格式.docx

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（1）∵2a＝10，＝，a2＝b2＋c2，

∴a＝5，c＝4，b＝3，∴椭圆方程是＋＝1.

（2）设点P（x，y），∵F（4，0），R＝3，B（0，3），|PT|＝|PB|，∴PF2－9＝PB2，∴（x－4）2＋y2－9＝x2＋（y－3）2，整理得到4x－3y＋1＝0.

如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．

（1）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（xP，yP），

∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，∴xP＝x且yP＝y.∵P在圆x2＋y2＝25上，∴x2＋＝25，整理得＋＝1，即C的方程是＋＝1.

（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是y＝（x－3），设此直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y＝（x－3）代入C的方程＋＝1，得＋＝1，化简得x2－3x－8＝0，∴x1＝，x2＝，

∴|AB|＝＝＝＝，即所截线段的长度是.

题型二椭圆的几何性质

例2已知椭圆＋＝1（a>

0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e.

（1）若e＝，求椭圆的方程；

（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．

①证明：

点A在定圆上；

②设直线AB的斜率为k，若k≥，求e的取值范围．

（1）解：

由e＝，c＝2，得a＝2，b＝2，则所求椭圆方程为＋＝1.

（2）设A（x0，y0），则B（－x0，－y0），故M，N.

由题意，得·

＝0，

化简，得x＋y＝4，所以点A在以原点为圆心，2为半径的圆上．

②解：

设A（x0，y0），则

＋＝（1＋k2）．

将e＝＝，x得a＝，b2＝a2－c2＝－4，代入上式整理，得k2（2e2－1）＝e4－2e2＋1.

因为e4－2e2＋1>

0，k2＞0，所以2e2－1＞0，即e＞.

又k2＝≥3，化简得

解得＜e2≤4－2，即＜e≤－1.

故离心率的取值范围是.

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2＋y2＝1上．

（2）设A、B、M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使＝cosθ＋sinθ.

①求证：

直线OA与OB的斜率之积为定值；

②求OA2＋OB2.

（1）解：

依题意，得c＝1，于是a＝，b＝1，所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）①证明：

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则＋y＝1①，＋y＝1②.

又设M（x，y），因＝cosθ＋sinθ，故因M在椭圆上，故＋（y1cosθ＋y2sinθ）2＝1.整理得cos2θ＋sin2θ＋2cosθsinθ＝1.将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得＋y1y2＝0.所以kOAkOB＝＝－为定值．

因（y1y2）2＝＝·

＝（1－y）·

（1－y）＝1－（y＋y）＋yy，故y＋y＝1.

又＋＝2，故x＋x＝2，

所以OA2＋OB2＝x＋y＋x＋y＝3.

题型三直线与椭圆的位置关系

例3如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P（0，1），Q（0，2），设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：

点T在椭圆C上．

由题意知b＝＝，因为离心率e＝＝，所以＝＝，

所以a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）证明：

由题意可设M、N的坐标分别为（x0，y0）、（－x0，y0），则直线PM的方程为y＝x＋1，①

直线QN的方程为y＝x＋2.②

（证法1）联立①②解得x＝，y＝，即T.

由＋＝1可得x＝8－4y.

因为＋＝

＝＝＝＝1，

所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

（证法2）设T（x，y）．

联立①②解得x0＝，y0＝.

因为＋＝1，

所以＋＝1.

整理得＋＝（2y－3）2，

所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.

题型四与椭圆有关的综合问题

例4如图，已知A1、A2、B1、B2是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的四个顶点，△A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.

（1）求椭圆C及圆M的方程；

（2）若点D是圆M劣弧上一动点（点D异于端点A1、B2），直线B1D分别交线段A1B2、椭圆C于点E、G，直线B2G与A1B1交于点F.

①求的最大值；

②试问：

E、F两点的横坐标之和是否为定值？

若是，求出该定值；

若不是，说明理由．

（1）由题意知，B2（0，1），A1（－，0），

所以b＝1，a＝，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

易得圆心M，A1M＝，

所以圆M的方程为＋y2＝.

（2）设直线B1D的方程为y＝kx－1，

与直线A1B2的方程y＝x＋1联立，

解得点E，联立

消去y并整理，得（1＋3k2）x2－6kx＝0，

解得点G，

①因为G、E、B1共线，所以＝＝＝＝1－＝1＋≤1＋＝，当且仅当k＝－时，取“＝”，

所以的最大值为.

②直线B2G的方程为y＝x＋1＝－x＋1，

与直线A1B1的方程y＝－x－1联立，解得点F，

所以E、F两点的横坐标之和为＋＝－2.

故E、F两点的横坐标之和为定值，该定值为－2.

在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：

x2＋y2－4x＋2＝0的圆心．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1、l2.当直线l1、l2都与圆C相切时，求P的坐标．

（1）由x2＋y2－4x＋2＝0，得（x－2）2＋y2＝2，故圆C的圆心为点（2，0），从而可设椭圆E的方程为＋＝1（a＞b＞0），其焦距为2c，由题设知c＝2，e＝＝，∴a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12，故椭圆E的方程为＋＝1.

（2）设点P的坐标为（x0，y0），l1、l2的斜率分别为k1、k2.则l1、l2的方程分别为l1：

y－y0＝k1（x－x0），l2：

y－y0＝k2（x－x0），且k1k2＝.由l1与圆C：

（x－2）2＋y2＝2相切，得＝，即[（2－x0）2－2]k＋2（2－x0）y0k1＋y－2＝0.同理可得[（2－x0）2－2]k＋2（2－x0）y0k2＋y－2＝0.从而k1、k2是方程[（2－x0）2－2]k2＋2（2－x0）y0k＋y－2＝0的两个实根，于是①

且k1k2＝＝.由得

5x－8x0－36＝0，解得x0＝－2或x0＝.由x0＝－2，得y0＝±

3；

由x0＝，得y0＝±

，它们满足①式，故点P的坐标为（－2，3）或（－2，－3）或，或.

1.（2014·

安徽卷）设F1、F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．

x2＋y2＝1

设B在x轴上的射影为B0，由题意得|B0F1|＝|F1F2|＝，得B0坐标为，即B点横坐标为－.设直线AB的斜率为k.又直线过点F1（－c，0），∴直线AB的方程为y＝k（x＋c）．

由得（k2＋b2）x2＋2ck2x＋k2c2－b2＝0，

其两根为－和c，由韦达定理得

解得c2＝，∴b2＝1－c2＝.

∴椭圆方程为x2＋y2＝1.

2.（2014·

江西卷）过点M（1，1）作斜率为－的直线与椭圆C：

0）相交于A、B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则＋＝1，＋＝1，

∴＋＝0，

即＝－＝－×

1＝.

∴a2＝2b2＝2（a2－c2），即a2＝2c2，∴e＝.

3.（2014·

湖北卷）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________．

由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2.

∵∠F1PF2＝，∴由余弦定理可得4c2＝r＋r－2r1r2cos　①.在椭圆中，①化简为即4c2＝4a－3r1r2，即＝－1　②；

在双曲线中，①化简为即4c2＝4a＋r1r2，即＝－＋1　③.联立②③，得＋＝4，由柯西不等式得≥，即≤×

4＝，即＋≤＝.

4.（2014·

湖南卷）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px（p＞0）经过C、F两点，则＝________．

1＋

依题意可得C，F，代入抛物线方程得a＝p，b2＝2a，化简得b2－2ab－a2＝0，即－2－1＝0，解得＝1＋.

5.（2014·

重庆卷）如图，设椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

（1）设F1（－c，0），F2（c，0），其中c2＝a2－b2，

由＝2，得DF1＝＝c.

从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1.

从而|DF1|＝.由DF1⊥F1F2，

得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，

因此|DF2|＝.

所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，

故a＝，b2＝a2－c2＝1，

因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1>

0，y2>

0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2＝－x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|.

由

（1）知F1（－1，0），F2（1，0），所以＝（x1＋1，y1），＝（－x1－1，y1），

再由F1P1⊥F2P2，得－（x1＋1）2＋y＝0，

由椭圆方程得1－＝（x1＋1）2，即3x＋4x＝0.

解得x1＝－或x1＝0.

当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；

当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，

由F1P1，F2P2过圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥F1P1.又|CP1|＝|CP2|，

故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝.

6.（2014·

天津卷）设椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）．

由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.又b2＝a2－c2，则＝，所以椭圆的离心率e＝.

（2）由

（1）知a2＝2c2，b2＝c2.

故椭圆方程为＋＝1.

设P（x0，y0），由F1（－c，0），B（0，c），有＝（x0＋c，y0），＝（c，c）．

由已知，有·

＝0，即（x0＋c）c＋y0c＝0.

又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①

又点P在椭圆上，所以＋＝1.②

由①和②可得3x＋4cx0＝0.

而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.

代入①得y0＝，即点P的坐标为.

设圆的圆心为T（x1，y1），则

x1＝＝－c，y1＝＝c，

进而圆的半径r＝＝c.

设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.

由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±

，所以直线l的斜率为4＋或4－.

（本题模拟高考评分标准，满分16分）

（2014·

南师附中）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A1（－2，0）、A2（2，0）．过点D（1，0）的直线交椭圆于M、N两点，直线A1M与NA2的交点为G.

（1）求实数a、b的值；

（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1、P2使得△P1MN和△P2MN的面积为S，求S的取值范围；

（3）求证：

点G在一条定直线上．

由题设可知a＝2.（1分）

因为e＝，即＝，所以c＝.

因为b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以b＝1.（2分）

（2）解：

由题设可知，椭圆的方程为＋y2＝1，直线MN的方程为y＝x－1.

设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立方程组

消去y可得5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝.

将x1＝0，x2＝代入直线MN的方程，解得y1＝－1，y2＝.

所以MN＝＝.（4分）

设与直线MN平行的直线m的方程为y＝x＋λ.

联立方程组

消去y可得5x2＋8λx＋4λ2－4＝0，

若直线m与椭圆只有一个交点，则满足Δ＝64λ2－20（4λ2－4）＝0，解得λ＝±

.（6分）

当直线m为y＝x－时，直线MN与m之间的距离为d1＝＝；

当直线m为y＝x＋时，直线MN与m之间的距离为d2＝＝.（8分）

设点C到MN的距离为d，要使△CMN的面积为S的点C恰有两个，

则需满足d1＜d＜d2，

即＜d＜.

因为S＝d·

MN＝d，

所以＜S＜.（10分）

（3）证明：

（方法1）设直线A1M的方程为y＝k1（x＋2），直线A2N的方程为y＝k2（x－2）．

联立方程组消去y得（1＋4k）x2＋16kx＋16k－4＝0，

解得点M的坐标为.

同理，可解得点N的坐标为.（12分）

由M、D、N三点共线，有＝，

化简得（k2－3k1）（4k1k2＋1）＝0.

由题设可知k1与k2同号，所以k2＝3k1.（14分）

解得交点G的坐标为.

将k2＝3k1代入点G的横坐标，得

xG＝＝＝4.

所以，点G恒在定直线x＝4上．（16分）

（方法2）显然，直线MN的斜率为0时不合题意．

设直线MN的方程为x＝my＋1.

令m＝0，解得M、N或M、N.

当M、N时，直线A1M的方程为y＝x＋，直线A2N的方程为y＝x－.

解得交点G的坐标为（4，）；

当M、N时，由对称性可知交点G的坐标为（4，－）．

若点G恒在一条定直线上，则此定直线必为x＝4.（12分）

下面证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x＝4上．

设M（x1，y1）、N（x2，y2）、G（4，y0）．

由点A1、M、G三点共线，有＝，即y0＝.

再由点A2、N、G三点共线，有＝，即y0＝.

所以＝.　①

将x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入①式，

化简得2my1y2－3（y1＋y2）＝0.　②（14分）

联立方程组消去x得

（m2＋4）y2＋2my－3＝0，

从而有y1＋y2＝，y1y2＝.

将其代入②式，有2m·

－3·

＝0成立．

所以当m为任意实数时，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x＝4上．（16分）

1.已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________，若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．

　（－∞，1）∪（2，＋∞）

2.点P为椭圆＋＝1（a>

0）上一点，F1、F2为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°

，∠PF2F1＝15°

，则椭圆的离心率为________．

3.已知抛物线y2＝2px（p>

0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．

x＝－1

4.设P点在圆x2＋（y－2）2＝1上移动，点Q在椭圆＋y2＝1上移动，则|PQ|的最大值是________．

圆心C（0，2），|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，于是只要求|CQ|的最大值．设Q（x，y），∴|CQ|＝＝＝.∵－1≤y≤1，∴当y＝－时，|CQ|max＝＝，∴|PQ|max＝1＋.

5.如图，椭圆C：

＋＝1的右顶点为A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形（O为坐标原点），点E、P分别是线段OA、AM的中点．

（1）求证：

直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；

（2）若过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于点R、S（不同于B），且它们的斜率k1、k2满足k1k2＝－，求证：

直线RS过定点，并求出此定点的坐标．

证明：

（1）由题意得A（4，0），B（0，2），D（0，－2），E（2，0），P（4，1），所以直线DE的方程为y＝x－2，直线BP的方程为y＝－x＋2.解方程组得

所以直线DE与直线BP的交点坐标为.

因为＋＝1，所以点在椭圆＋＝1上，即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．

（2）直线BR的方程为y＝k1x＋2.

解方程组得或

所以点R的坐标为.

因为k1k2＝－，所以直线BS的斜率k2＝－，直线BS的方程为y＝－x＋2.

所以点S的坐标为.

（若写成“同理可得点S的坐标为”也可以）所以R、S关于坐标原点O对称，故R、O、S三点共线，即直线RS过定点O.

6.如图，已知椭圆C：

0），点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：

x2＋y2＝（c是椭圆的半焦距）相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.

（1）若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；

（2）当c为定值时，求证：

直线MN经过一定点E，并求·

的值（O是坐标原点）；

（3）若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．

令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝，n＝，

得所以m＝，n＝，

即椭圆C的方程为＋＝1.

直线AB：

＋＝1，设点P（x0，y0），则OP的中点为，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为＋＝，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝作差，即有直线MN：

x0x＋y0y＝.因为点P（x0，y0）在直线AB上，所以＋＝1，将y0＝b＋x0代入MN方程，化简得x0（x＋y）＋＝0，所以得x＝－，y＝，故定点E，则·

＝·

（－，）＝.

（3）解：

＋＝1与圆G：

x2＋y2＝（c是椭圆的半焦距）相离，则＞，即4a2b2＞c2（a2＋b2），即4a2（a2－c2）＞c2（2a2－c2），得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜3－.①

连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以≤c，即a2b2≤c2（a2＋b2），即a2（a2－c2）≤c2（2a2－c2），得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜1，所以≤e2＜1.②

综上，由①②得≤e2＜3－，所以≤e＜.

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