cordic算法详解Word文档格式.docx
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1、CORDIC的几何原理介绍
假设在xy坐标系中有一个点P1（x1，y1），将P1点绕原点旋转θ角后得到点P2（x2，y2）。
于是可以得到P1和P2的关系。
x2=x1cosθ–y1sinθ=cosθ（x1–y1tanθ）
y2=y1cosθ+x1sinθ=cosθ（y1+x1tanθ）
以上就是CORDIC的几何原理部分，而我们该如何深入理解这个几何原理的真正含义呢？
从原理中，我们可以知道，当已知一个点P1的坐标，并已知该点P1旋转的角度θ，则可以根据上述公式求得目标点P2的坐标。
然后，麻烦来了，我们需要用FPGA去执行上述运算操作，而FPGA的Verilog语言根本不支持三角函数运算。
因此，我们需要对上述式子进行简化操作，将复杂的运算操作转换为一种单一的“迭代位移”算法。
那么，接下来我们介绍优化算法部分。
2、CORDIC的优化算法介绍
我们先介绍算法的优化原理：
将旋转角θ细化成若干分固定大小的角度θi，并且规定θi满足tanθi=2-i，因此∑θi的值在[-99.7°
，99.7°
]范围内，如果旋转角θ超出此范围，则运用简单的三角运算操作即可（加减π）。
然后我们需要修改几何原理部分的假设，假设在xy坐标系中有一个点P0（x0，y0），将P0点绕原点旋转θ角后得到点Pn（xn，yn）。
于是可以得到P0和Pn的关系。
xn=x0cosθ–y0sinθ=cosθ（x0–y0tanθ）
yn=y0cosθ+x0sinθ=cosθ（y0+x0tanθ）
然后，我们将旋转角θ细化成θi，由于每次的旋转角度θi是固定不变的（因为满足tanθi=2-i），如果一直朝着一个方向旋转则∑θi一定会超过θ（如果θ在[-99.7°
]范围内）。
因此我们需要对θi设定一个方向值di。
如果旋转角已经大于θ，则di为-1，表示下次旋转为顺时针，即向θ靠近；
如果旋转角已经小于θ，则di为1，表示下次旋转为逆时针，即也向θ靠近。
然后我们可以得到每次旋转的角度值diθi，设角度剩余值为zi+1，则有zi+1=zi-diθi，其中z0为θ。
如此随着i的增大，角度剩余值zi+1将会趋近于0，此时运算结束。
（注：
可以发现，di与zi的符号位相同）
第一次旋转θ0，d0为旋转方向：
x1=cosθ0（x0–d0y0tanθ0）
y1=cosθ0（y0+d0x0tanθ0）
第二次旋转θ1，d1为旋转方向：
x2=cosθ1（x1–d1y1tanθ1）=cosθ1cosθ0（x0–d0y0tanθ0–d1y0tanθ1–d1d0x0tanθ1tanθ0）
y2=cosθ1（y1+d1x1tanθ1）=cosθ1cosθ0（y0+d0x0tanθ0+d1x0tanθ1–d1d0y0tanθ1tanθ0）
大家可能已经发现了，在我们旋转的过程中，式子里一直会有tanθi和cosθi，而每次都可以提取出cosθi。
虽然我们的FPGA无法计算tanθi，但我们知道tanθi=2-i，因此可以执行和tanθi效果相同的移位操作2-i来取代tanθi。
而对于cosθi，我们可以事先全部提取出来，然后等待迭代结束之后（角度剩余值zi+1趋近于0，一般当系统设置最大迭代次数为16时zi+1已经很小了），然后计算出∏cosθi的值即可。
总结一下：
迭代公式有三：
xi+1=xi–diyi2-i，提取了cosθi，2-i等效替换了tanθi之后
yi+1=yi+dixi2-i，提取了cosθi，2-i等效替换了tanθi之后
zi+1=zi-diθi
其中i从0开始迭代，假设当i=n-1时，zn趋近于0，迭代结束。
然后对结果乘上∏cosθi（i从0至n-1），于是得到点Pn（xn∏cosθi，yn∏cosθi），此时的点Pn就近似等于之前假设中的点Pn（xn，yn）了，所以此时的点Pn同样满足之前假设得到的公式：
xn∏cosθi=x0cosθ–y0sinθ
yn∏cosθi=y0cosθ+x0sinθ
由于i从0至n-1，所以上式可以转化成下式：
xn=1/∏cosθi（x0cosθ–y0sinθ），（其中i从0至n-1）
yn=1/∏cosθi（y0cosθ+x0sinθ），（其中i从0至n-1）
注意：
上式中的xn，yn是经过迭代后的结果，而不是之前假设中的点Pn（xn，yn）。
了解这点是十分重要的。
根据高中学的三角函数关系，可以知道cosθi=1/[（1+tan2θi）^0.5]=1/[（1+2-2i）^0.5]，而1/[（1+2-2i）^0.5]的极值为1，因此我们可以得出一个结论：
当i的次数很大时，∏cosθi的值趋于一个常数。
关于如何计算∏cosθi的代码如下所示：
closeall;
clear;
clc;
%初始化
die=16;
%迭代次数
jiao=zeros（die,1）;
%每次旋转的角度
cos_value=zeros（die,1）;
%每次旋转的角度的余弦值
K=zeros（die,1）;
%余弦值的N元乘积
K_1=zeros（die,1）;
%余弦值的N元乘积的倒数
fori=1:
die
a=2^（-（i-1））;
jiao（i）=atan（a）;
cos_value（i）=cos（jiao（i））;
if（i==1）
K（i）=cos_value（i）;
K_1（i）=1/K（i）;
else
K（i）=K（i-1）*cos_value（i）;
end
end
jiao=vpa（rad2deg（jiao）*256,10）
cos_value=vpa（cos_value,10）
K=vpa（K,10）
K_1=vpa（K_1,10）12345678910111213141516171819202122232425
从上表也可以看出，当迭代次数为16，i=15时，cosθi的值已经非常趋近于1了，∏cosθi的值则约等于0.607253，1/∏cosθi为1.64676。
所以当迭代次数等于16时，通过迭代得到的点Pn坐标已经非常接近之前假设中的点Pn。
所以，当迭代次数等于16时，这个式子是成立的。
此时，已知条件有三个x0、y0和θ。
通过16次迭代，我们可以得到xn和yn。
而式中的∏cosθi是个随i变化的值，我们可以预先将其值存入系统中。
然后，我们人为设置x0=∏cosθi，y0=0，则根据等式，xn=cosθ，yn=sinθ。
其中1/∏cosθi的值我们也同样预先存入系统中。
如此，我们就实现了正弦和余弦操作了。
二、CORDIC的具体操作流程介绍
1、CORDIC的旋转模式
由于算法较复杂，一休哥再总结一些具体的操作流程。
1、设置迭代次数为16，则x0=0.607253，y0=0，并输入待计算的角度θ，θ在[-99.7°
]范围内。
2、根据三个迭代公式进行迭代，i从0至15：
xi+1=xi–diyi2-i
yi+1=yi+dixi2-i
注：
z0=θ，di与zi同符号。
3、经过16次迭代计算后，得到的x16和y16分别为cosθ和sinθ。
至此，关于CORDIC的三角函数cosθ和sinθ的计算原理讲解结束。
关于CORDIC算法计算三角函数cosθ和sinθ的MATLAB代码如下所示：
x=zeros（die+1,1）;
y=zeros（die+1,1）;
z=zeros（die+1,1）;
x
（1）=0.607253;
%初始设置
z
（1）=pi/4;
%待求角度θ
%迭代操作
fori=1:
die
ifz（i）>
=0
d=1;
d=-1;
x（i+1）=x（i）-d*y（i）*（2^（-（i-1）））;
y（i+1）=y（i）+d*x（i）*（2^（-（i-1）））;
z（i+1）=z（i）-d*atan（2^（-（i-1）））;
cosa=vpa（x（17）,10）
sina=vpa（y（17）,10）
c=vpa（z（17）,10）123456789101112131415161718192021222324
2、CORDIC的向量模式
讲完了旋转模式后，我们接着讲讲向量模式下的圆坐标系。
在这里，我们需从头来过了，假设在xy坐标系中有一个点P0（x0，y0），将P0点绕原点旋转θ角后得到点Pn（xn，0），θ在[-99.7°
于是可以得到P0和Pn的关系：
yn=y0cosθ+x0sinθ=cosθ（y0+x0tanθ）=0
如何得到Pn（xn，yn）一直是我们的目标。
而此时，我们还是列出那几个等式：
根据三个迭代公式进行迭代，i从0至15：
不过此时我们尝试改变初始条件：
设置迭代次数为16，则x0=x，y0=y，z0=0，di与yi的符号相反。
表示，经过n次旋转，使Pn靠近x轴。
因此，当迭代结束之后，Pn将近似接近x轴，此时yn=0，可知旋转了θ，即zn=θ=arctan（y/x）。
而
因此，可得ycosθ+xsinθ=0，
xn=1/∏cosθi（xcosθ–ysinθ）=1/∏cosθi{[（xcosθ–ysinθ）^2]^（1/2）}
=1/∏cosθi{[x2cos2θ+y2sin2θ–2xysinθcosθ]^（1/2）}
=1/∏cosθi{[x2cos2θ+y2sin2θ+y2cos2θ+x2sin2θ]^（1/2）}
=1/∏cosθi{[x2+y2]^（1/2）}
由上可以知道，我们通过迭代，就算出了反正切函数zn=θ=arctan（y/x），以及向量OP0（x，y）的长度d=xn*∏cosθi。
关于反正切函数，一休哥要多啰嗦几句了，由于θ在[-99.7°
]范围内，所以我们输入向量OP0（x，y）时，需要保证其在第一、四象限。
关于CORDIC算法计算反三角函数arctanθ的MATLAB代码如下所示：
x
（1）=100;
y
（1）=200;
k=0.607253;
ify（i）>
d=vpa（x（17）*k,10）
a=vpa（y（17）,10）
c=vpa（rad2deg（z（17））,10）12345678910111213141516171819202122232425
三、CORDIC的旋转模式——Verilog仿真
一休哥在编写CORDIC算法时，采用了16级流水线，仿真效果十分明显。
以下是顶层文件的代码。
为了避免浮点运算，为了满足精度要求，一休哥对每个变量都放大了2^16倍，并且引入了有符号型reg和算术右移。
关于Verilog代码的编写，一休哥已经不想多说了，因为代码是完全符合我之前所讲的CORDIC的原理与MATLAB仿真代码。
相信大家在看完本文的前两个部分之后，对Verilog的理解应该不是难事儿。
moduleCordic_Test
（
CLK_50M,RST_N,
Phase,
Sin,Cos,Error
）;
inputCLK_50M;
inputRST_N;
input[31:
0]Phase;
output[31:
0]Sin;
0]Cos;
0]Error;
`definerot032'
d2949120//45度*2^16
`definerot132'
d1740992//26.5651度*2^16
`definerot232'
d919872//14.0362度*2^16
`definerot332'
d466944//7.1250度*2^16
`definerot432'
d234368//3.5763度*2^16
`definerot532'
d117312//1.7899度*2^16
`definerot632'
d58688//0.8952度*2^16
`definerot732'
d29312//0.4476度*2^16
`definerot832'
d14656//0.2238度*2^16
`definerot932'
d7360//0.1119度*2^16
`definerot1032'
d3648//0.0560度*2^16
`definerot1132'
d1856//0.0280度*2^16
`definerot1232'
d896//0.0140度*2^16
`definerot1332'
d448//0.0070度*2^16
`definerot1432'
d256//0.0035度*2^16
`definerot1532'
d128//0.0018度*2^16
parameterPipeline=16;
parameterK=32'
h09b74;
//K=0.607253*2^16,32'
h09b74,
regsigned[31:
0]x0=0,y0=0,z0=0;
0]x1=0,y1=0,z1=0;
0]x2=0,y2=0,z2=0;
0]x3=0,y3=0,z3=0;
0]x4=0,y4=0,z4=0;
0]x5=0,y5=0,z5=0;
0]x6=0,y6=0,z6=0;
0]x7=0,y7=0,z7=0;
0]x8=0,y8=0,z8=0;
0]x9=0,y9=0,z9=0;
0]x10=0,y10=0,z10=0;
0]x11=0,y11=0,z11=0;
0]x12=0,y12=0,z12=0;
0]x13=0,y13=0,z13=0;
0]x14=0,y14=0,z14=0;
0]x15=0,y15=0,z15=0;
0]x16=0,y16=0,z16=0;
reg[1:
0]Quadrant[Pipeline:
0];
always@（posedgeCLK_50MornegedgeRST_N）
begin
if（!
RST_N）
begin
x0<
=1'
b0;
y0<
z0<
=K;
=32'
d0;
=Phase[15:
0]<
<
16;
x1<
y1<
z1<
elseif（z0[31]）
=x0+y0;
=y0-x0;
=z0+`rot0;
=x0-y0;
=y0+x0;
=z0-`rot0;
x21）;
z21）;
z2<
=z1-`rot1;
x32）;
z32）;
z3<
=z2-`rot2;
x43）;
z43）;
z4<
=z3-`rot3;
x54）;
z54）;
z5<
=z4-`rot4;
x65）;
z65）;
z6<
=z5-`rot5;
x76）;
z76）;
z7<
=z6-`rot6;
x87）;
z87）;
z8<
=z7-`rot7;
x98）;
z98）;
z9<
=z8-`rot8;
always@（posedgeCLK_50Mor
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