特殊三角形综合培优打印Word格式文档下载.docx

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角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、直角三角形

1.认识直角三角形。

学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类：

如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。

通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。

如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。

用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

如果AB＝AC且∠A＝90°

，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。

会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。

能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°

，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点：

在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：

斜边上的高线和斜边上的中线。

【例题精讲】

等腰三角形

双基训练

**1.已知等腰三角形ABC的底边BC=8，|AC-BC|=3，则腰AC的长为。

**2.若等腰三角形的周长为12，腰长为x，则腰长x的取值范围是。

**3.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为。

**4.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为。

**5.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为500，则底角B的大小为。

**6.已知两根木棒的长分别是8cm、10cm，要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长x的范围是；

如果以5cm为等腰三角形的一边，另一边为10cm，则它的周长应为。

**7.图14-32是由两个全等的有一个角为300的直角三角形拼成的，其中，两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数自变量（）。

（2001年南昌市中考试题）

（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个

**8.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为a，则其底边上的高是。

纵向应用

**1.如图14-33，在ΔABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：

①∠EBO=∠DCO；

②∠BEO=∠CDO；

③∠BE=∠CD；

④∠OB=∠OC。

（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定ΔABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）？

（2）选择第

（1）小题中的一种情形，证明：

ΔABC是等腰三角形。

***2.如图14-34，已知∠1=∠2，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点M，求证：

∠M=

（∠ACB-∠B）.

***3.如图14-35，在RtΔABC中，∠C=900，AD∥BC，∠CBE=

∠ABE。

求证：

ED=2AB，【6】

***4.如图14-36，在ΔABC中，AB=AC，CM是边AB上的中线，BD=AB，求证：

CD=2CM。

【8】

***5.如图14-37，在ΔABC中，AD是∠A的平分线，CD⊥AD，垂足为D，G为BC的中点，求证：

∠DGC=∠B。

【6】

***6.如图14-38，已知等边ΔABC的周长为6，BD是AC边上的高，E是BC延长线上一点，CD=CE，求ΔBDE的周长。

【4】

***7.如图14-39，已知AB=AC，BD、CE分别是∠B、∠C的平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，求证：

ΔAMN是等腰三角形。

【5】

横向拓展

***1.已知等腰三角形三边的长为a、b、c且a=c，若关于x的一元二次方程ax2-

bx+c=0的两根之差为

，则等腰三角形的一个底角是（）。

（A）150（B）300（C）450（D）600

***2.已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5。

（1）k为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形？

（2）k为何值时，ΔABC是等腰三角形？

并求出ΔABC的周长。

p.115【8】

***3.如图14-40，已知等边ΔABC边BA延长线上有一点D，BC延长线上有一点E，且AD=BE，求证：

DC=DE。

***4.如图14-41，在ΔABC中，AB=AC，D为ABC外一点∠ABD=600，∠ADB=900-

BDC，求证：

AB-BD=DC。

【10】

***5.如图14-42，∠ABD=∠ACD=600，∠ADB=900-

∠BDC，求证：

***6.如图14-43，已知线段b、c和ma，求作ΔABC，使AB=c，AC=b,BC边上的中线AD=ma.【5】

****7.如图14-44，在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰AC的延长线上取CE=BD，连DE，则DE>

BC.【8】

等边三角形

*1.如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。

【2】

**2.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF‖AB，AE=1，则AD=，ΔEFC的周长=。

**3.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：

BP=2PG。

【3】

**1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

***2.如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：

GH∥AB。

***3.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：

ΔCMN是等边三角形。

（1998年第13届江苏省初中数学竞赛试题）

***4.如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：

ΔCMN为等边三角形。

***5.如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：

ΔABE为等边三角形。

***6.如图14-53，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE，求证：

ΔADE是等边三角形。

***7.如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。

ΔMNP是等边三角形。

***8.如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>

CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：

ΔEFM是等边三角形。

p.117【6】

***9.如图14-56，在

ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：

ΔDEF是等边三角形。

***10.如图14-57，已知D为等边ΔABC内一点，DA=DC，P点在ΔABC外，且CP=CA，CD平分∠PCB，求∠P。

***1.如图14-58，已知P是等边三角形ABC内一点，APB:

CPA=5:

6:

7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。

***2.如图14-59，点O为等边ΔABC内一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：

（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？

若能，请求出该三角形各内角的度数；

若不能，请说明理由；

（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？

****3.如图14-60，已知ΔABC是边长为1的等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。

AMN的周长等于2。

****4.如图14-61，在ΔABC中，∠A=600，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。

（1）如果AB=AC，求证：

ΔDEF是等边三角形；

（2）如果AB≠AC，试猜想ΔDEF是不是等边三角形？

如果ΔDEF是等边三角形，请加以证明；

如果ΔDEF不是等边三角形，请说明理由；

（3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。

****5.如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=600。

（1）OP为多少时，ΔAOP为等边三角形？

（2）OP为多少时，ΔAOP为直角三角形？

（3）OP为多少时，ΔAOP为锐角三角形？

（4）OP满足什么条件时，ΔAOP为钝角三角形？

****6.

（1）如图14-63，下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1,2,3,…，设边长为n的等边三角形由s个小等边三角形组成，按此规律推断s与n有怎样的关系；

（2）现有一个等角六边形ABCDEF（六个内角都相等的六边形，如图14-64），它的四条边长分别是2、5、3、1，求这个等角六边形的周长；

（3）

（2）中的等角六边形能否用

（1）中最小的等边三角形无空隙拼合而成？

如果能，请求出需要这种小等边三角形的个数。

【15】

直角三角形

*1.两个直角三角形全等的条件是（）。

【1】

（A）一锐角对应相等（B）两锐角对应相等

（C）一条边对应相等（D）两条边对应相等

**2.如图14-65，AD是ΔABC的中线，∠ADC=450，把ΔADC沿AD对折，点C落在点C的位置，则BC与BC之间的数量关系是。

**3.如果三角形中两条边的垂直一部分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是（）。

（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等边三角形

**4.在RtΔABC中，∠ACB=900，∠B=600，CD为斜边AB上的中线，已知AC=

，BC=2，则ΔADC的周长=。

**5.若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为

，则斜边的长为。

**6.在等腰ΔABC中，过腰AB的中点D作它的垂线（且点A、C在垂线的异侧）交另一腰AC于点E，连结BE，若AD+AC=24，BD+BC=20，则ΔEBC的周长为。

**7.如图14-66，已知在等腰ΔABC中，AB=AC=20cm，AB的中垂线交另一腰于D点，ΔBCD的周长是30cm，求BC的长。

**8.如图14-67，已知在ΔABC中，AB=AC，∠A=1200，EF垂直平分AB。

CF=2BF。

**9.如图14-68，∠B=900，ED垂直平分AC，∠BAE：

∠EAD=8:

5，求∠BAC的大小。

**10.在等腰直角ΔABC中，斜边BC=10，BD平分∠ABC，DEBC于点E，求ΔDEC的周长。

**11.如图14-69，已知∠BAC=1100，MN、PN是AB、AC的中垂线，交BC于点E、F。

求∠EAF。

**1.如图14-70，在ΔABC中，高AD、BE交于点H，M、N分别是BH、AC的中点，∠ABC=450，求证：

DM=DN。

**2.如图14-71，已知M是RtΔABC斜边AB的中点，CD=BM，DM与CB的延长线交于点E，求证：

∠E=

∠A。

**3.如图14-72，在RtΔABC中，∠ACB=900，∠BAC=300，ΔADC和ΔABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：

F是DE的中点。

**4.如图14-73，在ΔABC中，高BE、CF相交于点H，M、N分别是BC、EF的中点，直线MN与线段EF之间具有怎样的关系？

证明你的结论。

**5.如图14-74，已知AE与BD相交于点C，AB=AC，DE=DC，M、N、P分别是BC、CE、AD的中点，求证：

PM=PN。

**6.如图14-75，在ΔABC中，三边BC、AC、AB上的高AE、BF、CD相交于点M，P为BM的中点，Q为AC的中点，求证；

PQED。

**7.如图14-76，在ΔABC中，∠B=22.50，∠C=600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD=6

，AE⊥BC于点E，求EC的长。

p.116【5】

**8.如图14-77，在ΔABC中，∠B=22.50，边AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F，并与BC边上的高AE交于占G，求证：

EG=EC。

**9.如图14-78，在ΔABC中，D是BC边上一点且DA⊥AC，∠B=∠2C，AB=5cm，求DC的长。

**10.如图14-79，在ΔABCK，∠B=∠2A，CD⊥AB于点D，E为BC的中点，EF∥CA交AB于点F，求证：

DF=

BC。

***11.如图14-80，在RtΔABC中，ACB=900，M是AB的中点，如果分别延长AC、BC到点E、F使CE=CF=

AB，那么∠EMF的度数等于几？

是否是常数？

***12.如图14-81，已知C是线段AB上一点，且AC:

CB=1:

2,ΔACD和ΔBCE均为等边三角形，求∠DEB的度数。

***13.如图14-82，已知在ΔABC中，∠A=600，高BD、CE交于点H，HD=3，HE=4，求BD、CE的长。

***14.如图14-83，已知AB=2BC，两条对角线各垂直其中一条边即∠ACB=∠ADB=900，又DA=DB，作DE⊥AB，求∠EDC的度数。

***15.如图14-84，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠BAC=900且AB=AC，BD=BC，AC、BD交于点E，求∠DEC的度数。

***16.如图14-85，在RtΔACB中，CD平分∠ACB，CF是AB的中线，EFAB交CD的延长线于点E。

CF=EF。

***17.如图14-86，在ΔABC中，∠C=900，D为AB上一点，作DEBC于点E，若BE=AC。

BD=0.5，DE+BC=1，求∠BAC的度数。

***18.

（1）在ΔABC中，AB=AC，BDAC于点D，若BD=1，SΔABC=1，求∠A；

（2）在ΔABC中，高AD、BE所在直线交于点H，且BH、AC，求∠ABC。

【6】

***19.如图14-87，在ΔABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直一部分线MN相交于点N，过N分别作ND⊥AB于点D，NE⊥BC于点E，求证：

AD=CE。

***20.如图14-88，已知F为∠GBC、∠BAC角平分线的交点，过点B作CF的垂线BE，交AC的延长线于点E，垂足为H，求证：

BC=CE。

***21.如图14-89，已知在ΔABC中，∠ABC=900，AD平分∠BAC，BE⊥AC，E是垂足，DF∥BE，EF=1，求

（1）点F到BC的距离；

（2）若∠C=300，求AC。

***22.如图14-90，已知∠MON和线段AB，求作一点P，使PA=PB并使点P到OM、ON的距离相等。

***1.如图14-91，在RtΔABC中，∠C=900，M是AB的中点，∠EMF=900，将∠EMF绕着M点旋转，使ME、MF分别与AC、BC相交于点E、F。

（1）在AE、EF、FB中是否始终有最大的线段？

若有，最长的是哪一条？

（2）AE、EF、FB能否构成直角三角形？

若能，请加以证明。

***2.如图14-92，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=900，D、E是BC上两动点（与B、C不重合）且∠DAE=450。

问：

（1）BD、DE、EC中哪条线段最长？

（2）BD、DE、EC三条线段能否构成直角三角形？

***3.如图14-93，已知∠MCN=900，A是∠MCN平分线上一定点，B为CM上一动点，点D在CN上且∠BAD=450。

问：

RtΔBCD的周长是否是定值？

请说明理由。

****4.如图14-94，腰长为6cm的等腰RtΔFED和腰长为9cm的等腰RtΔABC部分重叠在一起，且BE=1cm，求阻影部分的面积。

p.117【5】

****5.如图14-95，在ΔABC中，AC=50厘米，BC=40厘米，∠C=900，点P从点A开始沿AC边向点C以2厘米/秒的速度移动，同时，另一点Q由C点开始以3厘米/秒的速度沿着CB边移动，则几秒钟后，ΔPCQ的面积等于450平方厘米？