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黄山学院本科毕业设计（论文）正文
目录
摘要1
1引言3
2小概率事件定义3
2.1定义3
2.2小概率的标准3
3不可能事件及必然事件和小概率事件的联系与区别3
4小概率事件的原理及其推导方法4
4.1小概率事件的原理4
4.2小概率事件原理的推导方法及过程4
5小概率事件原理的应用5
5.1在概率统计方面的应用5
5.1.1在假设检验中的应用5
5.1.2在Bayes统计中的应用6
5.2在彩票保险方面的应用6
5.3在体育竞技方面的应用7
5.4在日常生活方面的应用8
6小概率原理的特殊意义9
数学与统计学院数学与应用数学专业
指导老师：
摘要：
小概率事件原理：
所谓的小概率事件的原理就是指某件事发生的概率非常小，但是在某一次或者某几次的实验中却意外发生了，那么我们就认为这件事是不正常的，所以它也可以叫小概率事件的实际不可能原理，小概率事件的原理在概率论中是一个基本而实用的原理。
这篇论文就是对小概率事件的原理进行的讨论。
首先说明小概率事件的定义以及小概率事件发生的标准，让我们对小概率事件有一个直观的认识。
接着叙述了一下小概率事件跟不可能事件以及小概率事件跟必然事件之间的区别和联系，加深对小概率事件的理解。
再紧接着对小概率事件的原理与推导方法作出了比较详细的描述，比较深入的了解小概率事件的本质。
然后再联系实际生活、工作，浅谈了一下小概率事件在福利彩票、体育竞技以及日常生活当中的应用，最后说明小概率事件原理包含的意义。
关键词：
小概率；
概率论；
应用
ThetheoremandApplicationoftheEventofSmallProbability
（schoolofMathematicsandStatistics,HuangshanUniversity,Huangshan,China,245041）
Abstract：
TheEventofSmallProbabilityprincipleisthattheprobabilityofaneventisverysmall,butoccursinoneorseveralexperiments.Thereisreasontobelievethatitisnotnormal,sotheEventofSmallProbabilityprinciplecanalsobereferredtoasthesmallprobabilityeventprinciplenotpossible,itisthebasicandpracticalsignificanceoftheprincipleofprobabilitytheorya.ThepaperisdiscussingtheEventofSmallProbabilityunfolding.Thethesisintroducestheoriginanddefinitionofprobabilityofsmallprobabilityevents,thenthepapermaynotdifferencebetweeneventsandinevitableeventwithsmallprobabilityevent,thenEventofSmallProbabilityprincipleandmethodtomakeadetaileddescription,andthentheconnectionisactual,talkaboutthesmallprobabilityeventinthewelfarelottery,sportsanddailylifethesmallprobabilityeventprinciple,finallyexplainsthemeaning,itistheessenceofprobabilitytheory,it'
sanimportantpartofstatistics.
Keywords:
smallprobability;
probabilitytheorem;
application
1引言
在自然界中，小概率的事件每天每时每刻都会发生，比如，一朵花凋谢的时候正好落在了它飘落的那个地方；
正好有一个雨点从空中落到你的身上了；
你花钱的时候，正好使用的是某个编号的人民币。
小概率事件的发生有好有坏，我们既不能对之放任不管，任其发展，更不需要杞人忧天，杯弓蛇影，整天担心这担心那。
但是要怎样利用小概率事件原理去引导我们的工作和生活呢？
本论文就是通过说明一些道理和举出具体实例来说明小概率原理的应用。
2小概率事件定义
2.2.1定义
小概率事件，顾名思义，就是一个事件发生的概率小，要有多小呢？
一个事件发生的概率几乎为0的事件就是小概率事件。
2.2.2小概率的标准
在小概率的事件当中，一个事件到底要有多小的概率才能把它叫做小概率事件呢？
这要根据具体的情况来予以确定：
对于那些会产生非常严重的后果（诸如火车、飞机失事，轮船沉船）的事件，我们应该把概率选成0.01，还可以选的更小一些；
反之就可以适当放大一些。
一般大多采用0.01、0.005
这两个值，0.01、0.005就是小概率事件的两个标准。
3不可能事件、必然事件与小概率事件的联系与区别
在一定的条件下绝对不可能发生的事件叫做不可能事件[2]。
不可能事件发生的可能性为0，也就是不可能事件发生的概率为0[2]。
但是概率为0的事件不一定为不可能事件[2]。
比如在宇宙当中抽取一个人，而抽取到的人恰好是你的概率。
这就是一个概率为0的可能发生事件。
概率小的小概率事件容易跟不可能事件混为一谈，但其实这两者还是有所区别的。
小概率事件是可能发生的，但是概率很小的事件,而不可能事件是0概率，绝对不可能发生的事件。
例如,一个人同时在北京和上海,很明显,这是一个矛盾的事件,所以它是一个不可能的事件。
但是科学在不断进步和发展，一些人们以前认为的不可能事件，在现在却成为了小概率事件甚至必然事件。
比如以前人们认为人不能飞上天，而现在已经可以轻易实现了。
而对于一些小概率事件，重复很长时间或者次数之后就会成为超大概率事件，甚至可能是必然事件。
比如一个发生概率为万分之一的事件，重复做一百次之后，发生一次以上的概率就达到了1%，而重复做一万次这样的事，发生一次以上的概率就会高达63%。
有些小概率事件发生后会造成重大损失，比如生病、甚至死亡，那么长期重复做这件事，风险是非常大的。
在经济和生活中，这个结论也同样适用，在各种银行或个人的理财方式中，哪怕投资的风险再小，如果就一直放在手里，一辈子哪怕只碰到一次大事故，也是超大概率事件。
4小概率事件的原理及其推导方法
4.1小概率事件的原理
根据大数定律我们可以知道，一个事件发生的概率就是在大量重复试验中这个事件出现的频率。
假设事件B的概率b是非常小的,然后它出现在大量的重复频率测试也应该小。
例如,如果b=0.0001,要测试几乎10000次后，事件B才发生一次,这个事件在实际中不太可能仅仅在一次实验中发生，因此小概率事件几乎不可能在一次测试中发生。
4.2小概率事件原理的推导方法
定理一（贝努利大数定律）：
假设事件C发生的概率为P，用
表示n次独立且重复的试验中事件C发生的次数。
那么对于任意的正数ε，有
根据定理一，C事件发生的频率收敛于事件C发生的概率。
当n很大时,C事件出现的频率和发生概率会很接近。
如果一个C事件发生的可能性是非常小的,通过实际的原理来推断,在实际应用中,大量的试验时,我们可以使用事件的频率,而不是使用它的概率。
如果一个事件C的发生概率很小,那么它出现在大量独立且重复的测试中的频率也应该小,反之亦然。
在生活中,人们总有这样的理解:
现实生活中不太可能发生小概率事件。
即使真的发生了,人们也宁愿相信是这一事件的一个先决条件改变了。
比如火车翻车,造成乘客产生人员伤亡。
这表明火车翻车不是不可能的,虽然它发生的可能性很小。
但是人们还敢坐火车出行,就是因为我们仍然相信这种事发生在火车上是非常罕见的,只有偶尔发生一次也不能代表什么，它的发生可能是由于操作错误,机械故障,天气等等而带来的,而不愿意承认它会发生的必然性。
但也有刚好与之相反的情况:
人们更愿意承认或期望小概率事件的发生。
例如,在购买彩票的行为上,每个人都知道中奖的几率只有几万分之一甚至更小,但是人们购买彩票的欲望仍然很高,这是因为人们期望小概率事件（自己买的彩票中奖）出现在自己身上。
而实际上,根据中彩票的概率来计算的话,即使你买了几千几万元的彩票,中大奖的概率也比“瞎猫撞上死耗子”的概率还小。
5小概率事件原理的应用
5.1在概率统计方面的应用
统计推断的基础是小概率事件原理,而非逻辑推理。
小概率是显著性水平中重要的假设检验理论，假设检验是确定一个条件或者结论在一定的假设意义下的正确性,在逻辑方面上,这是一种包含否定意义的结论,这一结论有可能是错误的,它不仅是概率和统计的性能特征,也反映了可能与不可能之间的辩证关系。
5.1.1在假设检验中的应用
例1
某公司有200件的灯具,要经过检验合格之后才能出厂。
其中的次品率不得超过1%
。
现从中任意抽取5件,发现这5件中存在次品。
问：
这批灯具能出厂吗?
解：
设p为这批灯具的次品率,这个问题就是:
不等式“p≤0.01”是否成立?
我们来检验的假设是“p≤0.01”是否成立。
首先,若p≤0.01成立,那么这200件灯具中次品最多有2件,从中任取5件,令事件A为“没有取到次品”,则有
可知在这5件中出现次品的概率P=1-P（A）≤1-0.95=0.05
上述说明,如果“p≤0.01”成立,那么在毎100回的抽样中，事件B“任取5件，出现次品”,最多只会出现5回。
那么在一次抽样中事件B很少发生。
根据小概率原理定义,一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,在这个测试中,一个小概率事件（任取5件，出现次品）却发生了,这是“不合理的”。
究其原因，是因为我们假设了p≤0.01,因此假设是不成立的，即“p≤0.01”并不成立。
灯的次品率大于0.01,因此这批灯具不能出厂。
5.1.2在Bayes统计中的应用
下面有两个统计实验：
A:
一位老人在十次不同试验中都能正确说出他喝的是老茶还是新茶。
B:
一个音乐教师在十次听一页乐谱的弹奏的试验中都正确辨别出是Mozart还是Haydn的作品。
在这两个统计实验中,如果实验者只是猜测,根据0.5成功的概率,那么十次都猜中的概率就是0.0009766。
这个事件的概率很小,它几乎是不可能的,所以假设应该被拒绝。
那么每个实验者成功的概率要远远大于0.5,这不是依靠投机取巧,而是基于他们生活或工作的经验来完成这场试验的，我们可以称之为先验假设。
可见，经验推断是不可或缺的假设,我们应该妥善加以利用。
5.2在彩票保险方面的应用
例3：
“21选5”玩法的彩票头奖率为1/20349，现在有20万人去购买这种彩票，问至少有一人中奖的概率是多少？
解：
设20万买彩票人中中奖的人数是X，那么X～（200000,1/20439），由泊松定理可知，它近似于参数
=200000×
1/20439≈9.828的泊松分布。
由泊松分布表可得：
P（X≥1）=1-P（X=0）≈1-0.000045=0.999955≈1
由上可知，20万人大约只有一人中了头奖，一张彩票的中奖率微乎其微。
例4：
某保险公司,有2500个相同的社会阶级,同年龄的人购买保险,在今年年初每人支付保险费1200元,假设每个人死亡的概率是0.002,当保险人死亡,保险受益人可以从保险公司获得保费200000元。
该保险公司这一年会亏本的概率是多少？
某人在一年内是否死亡是随机的，如果把一个人在一年内是否死亡当作一次试验，那么此问题就可以转化为2500重贝努利概型，且p=0.002.如果令X是这2500人在这一年内死亡的人数，则
年初时，该公司的收入为：
2500×
1200=3000000（元），而这一年死亡了X人，保险公司在这一年要支出200000X元，收入小于支出就是亏本，则有200000X＞3000000，可以得到X＞15
该保险公司在这一年内亏本的概率很小,因此可以认为该保险公司在这一年不会亏本。
5.3在体育竞技方面的应用
随着对体育的重视，近几年来,我们在科研和体育教学中对统计学应用的频率真可谓是突飞猛进,若对其发展倾向作出总结，可以分为两个方面的表现:
（1）
在体育运动的各个研究领域越来越多地运用数理统计当中的很多方法,这是十分令人欣慰的;
（2）
一些方法在对体育统计中的使用显得很草率,甚至出现了一定的盲目性,这样一来就会出现这样那样的问题。
对此,一些初学者所暴露的问题尤为突出。
以往也有许多文献对其中存在的问题讨论过,但还没有从根本上对目前体育统计应用中不利的现状有所改变。
从我国目前体育科学发展的水平上分析,最急切的问题并不是我们缺乏有效的数理统计的方法,而是运用何种统计方法面对体育领域中的具体问题,,以及怎样正确使用统计方法的问题。
统计推断的最基本的思想就是小概率事件原理,但是它在体育统计教科书中甚至在体育科研上都没有得到足够的重视。
采用统计方法进行处理的国内体育科研文献中的论文很多,但明确此思想的很少。
从暴露的问题中可以发现,初学者在处理统计推断过程中,对小概率事件原则这个概念也是模糊的。
在一些体育统计教科书中,也并没有将这个思想提高到其应有的地位且加以明确,以至于在解决具体问题时出现一定的实际困难。
分析其原因,主要有两个方面:
轻视了在统计推断应用中小概率事件原理的地位和作用。
（2）对于复杂的体育运动,有时难以确定实际问题中的小概率事件原理,从而产生回避心理。
对此,初学者反映尤其严重。
客观地讲,小概率事件原理是联系实际问题与统计方法的重要桥梁,轻视和回避都不行。
例5
运动员JohnDoe投标枪命中率是0.7,一场比赛中,他开始时连续5枪,击中不超过一次,问运动员进入运动状态了吗？
假设这连续5枪是5次相互独立的试验，命中的次数为X，则X～B（5,0.7）,其概率分布为
（k=0,1,2,3,4,5）,则5次当中没有命中一次的概率为
P（X=0）=0.00243,5次只命中一次的概率为P（X=1）=0.02835,那么命中次数不超过一次的概率为
P=P（X=0）+P（X=1）=0.00243+0.02835=0.03078
可知，这个事件是一个小概率事件，所以可以认为JohnDoe不在运动状态，此时，他的命中率比0.7要小。
5.4在日常生活方面的应用
例6：
某商场毎周要进货12次，且都是在周一和周日完成这12次进货，问该商场进货的时间是否有规定？
解：
首先可以假设该商场的进货时间是没有规定的，那么该商场在一周内的任一天进货的可能性相等，都为1/7。
那么该商场都是在周一和周日进货的概率为
这是一个小概率事件，几乎是不可能发生的，但是它竟然发生了，那么假设就是不成立的，可以认定该商场的进货时间是有规定时间的。
例7：
（接上题）如果该商场没有一次是在周二进货，是否可以确定商场不会在周二进货？
假设商场进货时间是完全随机的，那么此事件的概率为
这并非一种小概率事件，是有很可能发生的，因此我们不能说该商场不会在周二进货。
6小概率事件原理的意义
小概率事件原理被广泛使用,它是概率理论中的一个非常简单但很有现实意义的原理,因此,人们在大量数据的分析和判断决策具体情况的时候都会基于统计推理,以便统计推断的结果有一个严格的数学理论。
事实上,我们经常无意中被小概率问题所指导。
比如经常买彩票，就是希望小概率事件发生在自己身上；
出门工作或者旅行乘坐轮船、火车和飞机，尽管我们知道这些交通工具可能会发生灾难，但是我们不相信这种小概率事件会恰好发生在自己身上。
这是人们在生活中对待小概率事件的俩个截然相反的态度。
其实对于小概率事件，我们要做到不忽视它，因为做一件事的次数多了，哪怕它的概率再怎么小，它都有可能会发生。
但是更不需要过分担忧，闹出类似杞人忧天的笑话，让工作和生活都受到了影响。
只要我们善加利用小概率事件的原理，善于把握小概率事件的机会，我们的生活就会越来越好。
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