11份高考数学人教A版理复习第一章 集合与常用逻辑用语教案+学案+测试题文档格式.docx
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(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个.
(2)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ×
)
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( ×
(3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( ×
(5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.( √ )
(6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<
4},则∁UP={2}.( √ )
1.(2014·
课标全国Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<
2},则A∩B等于( )
A.[-2,-1]B.[-1,2)
C.[-1,1]D.[1,2)
答案 A
【详细分析】∵A={x|x≥3或x≤-1},B={x|-2≤x<
2},
∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1],故选A.
2.(2014·
四川)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B等于( )
A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}
C.{0,1}D.{-1,0}
【详细分析】因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合B为整数集,所以集合A∩B={-1,0,1,2},故选A.
3.(2013·
山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
答案 C
【详细分析】x-y∈
.
4.设集合A={x|x2+2x-3>
0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>
0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是________.
答案
【详细分析】A={x|x2+2x-3>
0}={x|x>
1或x<
-3},
因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>
0,f(0)=-1<
0,
根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,
则这个整数为2,
所以有f
(2)≤0且f(3)>
即
所以
≤a<
题型一 集合的基本概念
例1
(1)(2013·
江西)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a等于( )
A.4B.2
C.0D.0或4
(2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=________.
思维点拨 不要忽视集合中元素的互异性.
答案
(1)A
(2)2
【详细分析】
(1)当a=0时,方程化为1=0,无解,集合A为空集,不符合题意;
当a≠0时,由Δ=a2-4a=0,解得a=4.
(2)因为{1,a+b,a}=
,a≠0,
所以a+b=0,得
=-1,
所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
思维升华
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
(1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( )
A.3B.4
C.5D.6
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
答案
(1)B
(2)-
(1)因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4时,a=1,2,3,此时x=5,6,7.
当b=5时,a=1,2,3,此时x=6,7,8.
所以根据集合元素的互异性可知,x=5,6,7,8.
即M={5,6,7,8},共有4个元素.
(2)因为3∈A,
所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,
解得m=-
或m=1(舍去),
此时当m=-
时,m+2=
≠3符合题意,
所以m=-
题型二 集合间的基本关系
例2
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<
x<
5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<
2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
答案
(1)D
(2)(-∞,4]
(1)由x2-3x+2=0得A={1,2}.
又B={1,2,3,4}.
∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个.
(2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
,解得2<
m≤4.
综上,m的取值范围为m≤4.
思维升华
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解;
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.
(1)设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有( )
A.6个B.5个C.4个D.3个
(2)已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<
0,c>
0},若A⊆B,则实数c的取值范围是( )
A.(0,1]B.[1,+∞)
C.(0,1)D.(1,+∞)
答案
(1)A
(2)B
(1)集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(个),集合{2}的所有子集共有2个,故满足要求的集合M共有8-2=6(个).
(2)A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>
0}=(0,1),B={x|x2-cx<
0}=(0,c),因为A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.
题型三 集合的基本运算
例3
(1)(2014·
辽宁)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)等于( )
A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<
1}
(2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是________.
答案
(1)D
(2)1或2
(1)∵A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0或x≥1},
在数轴上表示如图.
∴∁U(A∪B)={x|0<
1}.
(2)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A,
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×
(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×
(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.
∴m=1或2.
思维升华
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;
集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
(1)(2014·
浙江)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA等于( )
A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}
(2)设集合M={x|-1≤x<
2},N={y|y<
a},若M∩N≠∅,则实数a的取值范围一定是( )
A.-1≤a<
2B.a≤2
C.a≥-1D.a>
-1
答案
(1)B
(2)D
(1)因为A={x∈N|x≤-
或x≥
},
所以∁UA={x∈N|2≤x<
},故∁UA={2}.
(2)∵M={x|-1≤x<
a},且M∩N≠∅,如图只要a>
-1即可.
题型四 集合中的新定义问题
例4 若集合A具有以下性质:
(Ⅰ)0∈A,1∈A;
(Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,
∈A.
则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是( )
(1)集合B={-1,0,1}是“好集”;
(2)有理数集Q是“好集”;
(3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A.
A.0B.1
C.2D.3
(1)集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为
-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾.
(2)有理数集Q是“好集”,因为0∈Q,1∈Q,对任意的x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,
∈Q,所以有理数集Q是“好集”.(3)因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
设U为全集,对集合X,Y,定义运算“
”,满足X
Y=(∁UX)∪Y,则对于任意集合X,Y,Z,X
(Y
Z)等于( )
A.(X∪Y)∪(∁UZ)
B.(X∩Y)∪(∁UZ)
C.[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z
D.(∁UX)∪(∁UY)∪Z
答案 D
【详细分析】因为X
Y=(∁UX)∪Y,
所以Y
Z=(∁UY)∪Z,
所以X
Z)=(∁UX)∪(Y
Z)
=(∁UX)∪(∁UY)∪Z,故选D.
遗忘空集致误
典例:
设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B⊆A,则实数a的取值范围是________.
易错分析 集合B为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的实数根所构成的集合,由B⊆A,可知集合B中的元素都在集合A中,在解题中容易忽视方程无解,即B=∅的情况,导致漏解.
【详细分析】因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得
解得a=1;
②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<
0,解得a<
-1.
综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1.
答案 (-∞,-1]∪{1}
温馨提醒
(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.
(2)已知集合B,若已知A⊆B或A∩B=∅,则考生很容易忽视A=∅而造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.
方法与技巧
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;
对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
失误与防范
1.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;
二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
A组 专项基础训练
(时间:
30分钟)
1.下列集合中表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={2,3},N={3,2}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={2,3},N={(2,3)}
答案 B
【详细分析】选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集,集合N表示由点(2,3)所组成的单点集,故集合M与N不是同一个集合.选项C中的集合M表示由直线x+y=1上的所有点组成的集合,集合N表示由直线x+y=1上的所有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合.选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故集合M与N不是同一个集合.对选项B,由集合元素的无序性,可知M,N表示同一个集合.
课标全国Ⅱ)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N等于( )
A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}
【详细分析】由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0,
解得1≤x≤2,故N={x|1≤x≤2},∴M∩N={1,2}.
3.已知全集S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁SA={3},则实数a等于( )
A.0或2B.0
C.1或2D.2
【详细分析】由题意,知
则a=2.
4.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
A.2个B.4个
C.6个D.8个
【详细分析】∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},
∴M∩N={1,3}.
∴M∩N的子集共有22=4个.
5.(2013·
辽宁)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B等于( )
A.(0,1)B.(0,2]
C.(1,2)D.(1,2]
【详细分析】A={x|1<x<4},B={x|x≤2},
∴A∩B={x|1<x≤2}.
6.
设全集U为整数集,集合A={x∈N|y=
},B={x∈Z|-1<
x≤3},则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )
A.3B.4C.7D.8
【详细分析】因为A={x∈N|y=
}={x∈N|7x-x2-6≥0}={x∈N|1≤x≤6},
由题意知,图中阴影部分表示的集合为A∩B={1,2,3},所以其真子集有:
∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.
7.已知集合A={x|x>
1},B={x|x2-2x<
0},则A∪B等于( )
A.{x|x>
0}B.{x|x>
C.{x|1<
2}D.{x|0<
2}
【详细分析】由x2-2x<
0,得0<
2,∴B={x|0<
2},故A∪B={x|x>
0}.
8.已知集合A={x|-1<
0},B={x|x≤a},若A⊆B,则a的取值范围为( )
A.(-∞,0]B.[0,+∞)
C.(-∞,0)D.(0,+∞)
【详细分析】用数轴表示集合A,B(如图)
由A⊆B得a≥0.
9.(2014·
重庆)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B=________.
答案 {7,9}
【详细分析】U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},画出Venn图,如图所示,阴影部分就是所要求的集合,即(∁UA)∩B={7,9}.
10.已知全集U=R,集合A={x∈Z|y=
},B={x|x>
5},则A∩(∁UB)=________.
答案 {3,4,5}
【详细分析】∵A={x∈Z|x≥3},∁UB={x|x≤5},
∴A∩(∁UB)={3,4,5}.
11.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=__________.
答案 {(0,1),(-1,2)}
【详细分析】A、B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可.
12.已知集合A={x|1≤x<
5},C={x|-a<
x≤a+3}.若C∩A=C,则a的取值范围是________.
答案 (-∞,-1]
【详细分析】因为C∩A=C,所以C⊆A.
①当C=∅时,满足C⊆A,此时-a≥a+3,得a≤-
;
②当C≠∅时,要使C⊆A,则
解得-
<
a≤-1.
综上,a的取值范围是(-∞,-1].
B组 专项能力提升
(时间:
15分钟)
13.设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( )
A.57B.56C.49D.8
【详细分析】集合S的个数为26-23=64-8=56.
14.(2014·
山东)设集合A={x||x-1|<
2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B等于( )
A.[0,2]B.(1,3)
C.[1,3)D.(1,4)
【详细分析】由|x-1|<
2,解得-1<
3,由y=2x,x∈[0,2],解得1≤y≤4,∴A∩B=(-1,3)∩[1,4]=[1,3).
15.若集合A={x|x2-9x<
0,x∈N*},B={y|
∈N*},则A∩B中元素个数为( )
【详细分析】由A得x2-9x<
0,x∈N*,所以0<
9,且x∈N*,得A={1,2,3,4,5,6,7,8},由B得
∈N*,即y=1、2、4,得B={1,2,4},故A∩B={1,2,4}.
16.(2013·
福建)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:
(1)T={f(x)|x∈S};
(2)对任意x1,x2∈S,当x1<
x2时,恒有f(x1)<
f(x2).那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )
A.A=N*,B=N
B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<
x≤10}
C.A={x|0<
1},B=R
D.A=Z,B=Q
【详细分析】对选项A,取f(x)=x-1,x∈N*,所以A=N*,B=N是“保序同构”的,应排除A;
对选项B,取f(x)=
所以A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<
x≤10}是“保序同构”的,应排除B;
对选项C,取f(x)=tan(πx-
)(0<
1),所以A={x|0<
1},B=R是“保序同构”的,应排除C.选D.
17.若x,y∈R,A={(x,y)|(x+1)2+y2=2},B={(x,y)|x+y+a=0},当A∩B≠∅时,则实数a的取值范围是________;
当A∩B=∅时,则实数a的取值范围是__________________.
答案 [-1,3] (-∞,-1)∪(3,+∞)
【详细分析】观察得集合A表示的是以(-1,0)为圆心,
为半径的圆上的点,B表示的是直线x+y+a=0上的点,若满足A∩B≠∅,只需直线与圆相切或相交,
即满足不等式
≤
,|a-1|≤2,-2≤a-1≤2,
即-1≤a≤3;
若满足A∩B=∅时,只需直线与圆相离,
>
,即a<
-1或a>
3.
18.已知集合A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>
0,b≠1},若集合A∩B只有一个真子集,则实数a的取值范围是________.
答案 (1,+∞)
【详细分析】由于集合B中的元素是指数函数y=bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点,要使集合A∩B只有一个真子集,那么y=bx+1(b>
0,b≠1)与y=a的图象只能有一个交点,所以实数a的取值范围是(1,+∞).
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
2.四种命题及相互关系
3.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
4.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.
(1)“x2+2x-3<
0”是命题.( ×
(2)命题“α=
,则tanα=1”的否命题是“若α=
,则tanα≠1”.( ×
(3)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题.( √ )
(4)“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件.( ×
(5)(2014·
上海改编)设a,b∈R,则“a+b>
4”是“a>
2且b>
2”的充分条件.( ×
(6)若α∈(0,2π),则“sinα=-1”的充要条件是“α=
π”.( √ )
1.命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠
,则tanα≠1
B.若α=
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α=
【详细分析】命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠
”,故选C.