详解 14 章 一次函数文档格式.docx
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和h
[方法规律]根据实际问题情境，判断“量”的变化与否，数值发生变化的量是变量，否则为常量．
考点2常量和变量的相对性
常量是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是不存在的．
[例2]
（1）设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是V=πR2h在这个式子中，常量和变量分别是什么？
（2）设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的关系式是V=πR2h中在这个式子中，常量和变量分别又是什么？
[点拨]常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程，并非一成不变。
要视具体问题而定。
[解答]
（1）常量是π和R，变量是V和h
（2）常量是π和h，变量是V和R
[温馨提示]在不同的研究过程中，作为常量和变量的身份往往又是可以相互转化的．
金钥匙
能力拓展
[例1]向平静的湖面投一石子，使形成以落水点为圆心的一系列同心圆，在这个变化过程中，哪些是变量？
有没有常量？
[点拨]在该现象发生的过程中，要分清哪些量数值发生了变化，哪些量数值始终保持不变．
[解答]向平静的湖面投石头后，这一系列的同心圆的半径发生了变化，圆的面积和周长也发生了变化，（其它的变化忽略不记）因此圆的半径、面积和周长是变量；
由同心圆的面积和周长公式S=πr2·
C=2πR，可知π和2π是常量，因为在这个变化过程中它的数值始终保持不变．
[方法规律]
（1）确定某个变化过程的常量和变量一般从数值是否发生变化入手．
（2）写出同心圆的面积和周长公式是判断此过程中有没有常量的关键．
综合运用
[例2]某玩具厂计划生产一种玩具小狗，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部出售，已知生产x只玩具小狗的成本为R元，售价每只为P元，且R、P与x的关系式为R=500+30x，P=170-2x．
（1）上面两个关系式中，分别写出常量和变量．
（2）若获得的利润为y元，指出在求利润的关系中的变量．
[点拨]
（1）可取不同数值的量是变量，而保持不变的量是常量．
（2）P、R均可用x表示
[解答]
（1）R、P、x为变量，500，30，170，-2为常量．
（2）y=Px-R，但P、R均可用x来表示，所以变量为x、y．
[解题关键]
（1）在一个变化过程中，抓住“变”与“不变”是确定哪些量是变量和常量的关键．
（2）弄清哪些量可以用另外的变量来表示，是指出利润关系中的变量的关键。
图表信息
[例3]如表：
n
1
2
3
4
…
y
2×
4×
6×
5
8×
7
这里变量是，常量是．
[点拨]观察分析表格中数据变化规律，表示出y与n之间关系．
[解答]y=2n（2n-1）所以填n,y,2,2,-1
[方法规律]根据表格中提供的信息列出关系式，再确定变量和常量．
14.1.2函数
学点1函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
理解要点
（1）对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，指的是x在自变量的取值范围内，x的每一个确定的值，y都有唯一确定值与其对应，否则y就不是x的函数，例如y2=x（x＞0），当x=4时，y对应的值为2或-2，不唯一，则y不是x的函数，不同的变量x的取值，y的值可以相同，例如y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1．
（2）取值的变量叫自变量，通过一定关系随自变量变化而变化的变量叫自变量的函数．
学点2函数值
在一个函数关系式中，如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
（1）对于一个函数，可能有若干个函数值，x取不同值，函数值可能不等，因此应该说明自变量x取什么值时的函数值．
（2）函数与函数值的区别:
函数是变量，例如:
y=2x,y是可以随着x的变化而变化的量，变量y是变量x的函数；
函数值是变量所取的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值，例如当x=1时，函数y=2x的函数值等于2，当x=-1时，函数y=2x的函数值等于-2．
（3）当已知函数解析式和自变量的值时，求函数值就是求代数式的值；
当已知函数解析式，又给出函数值时，求相应的自变量的值，实质就是解关于自变量的方程．
当给定函数值的一个取值范围时，求相应自变量的取值范围，就是解不等式（组）．
（4）当自变量确定时，函数值是唯一确定的，但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个，如y=x2-1中当x=0时，y=-1，而当y=3时，x=±
2．
学点3自变量取值范围
使函数有意义的自变量取值的全体叫函数的自变量取值范围．
理解要点
（1）确定自变量的取值范围时，一要使函数关系有意义，二要使实际问题有意义．
①函数解析式是整式时，自变量可以取全体实数．如y=2x-1中自变量x可取一切实数；
②函数解析式是分母中含有字母时，自变量的取值应使分母不为0。
如y=
中分母，要满足x+1≠0；
③函数解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数不小于0，如y=
中的被开方数，要满足x+1≥0；
④对于实际问题中的函数关系除使表达式有意义外，还要使实际问题有意义．如多边形内角和是边数n的函数，即y=（n-2）×
180°
，如果只从解析式有意义的角度去考虑，可取任意实数，但我们知道多边形的边数n必须是大于2的正整数．
考点1函数的判定
是不是函数必须满足
（1）有两个变量，如果只出现一个变量或多个变量时，就不是函数；
（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；
（3）自变量每一个确定的值、函数都有一个并且只有一个值与之对应．
[例1]下列关于变量x、y的关系中:
①2x-3y=1②y=3|x|③y2=x+1中y是x的函数的是（填序号）
[点拨]紧扣函数的概念，满足上述三个条件．
[解答]①②
[规律总结]函数的判定要紧扣函数的定义，即对于每一个自变量x都有唯一的y值与之对应．
考点2求函数值
函数值是对具体数值而言，一个函数可能有许多不同的函数值，一个函数值对应的自变量可以是多个．
[例2]已知y=3x-1
（1）求当x=1,-1时的函数值；
（2）求当y=
-2时，x的值．
点拨:
把x或y代入函数解析式求出相应代数式的值或解关于x的方程．
[解答]
（1）当x=1时y=3x-1=3×
1-1=2
当x=-1时,y=3x-1=3×
（-1）-1=-4
（2）当y=
时,3x-1=
解得x=
当y=-2时，3x-1=-2解得x=-
[方法规律]1、求函数值，实质上就是求代数式的值．
2、求函数自变量的值，实质上就是解关于自变的方程．
考点3求函数关系式及自变量取值范围
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且要注意实际问题有意义．
[例3]（2007·
西宁）用一根16cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，若底边长为ycm，一腰长为xcm
（1）写出底边长y与腰长x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围．
[点拨]
（1）根据等腰三角形的周长与边长的关系，写出函数关系式；
（2）由几何图形本身的限制条件和三角形边与边的关系，确定自变量x的取值范围．
[解答]
（1）根据题意得y=16-2x
（2）解得自变量x的取值范围为4＜x＜8
[方法规律]确定函数自变量取值范围除了保证函数关系式有意义外，还必须保证函数式附属的几何图形有意义或反映的实际问题有意义．
[综合拓展]
[例1]求下列函数自变量的取值范围
（1）y=（3x-2）
（2）y=
（3）
（4）y=
[点拨]自变量x的取值范围要使所给的函数关系式有意义．
[解答]
（1）全体实数
（2）x≠5
（3）x≥3（4）x≥-3且x≠4
[方法规律]
（1）若函数关系式是整式，则自变量取全体实数；
（2）若函数关系式分母中含有自变量，它的取值要使分母不为0；
（3）若函数关系式为偶次根式，则自变量取值不能使被开方数为负数；
（4）多种情况综合取它的公共部分．
[例2]（2007·
十堰）一旅游团来到十堰境内某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏，如图11.1.2-1所示，请根据公告栏内容回答下列问题:
图11.1.2-1
（1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？
若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？
（2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式（直接填写在下面的横线上）
，（x=0,1,2,…，10）；
，（x＞10，且x为整数）．
[点拨]
（1）当0≤x≤10时，门票费用为180x，当x＞10时，10人门票费用为（180×
10）元，超过10人的部分的门票费用为180×
60%（x-10）元，两者的和就是超过10人应付门票费用．
解:
（1）180×
9=1620（元）
180×
10+180×
60%（30-10）=3960（元）
（2）y=
[解题关键]弄清没有超过部分和超过部分计费方法是解题关键，没有超过部分仍按每张门票180元，超过部分按每张门票180元的6折．
动静结合
在解答动点问题的过程，中常常以静制动，动中取静．
[例1]已知正方形ABCD的边长为1，E为CD的中点，P为正方形ABCD边上一个动点，动点P从A点出发，沿A→B→C→E运动，到达E点，若P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y=
时，x的值等于．
[点拨]根据动点P经过正方形不同的边所走的路程进行分类，确定自变量取值范围及相应函数关系式．
[解答]
（1）当0＜x≤1时，y=
x,当y=
时，x=
（2）当1＜x＜2时，y=
-
（3）当2≤x≤
，y=
x,
当y=
而2≤x≤
，故x=
（舍去）
所以当y=
或
[方法规律]按边确定自变量取值范围，动中取静写出相应的函数关系式．
14.1.3函数的图象
学点1函数的图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对相应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
1．图象上每一点的横坐标和纵坐标一定是这个函数的自变量x和函数y的一组对应值．
2．以自变量x的一个值和函数y的对应值为坐标的点必然在这个函数的图象上．
3．函数图象是一个由点组成的曲线，其中所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围，各点纵坐标，分别是自变量取值为横坐标时对应的函数值．
学点2函数图象的画法
描点法画函数图象一般步骤是：
列表、描点、连线．
理解要点:
1．列表:
给出自变量和函数值的一些对应值；
2．描点:
以表中对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
3．连线:
按自变量由小到大顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来．
学点3函数的表示法
函数的表示法有三种:
列表法、解析法和图象法，它们分别从数和形的角度反映了函数的本质．
1．函数的三种表示法
（1）列表法:
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．
（2）解析法:
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法．
（3）图象法:
用图象表示函数关系的方法叫做图象法．
2．函数三种表示法的优缺点
列表法可以清楚地列出一些自变量和函数的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果。
但列表法有局限性，列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律；
解析式法可以从数量关系的角度明确自变量的对应关系，根据它可由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然，但在实际问题中，并非所有的函数关系，都能用解析法表示．
图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色，同时又是研究函数性质的有力工具，但是，由图象观察只能得到近似的数量关系．在解决问题时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要综合地运用这三种表示法，来深入研究函数的性质．
名师开小灶
考点1函数图象的认识
函数的图象读图与识图的关键是弄清函数图象上点的意义——即横坐标与纵坐标的意义。
[例1]如图11.1.3-1，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌牙喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来了一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。
在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图象中最符合故事情景有是（）
[点拨]从四个选项中收集相关信息，找出与题设给定的故事情景相吻合．
[解答]选D
[注意的问题]1．原瓶中无石子就有水，反映在图象上是y轴上的一个点；
2．瓶中水位的高度随着时间推移，石子入瓶数量增多而缓慢上升，反映在图象上是一斜曲线；
3．是乌鸦喝不着，深思一会儿，反映在图象上是一条与x轴平行的线段；
4．乌鸦喝到了水后，瓶中水位下降，不可能比原有水面高度低．
考点2画函数图象
函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线、抛物线等，它形象直观地反映两个变量之间的关系，是研究函数的重要工具。
例用描点法画出函数y=
的图象。
用描点法画函数图象的步骤是：
列表、描点、连线。
[解答]
（1）列表:
x
0.5
y=
0.7
1.4
1.7
（2）描点:
在坐标平面内描出表中对应值组成的点；
（3）连线:
用平滑曲线，按自变量由小到大的顺序把所描各点连接起来，就得到y=
的图象，如图11.1.3-2所示．
[温馨提示]1．列表时一定要在自变量的取值范围内取值，取值原则是取比较合适的关键点，2．描点时要把关键点准确地描出，3．连线时画出的图象不能超出自变量的限制区域．
考点3函数的表示法
函数的不同表示法之间可以互相转化，有时需要几种方法同时使用。
[例]对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系，从温度计的刻度上可以看出，摄氏温度x（℃）与华氏温度y（
）有如下的对应关系:
x（℃）
-10
10
20
30
y（
）
14
32
50
68
86
（1）试确定y与x之间的函数关系式，并画出函数的图象；
（2）某天，南昌的最高气温是25℃澳大利亚悉尼的最高气温是80
，问这一天哪个地区的最高气温较高？
[点拨]
（1）表中通过5组数值反映了摄氏温度x（℃）与华氏温度y（
）之间的对应关系，从中可以发现摄氏温度每增加10℃，华氏温度增加18
，则摄氏温度每增加1℃，华氏温度增加1.8
，由此可以确定y与x之间的函数关系式，并根据表格画出函数图象。
（2）将两地温度统一为同一个温度单位比较或利用函数图象进行比较．
（1）根据题意，得y=32+1.8x，画函数图象如图11.1.3-3所示．
（2）当x=25时，y=32+1.8×
25=77．
则这天南昌的最气温是77
，因此悉尼的最高气温较高．
也可根据函数图象进行比较．当x=25时，图象上点A的纵坐标略小于80，则表明悉尼的最高气温度较高．
[方法规律]函数的三种表示方法之间在一定条件下可以相互转化，和谐对应．
图象信息
[例]（2007·
襄樊）学校离小明家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，然后又行驶了5分钟到家。
在图11.1.3-4中能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系的是（）
[点拨]本题可分三个时间段，在图象上也对应由3条线段组成，其中关键又在第二段小明因故停留10分钟，此时间段时间t增加，但路程s不变，在图象上则表现为一段与x轴平行的线段．
[解答]选D
[方法点评]本题函数图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段的左、右两端的横坐标之差表示了相应的时间段的长，纵坐标表示小明离家的距离．
例某校办工厂现在每年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，
（1）写出年产值y（万元）与年数x之间的函数关系式；
（2）画出函数图象；
（3）求5年后的年产值．
[点拨]画函数图象时，不能超过函数自变量的取值范围．
[解答]
（1）函数关系式为y=15+2x，其中自变量的取值范围是x≥0．
（2）列表:
6
y=15+2x
15
17
19
21
23
25
27
描点、连线，得出函数图象，如图11.1.3-5所示
（3）当x=5时，y=15+2×
5=25，求5年后的产值，也可以从函数图象上看:
x=5时，y=25，所以5年后的年产值是25万元．
[方法点评]画函数图象应注意自变量的取值范围，这里自变量x≥0，由此可知，函数图象应是一条射线而不能画成线段或直线，当函数图象有端点时，若端点不在函数图象上，则用空心圈表示它，若端点在函数图象上，则要画成实心点．
例已知函数y=2x+3
（1）试判断点A（-1，1），B（
，-1）是否在此函数图象上；
（2）若点P（m,-3）是此函数图象上的一点，求P点的坐标。
[点拨]
（1）将A、B两点的坐标分别代入解析式y=2x+3，看是否满足此解析式，从而判断各点是否在函数图象上；
（2）把x=m，y=-3代入y=2x+3中建立关于m的一元一次方程，求出m的值．
[解答]
（1）当x=-1时，y=2×
（-1）+3=1满足函数解析式；
当x=
时，y=2×
+3=4≠-1，不满足函数解析式，所以点A在此函数图象上，而点B不在此函数图象上．
（2）因为点P（m，-3）在函数y=2x+3上，所以2m+3=-3，解得m=-3，所以点P的坐标为（-3，-3）
[方法规律]函数图象上点的坐标满足函数的解析式，反之，坐标满足函数解析式的点在此函数图象上，也可以由函数解析式求出函数图象上的点的坐标．
数形结合
例（2007·
德阳）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y（个）与生产时间t（小时）的函数关系如图11.1.3-6所示．
图11.1.3-6
（1）根据图象填空:
①甲、乙中，先完成一天的生产任务；
在生产过程中，因机器故障停止生产小时。
②当t=时，甲、乙两人生产的零件个数相等．
（2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？
求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
[点拨]
（1）图象分别反映了甲、乙两名工人生产零件个数y随着生产时间t变化的情况，由函数图象可知，其中一段平行于x轴的线段表示甲工人有一段时间因机器故障停止生产，而两条折线段的交点说明在某时刻甲、乙两人生产的零件个数相等．
（2）谁在哪一段时间内，生产零件个数多，则谁的生产速度快．
[解答]
（1）①甲，甲，乙②3，5.5
（2）甲在4～7时的生产速度最快为
=10（个）
[方法规律]阅读函数图象，利用获取信息解决相关问题的一般方法:
一．读懂题意二．看懂图象三．由形思数，由数想形，进行数形结合．
14.2一次函数
14.2.1正比例函数
学点1正比例函数
形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
1．由正比例函数定义可知:
函数是正比例函数
其解析式可化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式．
2．正比例函数解析式y=kx，（k是常数，k≠0）的结构特征:
（1）k是常数，k≠0；
（2）x的次数是1（3）自变量x的取值范围:
一般情况下，正比例函数中自变量的取值范围是全体实数．
学点2正比例函数的图象
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，称它为直线y=kx．
1．正比例数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是经过原点（0，0），和（1，k）两点的一条直线，在坐标平面内经过原点（0，0）的直线（与x轴、y轴不重合）是正比例函数的图象．
2．画正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）图象的步骤:
（1）列表:
X
Y
k
在坐标平面内描出点（0，0），点（1，k）；
过点（0，0），点（1，k）连成一条直线．
3.满足函数解析式y=kx（k是常数，k≠0）的点（x,y）在其对应的图象即直线l上，反之，直线l上的点的坐标（x,y）满足y=kx（k是常数，k≠0）．也就是说，直线l上的点与满足函数关系式y=kx（k是常数，k≠0）的点（x,y）是一一对应的．
学点3正比例函数的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的性质:
（1）当k＞0时，直线y=kx经过一、三象限，从左到右上升，即随
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