北京理工大学随机信号分析实验报告Word文档下载推荐.docx
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3、（ran0）
由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理1.1若随机变量X具有连续分布函数FX（x），而R为（0,1）均匀分布随机变量，则有
由这一定理可知，分布函数为FX（x）的随机数可以由（0,1）均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB中产生随机序列的函数
（1）（0，1）均匀分布的随机序列
函数：
rand
用法：
x=rand（m,n）
功能：
产生m×
n的均匀分布随机数矩阵。
（2）正态分布的随机序列
randn
x=randn（m,n）
n的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从
分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。
（3）其他分布的随机序列
MATLAB上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。
MATLAB中产生随机数的一些函数
3、随机序列的数字特征估计
对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。
这里我们假定随机序列X（n）为遍历过程，样本函数为x（n），其中n=0,1,2，…，N-1。
那么，X（n）的均值、方差和自相关函数的估计为
利用MATLAB的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。
（1）均值函数
mean
m=mean（x）
返回按上面第一式估计X（n）的均值，其中x为样本序列x（n）。
（2）方差函数
var
sigma2=var（x）
返回按上面第二式估计X（n）的方差，其中x为样本序列x（n），这一估计为无偏估计。
（3）互相关函数
xcorr
c=xcorr（x,y）
c=xcorr（x）
c=xcorr（x,y,'
opition'
）
c=xcorr（x,'
xcorr（x,y）计算X（n）与Y（n）的互相关，xcorr（x）计算X（n）的自相关。
option选项可以设定为：
'
biased'
有偏估计，即
unbiased'
无偏估计，即按上面第三式估计。
coeff'
m=0时的相关函数值归一化为1。
none'
不做归一化处理。
三、实验内容
1、采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。
改变样本个数重新计算。
线性同余法的公式如下：
实验代码：
Num=input（'
Num='
）;
N=2^31;
k=2^16+3;
Y=zeros（1,num）;
X=zeros（1,num）;
Y
（1）=1;
fori=2:
num
Y（i）=mod（k*Y（i-1）,N）;
end
X=Y/N;
a=0;
b=1;
m0=（a+b）/2;
sigma0=（b-a）^2/12;
m=mean（X）;
sigma=var（X）;
delta_m=abs（m-m0）;
delta_sigma=abs（sigma-sigma0）;
plot（X,'
k'
xlabel（'
n'
ylabel（'
X（n）'
delta_m
delta_sigma
axistight
实验结果：
A、Num=1000delta_=0.0110delta_sigma=0.0011
B、Num=5000delta_m=2.6620e-04delta_sigma=0.0020
实验结果分析：
样本值越大，实际值越接近理论值，误差越小。
2、参数为
的指数分布的分布函数为
利用反函数法产生参数为0.5的指数分布随机数1000个，测试其方差和相关函数。
R=rand（1,1000）;
lambda=0.5;
X=-log（1-R）/lambda;
DX=var（X）;
[Rm,m]=xcorr（X）;
subplot（211）;
axistight;
subplot（212）;
plot（m,Rm,'
m'
R（m）'
DX=4.1201
方差的理论值应为1/（0.5^2）=4，实际值为4.1201，与其基本一致，有一定偏差。
3、产生一组N（1,4）分布的高斯随机数（1000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。
产生高斯分布的随机数可使用函数normrnd，
X=normrnd（1,2,[1,1000]）;
Mx=mean（X）;
Dx=var（X）;
Mx
Dx
Mx=0.9937Dx=3.8938
理论上，均值为1，方差为4。
实验中的均值为0.9937，方差为3.8938。
在误差允许范围内，理论值和实验值基本相同。
四、实验心得体会
本次随机信号分析实验，用于随机序列的产生和数字特征的估计，同样是用matlab的平台实现。
通过这次实验，学习和掌握随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计，并用matlab产生相应的图形，更直观的了解了相关的知识。
本次实验的难点在于用线性同余法产生随机序列，在实际编程中需要用到一个FOR循环，起初并不熟悉其语法特征，经过反复的修改，运行成功。
实验二随机过程的模拟与数字特征
一、实验目的
1、学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法。
2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。
二、实验原理
1、正态分布白噪声序列的产生
MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。
如果N（0,1），则
。
2、相关函数估计
MATLAB提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。
xcorr（x,y）计算X（n）与Y（n）的互相关，xcorr（x）计算X（n）的自相关。
有偏估计。
无偏估计。
m=0时的相关函数值归一化为1。
3、功率谱估计
MATLAB函数periodogram实现了周期图法的功率谱估计。
periodogram
[Pxx,w]=periodogram（x）
[Pxx,w]=periodogram（x,window）
[Pxx,w]=periodogram（x,window,nfft）
[Pxx,f]=periodogram（x,window,nfft,fs）
periodogram（...）
实现周期图法的功率谱估计。
其中：
Pxx为输出的功率谱估计值；
f为频率向量；
w为归一化的频率向量；
window代表窗函数，这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，下图列出了产生常用窗函数的MATLAB函数。
nfft设定FFT算法的长度；
fs表示采样频率；
1、按如下模型产生一组随机序列
其中
是均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。
估计过程的自相关函数和功率谱。
y0=randn（1,500）;
%产生一长度为500的随机序列
y=1+2*y0;
x
（1）=y
（1）;
n=500;
1:
n
x（i）=0.8*x（i-1）+y（i）;
%按题目要求产生随机序列x（n）=0.8x（n-1）+w（n）
subplot（311）;
plot（x）;
title（'
x（n）'
subplot（312）;
c=xcorr（x）;
%用xcorr函数求x（n）的自相关函数
plot（c）;
R（n）'
p=periodogram（x）;
%用periodogram函数求功率谱密度
subplot（313）;
plot（p）;
S（w）'
上图中分别为长度为500的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。
2、设信号为
其中
，
为正态分布白噪声序列，试在N=256和N=1024点时，分别产生随机序列x（n），画出x（n）的波形并估计x（n）的相关函数和功率谱。
（1）、N=256时
N=256;
w=randn（1,N）;
%用randn函数产生一个长度为256的正态分布白噪声序列
n=1:
N;
f1=0.05;
f2=0.12;
x=sin（2*pi*f1*n）+2*cos（2*pi*f2*n）+w（n）;
%产生题目所给信号
R=xcorr（x）;
%求x（n）的自相关函数
%求x的功率谱
plot（R）;
上图中分别为长度为256的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。
（2）、N=1024时
将上述第一行代码改为N=1024；
即可。
上图中分别为长度为1024的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。
可明显看出，功率谱集中在两个频率分量处。
这次实验学会了在MATLAB中求解并绘制随机序列的自相关函数和功率谱密度。
用MATLAB可以用具体的函数来求自相关函数和功率谱，极大的方便了学习过程。
通过本次实验，学习了利用MATLAB模拟产生随机过程的方法并且熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。
实验三随机过程通过线性系统的分析
1、理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2、学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
1、白噪声通过线性系统
设连续线性系统的传递函数为H（）或H（s），输入白噪声的功率谱密度为SX（）=N0/2，那么系统输出的功率谱密度为
SY（
）=|H（
）|2
（3.1）
输出自相关函数为
RY（
）=
H（
（3.2）
输出相关系数为
（3.3）
输出相关时间为
0=
（3.4）
输出平均功率为
E
=
（3.5）
上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性|H（
）|决定，不再是常数。
2、等效噪声带宽
在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的H（
），因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为
（3.6）
或
（3.7）
3、线性系统输出端随机过程的概率分布
（1）正态随机过程通过线性系统
若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化
随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；
宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
1、仿真一个平均功率为1的白噪声带通系统，白噪声为高斯分布，带通系统的两个截止频率分别为3kHz和4kHz，估计输出的自相关函数和功率谱密度函数。
（假设采样频率为10kHz）
Fs=10000;
%抽样频率为10kHz
x=randn（1000,1）;
%产生随机序列，模拟高斯白噪声
figure
（1）;
subplot（3,1,1）;
gridon;
t'
subplot（3,1,2）;
x_corr=xcorr（x,'
%计算高斯白噪声的自相关函数
plot（x_corr）;
subplot（3,1,3）;
[Pxx,w]=periodogram（x）;
%计算功率谱密度
x_Px=Pxx;
plot（x_Px）;
figure
（2）;
subplot（2,1,1）;
[x_pdf,x1]=ksdensity（x）;
%高斯白噪声一维概率密度函数
plot（x1,x_pdf）;
subplot（2,1,2）;
f=（0:
999）/1000*Fs;
X=fft（x）;
mag=abs（X）;
%随机序列的频谱
plot（f（1:
1000/2）,mag（1:
1000/2））;
gridon;
f/Hz'
figure（3）;
[b,a]=ellip（10,0.5,50,[3000,4000]*2/Fs）;
[H,w]=freqz（b,a）;
%带通滤波器
plot（w*Fs/（2*pi）,abs（H））;
ylabel（'
H（w）'
y=filter（b,a,x）;
[y_pdf,y1]=ksdensity（y）;
%滤波后的概率密度函数
plot（y1,y_pdf）;
y_corr=xcorr（y,'
%滤波后自相关函数
plot（y_corr）;
figure（4）;
Y=fft（y）;
magY=abs（Y）;
%随机序列滤波后频谱
1000/2）,magY（1:
nfft=1024;
index=0:
round（nfft/2-1）;
ky=index.*Fs./nfft;
window=boxcar（length（y_corr））;
[Pyy,fy]=periodogram（y_corr,window,nfft,Fs）;
%滤波后高斯白噪声功率谱
y_Py=Pyy（index+1）;
plot（ky,y_Py）;
2、设白噪声通过下图所示的RC电路，分析输出的统计特性。
（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
（2）采用MATLAB模拟正态分布白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输
出噪声的概率密度。
（3）模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声
的概率密度。
（4）改变RC电路的参数（电路的RC值），重做
（2）和（3），与之前的结果进行比较。
（1）、由图中所示电路，根据电路分析的相关知识，可推导出
输出功率谱密度为：
相关函数为：
相关时间为：
等效噪声带宽为：
（2）、实验代码：
R=100;
C=0.01;
b=1/（R*C）;
500;
h=b*exp（-n*b）;
%RC电路的冲击响应
x=randn（1,1000）;
%产生正态分布的白噪声
y=conv（x,h）;
[fyy1]=ksdensity（y）%求输出噪声的概率密度
plot（y）;
y（n）'
plot（fy）;
fy'
（3）、实验代码：
x=rand（1,1000）;
%均匀分布的白噪声
[fyy1]=ksdensity（y）;
（4）、a、改变R、C值为：
R=200，C=0.01;
正态分布
均匀分布
b、改变R、C的值为：
R=10，C=0.01;
显然，系统相关时间与系统带宽成反比。
从输入及输出波形可以看出，正态随机过程通过一个线性系统后，输出仍为正态分布。
而对于任意分布的白噪声，通过一个线性系统后，输出也服从正态分布。
本次实验是关于随机信号通过线性系统的，可以看出，白噪声通过线性系统后，输出服从正态分布，从实践上验证了课本的理论，通过本次实验，理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性，并且学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验四窄带随机过程的产生及其性能测试
1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。
2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。
1.窄带随机过程的莱斯表达式
任何一个实平稳窄带随机过程X（t）都可以表示为
上式称为莱斯表达式，根据上式可以模拟产生窄带随机过程，具体过程下图所示。
2.窄带随机过程包络与相位的概率密度
包络的概率密度为
，服从瑞利分布。
相位的概率密度为
，呈均匀分布。
3.窄带随机过程包络平方的概率密度
包络平方的概率密度为
0，为指数概率密度函数。
1、按上图所示结构框图，基于随机过程的莱斯表达式，用MATLAB产生一满足条件的窄带随机过程。
1000;
h=exp（-n）;
c1=randn（1,1000）;
a=conv（c1,h）;
c2=randn（1,1000）;
%产生两个正态分布的高斯白噪声
b=conv（c2,h）;
%通过低通滤波器
fc=10000;
x=zeros（1,1000）;
fori=1:
1000%卷积结果相加，得到窄带随机过程
x（i）=a（i）*cos（2*pi*fc*i）-b（i）*sin（2*pi*fc*i）;
窄带随机过程'
2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。
3、编写MATLAB程序计算该随机过程的均值函数、自相关函数、功率谱、包络、包络平方及相位的一维概率密度，画出相应的图形并给出解释。
1000
%得到窄带随机过程
m=mean（x）
figure
（1）
plot（m）;
均值'
）%均值函数
figure
（2）
自相关函数'
）%自相关函数
[S,w]=periodogram（x）;
figure（3）
plot（S）;
功率谱密度'
）%功率谱密度函数
B=zeros（1,1000）;
B（i）=sqrt（a（i）^2+b（i）^2）;
[fB2j]=ksdensity（B）;
figure（4）
plot（fB2）;
包络概率密度'
B（i）=（a（i）^2+b（i）^2）;
figure（5）
包络平方概率密度'
fai（i）=atan（b（i）/a（i））;
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