温州中学自主招生数学模拟试卷及参考答案.doc
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2016年最新，适宜以竞赛为主的重点中学自主招生命题者：
前进工作室
2016年温州中学自主招生数学模拟试卷
2016.2
（本卷满分：
150分考试时间：
90分钟）
注：
不得使用计算器及其他任何电子产品
一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
1.气象台预报：
“本市明天降水概率是80%”，但据经验，气象台预报的准确率仅为80%，则在此经验下，本市明天降水的概率为················（）
A、84%B、80%C、68%D、64%
2.如图，已知的平分线分别与边BC、的外接圆交于点D、M，过D任作一条与直线BC不重合的直线l，直线l分别与直线MB、MC交于点P、Q，下列判断不正确的是···········································（）
A．无论直线l的位置如何，总有直线PM与的外接圆相切
B．无论直线l的位置如何，总有
C．直线l选取适当的位置，可使A、P、M、Q四点共圆
第2题
D．直线l选取适当的位置，可使<
3.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为·········（）
A．6 B．7 C．8 D．9
4.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则··················································（）
A．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
B．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C．存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
5.已知实系数二次函数与，和有两重根，有两相异实根，则···································（）
A．有两相异实根B．有两相同实根C．没有实根 D．没有有理根
二、填空题（本大题分10小题，每题6分，共60分）
6.设正数x、y、z满足方程组则xy+2yz+3zx的值为．
7.已知ABCD是一个正方形，点M（异于点B、C）在边BC上，线段AM的垂直平分线l分别交AB、CD于点E、F．若AB=1，则的取值范围为．
8.已知实数a，b，c，d满足2a2+3c2=2b2+3d2=（ad-bc）2=6，则（a2+b2）（c2+d2）的值为．
9.由两个不大于100的正整数m，n组成的整数对（m,n）中，满足：
的有对．
10.甲、乙两人在一个5×5的方格纸上玩填数游戏：
甲先填且两人轮流在空格中填数，甲每次选择一个空格写上数字1，乙每次选择一个空格写上数字0，填完后计算每个3×3正方形内9个数之和，并将这些和数中的最大数记为A，甲尽量使A增大，乙尽量使A减小，则甲可使A获得的最大值是．
第12题
11.一个锐角，，三点H、O、I分别是的垂心、外心和内心，若BH=OI，则=．
12.设ΔABC的内切圆⊙O与边CA上的中线BM交于点G、H，并且点G在点B和点H之间．已知BG=HM，AB=2．则GH的最大值为．
13.设a、b为实数，函数满足：
对任意x∈[0,1]，有，则的取值范围为．
14.已知抛物线y2=6x上的两个动点A（x1,y1）和B（x2,y2），其中x1≠x2且x1+x2=4．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，则的最大值为．
15.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”．在一个10×11的棋盘上，最多可以放置个互不重叠的“十字形”．（每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格）
三、解答题（本大题分5小题，16题10分，17~20题每题15分，共70分）
16.三角形的三边之长是某个系数为有理数的三次方程的根．证明：
该三角形的高是某个系数为有理数的六次方程的根．
17.已知ΔABC内有n个点（无三点共线），连同A、B、C共n+3个点．以这些点为顶点把ΔABC分成若干个互不重叠的小三角形．现把A，B，C分别染成红色、蓝色、黄色，而其余n个点，每个点任意染上红、蓝、黄三色之一．求证：
三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．
18.设奇数a，b，c，d满足0a=1．
19.如图，在锐角中，∠BAC≠60°，过点B、C分别作的外接圆⊙O的切线BD、CE，且满足BD=CE=BC．直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N，证明：
AM=AN．
第19题
20.如图，在中，AB>AC，内切圆⊙I与边BC切于点D，AD与⊙I的另一个交点为E，⊙I的切线EP与BC的延长线交于点P，CF∥PE且与AD交于点F，直线BF与⊙I交于点M、N，M在线段BF上，线段PM与⊙I交于另一点Q．
证明：
∠ENP=∠ENQ．
第20题
2016年温州中学自主招生数学模拟试卷
参考答案及评分建议
一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
[1~5]CCBDC
二、简答题（本大题分10小题，每空6分，共60分）
[本大题评分建议：
若数字书写不清晰，不给分]
6、7、8、69、171
10、611、40°12、
13、[-2,]14、15、15
三、分析解答题（本大题分5小题，16题10分，17~20题每题15分，共70分）
16、（10分）（可能有多种解法）
[证明]
（3分）
故得证！
（10分）
（7分）
17、（15分）（可能有多种解法）
[证明]把这些小三角形的边进行赋值：
边的端点同色的，赋值0；边的端点不同色的，赋值1．于是每个小三角形的三边之和有如下三种情形：
（3分）
（1）三顶点都不同色的，和为3；
（2）恰有两顶点同色的，和为2；
（3）三顶点都同色的，和为0．（6分）
设所有小三角形的边赋值之和为S，上述三种情形的三类小三角形的个数分别为a，b，c，于是S=3a+2b+0c=3a+2b．（9分）
而注意到所有小三角形的边的赋值之和中，除了AB，BC，CA边外，其余的边都被算了两次，所以它们赋值之和为偶数，再加上AB，BC，CA三边赋值之和为3，所以S是奇数．（14分）
因此a是奇数．即三顶点都不同色的小三角形总数为奇数．（15分）
18、（15分）（可能有多种解法）
[解]．
∴．∴k>m．（2分）
把，代入ad=bc，有
（1），
由
（1）可得．（4分）
即，
（2）（5分）
已知a，b都是奇数，所以a+b，a-b都是偶数，又是奇数的2倍，故b+a，b-a中必有一个不是4的倍数．（7分）
由
（2）必有或．其中，e，f为正整数，且是奇数．[，与
（2）比较可得]（9分）
由于k>m，故．从而e=1，．
考虑前一情况，有（11分）
由第二式可得，故，所以奇数a=1．（13分）对于后一情况，可作类似的讨论．（15分）
19、（15分）（解法可能有多种，给分分为4档：
0分、5分、10分、15分，
注：
学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改）
（5分）
（10分）
（15分）
（5分）
第20题
（10分）
（15分）
20、（15分）（解法可能有多种，给分分为4档：
0分、5分、10分、15分，
注：
学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改）
（10分）
[证明]
略（15分）
（5分）
（15分）
（5分）
2016年温州中学自主招生数学模拟试卷第9页共9页
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