秋季学期新人教A版高中必修一311 方程的根与函数的零点导学案.docx

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秋季学期新人教A版高中必修一311方程的根与函数的零点导学案

3.1.1　方程的根与函数的零点

[学习目标]　1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系.

知识点一　函数的零点

对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.

思考　函数的零点是点吗？

答　函数y＝f（x）的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f（x）＝0的解，即函数的零点是一个实数.

知识点二　函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点.

知识点三　函数零点的判定定理

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0.那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根.

思考　

（1）若函数f（x）在（a，b）内有零点，则f（a）·f（b）<0一定成立吗？

（2）若函数f（x）在[a，b]上有f（a）·f（b）>0，则f（x）在（a，b）上一定没有零点吗？

答　

（1）不一定.可能y＝f（x）在x＝a或y＝b处无定义；即使有定义，也可能f（a）·f（b）>0.如函数y＝（x－1）2在（0,2）内有零点，但f（0）·f

（2）>0.

（2）不一定，如y＝（x－1）2，在[0,2]上f（0）·f

（2）>0，但f（x）在（0,2）上有零点1.

题型一　求函数的零点

例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.

（1）f（x）＝x2＋7x＋6；

（2）f（x）＝1－log2（x＋3）；

（3）f（x）＝2x－1－3；

（4）f（x）＝

.

解　

（1）解方程f（x）＝x2＋7x＋6＝0，

得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.

（2）解方程f（x）＝1－log2（x＋3）＝0，得x＝－1，

所以函数的零点是－1.

（3）解方程f（x）＝2x－1－3＝0，得x＝log26，

所以函数的零点是log26.

（4）解方程f（x）＝

＝0，得x＝－6，

所以函数的零点为－6.

反思与感悟　求函数零点的两种方法：

（1）代数法：

求方程f（x）＝0的实数根；

（2）几何法：

对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

跟踪训练1　函数y＝x－1的零点是（　　）

A.（1,0）B.0C.1D.不存在

答案　C

解析　令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1.

题型二　判断函数零点所在区间

例2　已知函数f（x）＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是（　　）

A.（3,4）B.（2,3）C.（1,2）D.（0,1）

答案　C

解析　∵f（0）＝－1<0，f

（1）＝－1<0，f

（2）＝5>0，f（3）＝23>0，f（4）＝59>0.

∴f

（1）·f

（2）<0，此零点一定在（1,2）内.

反思与感悟　1.判断零点所在区间有两种方法：

一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.

2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f（x）图象在[a，b]上连续，且f（a）·f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上必有零点，若f（a）·f（b）＞0，则f（x）在（a，b）上不一定没有零点.

跟踪训练2　函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（　　）

A.（－2，－1）B.（－1,0）

C.（0,1）D.（1,2）

答案　C

解析　∵f（0）＝e0＋0－2＝－1＜0，

f

（1）＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f（0）·f

（1）＜0，

∴f（x）在（0,1）内有零点.

题型三　判断函数零点的个数

例3　判断函数f（x）＝lnx＋x2－3的零点的个数.

解　方法一　函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数.

在同一直角坐标系下，作出两函数的图象（如图）.

由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点.从而方程lnx＋x2－3＝0有一个根，

即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点.

方法二　由于f

（1）＝ln1＋12－3＝－2＜0，

f

（2）＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，

所以f

（1）·f

（2）＜0，

又f（x）＝lnx＋x2－3的图象在（1,2）上是不间断的，

所以f（x）在（1,2）上必有零点，

又f（x）在（0，＋∞）上是递增的，所以零点只有一个.

反思与感悟　判断函数零点个数的方法：

（1）对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；

（2）由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一直角坐标系下作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象，利用图象判定方程根的个数；（3）解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.

跟踪训练3　函数f（x）＝lnx－x＋2的零点个数为（　　）

A.1B.2C.0D.不能确定

答案　B

解析　如图所示，分别作出y＝lnx，y＝x－2的图象，可知两函数有两个交点，即f（x）有两个零点.

题型四　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a>0）的区间根问题

例4　关于x的方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围.

解　方法一　（应用求根公式）

方程x2－2ax＋4＝0的两根为

x＝

＝a±

，

要使两根均大于1，只需较小根a－

>1即可.

解得2≤a<

.

方法二　（应用根与系数的关系）

设x1，x2为方程x2－2ax＋4＝0的两根，

则有x1＋x2＝2a，x1x2＝4.①

要使原方程x2－2ax＋4＝0的两根x1，x2均大于1，

则需满足

将①代入上述不等式组，解得2≤a<

.

方法三　（应用二次函数的图象）

设f（x）＝x2－2ax＋4，图象如图所示.

由图可知

解得2≤a<

.

反思与感悟　1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：

（1）Δ与0的关系；

（2）对称轴与所给端点值的关系；（3）端点的函数值与零的关系；（4）开口方向.

2.设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a>0）的两个实数根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.

根的分布

图象

等价条件

x1

k

x1

f（k）<0

x1，x2∈（k1，k2）

x1，x2（x1≠x2）中有且仅有一个在（k1，k2）内

f（k1）·f（k2）<0或f（k1）＝0，k1<－

<

或f（k2）＝0，

<－

跟踪训练4　已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2，且x1∈（0,1），x2∈（－4，－2），求a的取值范围.

解　∵f（x）＝ax2＋2ax＋1的图象是连续的且两点x1，x2满足x2∈（－4，－2），x1∈（0,1）.

∴

⇒a<－

.

∴a的取值范围为a<－

.

数形结合思想

例5　已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是_____.

答案　1

解析　如图所示，由图象知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图象有三个交点，

则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.

反思与感悟　求解这类问题可先将原式变形为f（x）＝g（x），则方程f（x）＝g（x）的不同解的个数等于函数f（x）与g（x）图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解.

跟踪训练5　当m为何值时，方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根？

解　令f（x）＝x2－4|x|＋5，作出其图象，如图所示，

由图象可知，当1

1.函数y＝4x－2的零点是（　　）

A.2B.（－2,0）C.

D.

答案　D

解析　令y＝4x－2＝0，得x＝

.

∴函数y＝4x－2的零点为

.

2.对于函数f（x），若f（－1）·f（3）＜0，则（　　）

A.方程f（x）＝0一定有实数解

B.方程f（x）＝0一定无实数解

C.方程f（x）＝0一定有两实数解

D.方程f（x）＝0可能无实数解

答案　D

解析　∵函数f（x）的图象在（－1,3）上未必连续，故尽管f（－1）·f（3）＜0，但未必函数y＝f（x）在（－1,3）上有实数解.

3.方程2x－x2＝0的解的个数是（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　C

解析　在同一直角坐标系中画出函数y＝2x及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.

4.已知函数f（x）＝x2＋（a2－1）x＋（a－2）的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________.

答案　（－∞，2）

解析　由题意可知f（0）＝a－2<0，解得a<2.

1.在函数零点存在定理中，要注意三点：

（1）函数是连续的；

（2）定理不可逆；（3）至少存在一个零点.

2.方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图象交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图象与x轴交点的横坐标.

3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.

一、选择题

1.下列图象表示的函数中没有零点的是（　　）

答案　A

解析　B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点.

2.函数f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）的零点个数是（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　C

解析　∵f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）

＝（x－1）（x＋5）（x－2），

∴由f（x）＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.

3.下列区间中，存在函数f（x）＝ln（x＋1）－

的零点的是（　　）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2，e）D.（3,4）

答案　B

解析　f

（1）＝ln2－2<0，f

（2）＝ln3－1>0，故在区间（1,2）上存在函数f（x）的零点.

4.已知函数y＝f（x）的图象在区间[a，b]上是连续不断的，且满足f（a）·f（b）<0（a，b∈R，a

A.有且只有一个零点B.至少有一个零点

C.无零点D.无法确定有无零点

答案　B

解析　函数y＝f（x）在定义域内连续，且满足f（a）·f（b）<0，故函数f（x）在（a，b）内至少有一个零点.

5.若函数f（x）＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是（　　）

A.－1和

B.1和－

C.

和

D.－

和

答案　B

解析　∵函数f（x）＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，

∴

即

∴g（x）＝6x2－5x－1，

∴g（x）的零点为1和－

，故选B.

6.函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若f

（1）>0，f

（2）<0，则f（x）在（1,2）上的零点（　　）

A.至多有一个B.有一个或两个

C.有且仅有一个D.一个也没有

答案　C

解析　若a＝0，则f（x）＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f

（1）·f

（2）<0，得只有一个零点；若a≠0，则f（x）＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f

（1）·f

（2）>0，与已知矛盾.故仅有一个零点.

二、填空题

7.若函数f（x）＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝__________.

答案　0或－

解析　a＝0时，f（x）只有一个零点－1，

a≠0时，由Δ＝1＋4a＝0，得a＝－

.

8.设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈（k，k＋1），k∈Z，则k＝________.

答案　2

解析　令f（x）＝lnx＋x－4，

且f（x）在（0，＋∞）上递增，

∵f

（2）＝ln2＋2－4＜0，

f（3）＝ln3－1＞0.

∴f（x）在（2,3）内有解，∴k＝2.

9.函数f（x）＝x2－2x＋a在区间（－2,0）和（2,3）内各有一个零点，则实数a的取值范围是_____.

答案　（－3,0）

解析　函数f（x）＝x2－2x＋a在区间（－2,0）和（2,3）内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知

即

解得－3

10.如果函数f（x）＝ax－b有一个零点是3，那么函数g（x）＝bx2＋3ax的零点是______.

答案　0，－1

解析　由f（x）＝ax－b有零点3，即3a－b＝0，b＝3a.

∴bx2＋3ax＝0，即3ax2＋3ax＝0，

∴x＝0或x＝－1.

三、解答题

11.已知函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g（x）＝bx2－ax－1的零点.

解　由题意得x2－ax－b＝0有两根2和3，

由根与系数的关系得

得

∴g（x）＝－6x2－5x－1.

令g（x）＝0，得6x2＋5x＋1＝0即

（2x＋1）（3x＋1）＝0，得x＝－

，或x＝－

.

∴g（x）的零点为－

，－

.

12.已知二次函数f（x）＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围.

（1）零点均大于1；

（2）一个零点大于1，一个零点小于1；

（3）一个零点在（0,1）内，另一个零点在（6,8）内.

解　

（1）因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，

结合二次函数的单调性与零点存在定理，得

解得2≤a＜

.

（2）因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，

结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f

（1）＝5－2a＜0，解得a＞

.

（3）因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在（0,1）内，另一个根在（6,8）内，

结合二次函数的单调性与零点存在定理，得

解得

＜a＜

.

13.已知二次函数f（x）满足：

f（0）＝3；f（x＋1）＝f（x）＋2x.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）令g（x）＝f（|x|）＋m（m∈R），若函数g（x）有4个零点，求实数m的取值范围.

解　

（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵f（0）＝3，

∴c＝3，∴f（x）＝ax2＋bx＋3.

f（x＋1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋3

＝ax2＋（2a＋b）x＋（a＋b＋3），

f（x）＋2x＝ax2＋（b＋2）x＋3，

∵f（x＋1）＝f（x）＋2x，

∴

解得a＝1，b＝－1，

∴f（x）＝x2－x＋3.

（2）由

（1），得g（x）＝x2－|x|＋3＋m，

在平面直角坐标系中，画出函数g（x）的图象，如图所示，

由于函数g（x）有4个零点，则函数g（x）的图象与x轴有4个交点.

由图象得

解得－3＜m＜－

，

即实数m的取值范围是

.