北京市朝阳区中考数学模拟试题及答案.doc
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2010年北京市朝阳区中考数学模拟试题
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
1．－3的立方是（）
A．－27B．－9 C．9 D．27
A
B
O
（第3题）
2．据统计，2008中国某小商品城市场全年成交额约为348.4亿元.近似数348.4亿元的有效数字的个数是（）
A．6个B．5个C．4个D．11个
3．正方形网格中，如图放置，则的值为（）
A． B．2 C． D．
4．已知甲、乙两组数据的平均数分别是，，方差分别是，，比较这两组数据，下列说法正确的是（）
A．乙组数据的波动较小B．乙组数据较好
C．甲组数据的极差较大 D．甲组数据较好
5．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
6．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）
（第6题）
A．
B．
C．
D．
7.函数与函数的图象交于A、B两点，设点A的坐标为，则边长分别为、的矩形面积和周长分别为（）
A.4，12B.4，6C.8，12D.8，6
8.如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△
绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：
①△≌△；②△∽△；
③；④
其中一定正确的是
A．②④ B．①③
C．②③ D．①④
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9.分解因式．
10.函数中，自变量的取值范围是．
11.一个口袋里有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是
12.如图，OA=OB，A点坐标是，OB与轴正方向夹角为，则B点坐标是．
（第题图）
AB与轴交于点C，若以OC为轴，将沿OC翻折，B点落在第二象限内处，则的长度为．
三、解答题（共13道小题，共72分）
13．（本小题满分5分）计算：
.
14．（本小题满分5分）解方程．
15.（本小题满分5分）
小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。
（计算结果精确到0.1米，）
第15题图
（本小题满分5分）
对于任何实数，我们规定符号的意义是：
=．按照这个规定请你计算：
当时，的值．
17.（本小题满分5分）
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点、、都在格点上．
（第17题）
A
B
O
（1）画出绕点逆时针旋转后得到的三角形；
（2）求在上述旋转过程中所扫过的面积．
18．（本小题满分5分）
如图，为半圆的直径，点C在半圆上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且.
（1）求证：
是半圆O的切线；
（2）若，，求的长.
19.（本小题满分5分）
如图，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．求证：
四边形DECF为菱形．
20．（本题满分5分）
某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年级
（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成下两幅统计图（如图），请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：
A级：
90分—100分；B级：
75分—89分；C级：
60分—74分；D级：
60分以下）
（1）D级学生的人数占全班人数的百分比为；
（2）扇形统计图中C级所在扇形圆心角度数为；
（3）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级内；
（4）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人。
25
20
15
10
5
0
13
25
10
2
人数
A
B
C
D
等级
第20题图1
第20题图2
21．（本小题满分5分）
一辆经营长途运输的货车在高速公路的处加满油后匀速行驶，下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量（升）与行驶时间（时）之间的关系：
行驶时间（时）
0
1
2
2.5
余油量（升）
100
80
60
50
（1）请你认真分析上表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示与之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）按照
（1）中的变化规律，货车从处出发行驶4.2小时到达B处，求此时油箱内余油多少升？
22．（本小题满分5分）
定义为一次函数的特征数．
（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；
（2）设点分别为抛物线与轴、轴的交点，其中，且的面积为4，为坐标原点，求图象过、两点的一次函数的特征数．
23.（本题满分7分）
已知二次函数的图象是C1．
（1）求C1关于点R（1，0）中心对称的图象C2的函数解析式；
（2）在
（1）的条件下，设抛物线C1、C2与y轴的交点分别为A、B，当AB=18时，求的值．
24.（本题满分7分）
（1）已知：
如图1，是⊙的内接正三角形，点为弧BC上一动点，求证：
（2）如图2，四边形是⊙的内接正方形，点为弧BC上一动点，求证:
（3）如图3，六边形是⊙的内接正六边形，点为弧BC上一动点，请探究三者之间有何数量关系，并给予证明.
图1
图2
图3
25.（本题满分8分）
如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA边在直线
上，AB边在直线上。
（1）直接写出O、A、B、C的坐标；
（2）在OB上有一动点P，以O为圆心，OP为半径画弧，分别交边OA、OC于M、N（M、N可以与A、C重合），作⊙Q与边AB、BC，弧都相切，⊙Q分别与边AB、BC相切于点D、E，设⊙Q的半径为r，OP的长为y，求y与r之间的函数关系式，并写出自变量r的取值范围；
（3）以O为圆心、OA为半径做扇形OAC，请问在菱形OABC中，除去扇形OAC后剩余部分内，是否可以截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥.若可以，求出这个圆的面积，若不可以，说明理由。
（第25题图）
参考答案及评分标准
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
A
C
B
A
D
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
题号
9
10
11
12
答案
；
三、解答题（共13道小题，共72分）
13.解：
原式=……………………………………………………………4分
=…………………………………………………………………………………5分
14.解：
方程两边同乘，得
． 3分
解这个方程，得
． 4分
检验：
当时，．
所以是原方程的解． 5分
15.解：
在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×…………………………………3分
又∵DE=AB=1.5
∴CE=CD＋DE=（米）
答：
此时风筝离地面的高度约是18.8米.…………………………………………5分
16.解：
………3分
D
E
（第17题）
A
B
O
…………………5分
17．解：
（1）画图正确（如图）．…………2分
（2）所扫过的面积是：
．…………5分
18．
（1）证明：
∵为半圆的直径，
∴
又∵∥，∴，
∴.
∵，∴.
∴半径OA⊥AD于点A，∴是半圆O的切线.…………………2分
（2）解：
∵在⊙O中，于E，∴.
在中，，.…3分
∵，
∴∽：
∴,∴
∴………………………………………………………………………5分
19．证法一：
连结CD
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∵∠CAB、∠ABC的平分线交于点D
∴点D是△ABC的内心，
∴CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
∵DF∥BC
∴∠FDC＝∠ECD，∴∠FCD＝∠FDC
∴FC＝FD，
∴平行四边形DECF为菱形． 5分
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴S□DECF=CE·DH=CF·DI，
∴CE=CF．
∴平行四边形DECF为菱形．…………………5分
20.
（1）4％.……………………………………………………………………………1分
（2）.…………………………………………………………………………2分
（3）B级．………………………………………………………………………………3分
（4）由题意可知，A级和B级学生的人数和占全班总人数的%，
∴%.
∴估计这次考试中A级和B级的学生共有380人.………………………5分
21．解：
（1）设与之间的关系为一次函数，其函数表达式为…………1分
将，代入上式得，
解得
3分
验证：
当时，，符合一次函数；
当时，，也符合一次函数．
可用一次函数表示其变化规律，而不用反比例函数、二次函数表示其变化规律
与之间的关系是一次函数，其函数表达式为 4分
（2）当时，由可得
即货车行驶到B处时油箱内余油16升．………………………………………5分
22．解：
（1）特征数为的一次函数为，
，
．………………………………………………………………………1分
（2）抛物线与轴的交点为，与轴的交点为．
若，则，∴（舍）；
若，则，∴．
综上，．
抛物线为，它与轴的交点为，与轴的交点为，所求一次函数为或，
特征数为或………………………………………………5分
23.解：
（1）由，可知抛物线C1的顶点为M（－2，－1）．由图知点M（－2，－1）关于点R（1，0）中心对称的点为N（4，1），以N（4，1）为顶点，与抛物线C1关于点R（1，0）中心对称的图像C2也是抛物线，且C1与C2的开口方向相反，故抛物线C2的函数解析式为，
即．…………………………………………………3分
（2）令=0，得抛物线C1、C2与y轴的交点A、B的纵坐标分别为和.
∴．
∴．
当时，有，得；
当<时，有，得．……………………………………7分
24.
（1）证明：
延长至,使,连结CE.
是等边三角形.
又
.…………2分
（2）证明：
过点作交于,
又，
又.
…………………………………………………4分
（3）答:
证明：
在上截取,连结,
.
又，
…………………………………………………7分
25.解：
（1），，，；…………………………2分
（2）连结QD、QE，则QD⊥AB，QE⊥BC.
∵QD=QE，∴点Q在的平分线上.
又∵OABC是菱形，∴点Q在OB上.∴⊙Q与弧MN相切于点P.
在Rt⊿QDB中，,
∴QB=2QD=2r.∴，.
其中.…………………………………………………5分
（3）可以.理由：
弧的长为.
设截下的⊙G符合条件，其半径为R，则..
由
（2）知，此时，则⊙Q的半径，
能截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥，
此圆的面积为.………………………………………………8分
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