全国中考数学试题分类汇编之解直角三角形.wps

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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班2013全国中考数学试题分类汇编全国中考数学试题分类汇编-解直角三角形解直角三角形试题由京翰教育一对一家教辅导（http:

/）整理（2013郴州）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（APBD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题3718684分析：

作AFBD，PGBD，在RtABF和PDG中分别求出BF、GD的值，继而可求得BD=BF+FG+DC的值解答：

解：

作AFBD，PGBD，垂足分别为F、G，由题意得：

AF=PG=CE=5km，FG=AP=20km，在RtAFB中，B=45，则BAF=45，BF=AF=5，APBD，D=DPH=30，在RtPGD中，tanD=，即tan30=，GD=5，则BD=BF+FG+DC=5+20+5=25+5（km）答：

飞机的飞行距离BD为25+5km点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，难度一般（2013衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得CBD=60，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题3718684分析：

易得DE=AB，利用BC长和60的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度解答：

解：

依题意得，CDB=BAE=ABD=AED=90，四边形ABDE是矩形，（1分）DE=AB=1.5，（2分）在RtBCD中，（3分）又BC=20，CBD=60，CD=BCsin60=20=10，（4分）CE=10+1.5，（5分）即此时风筝离地面的高度为（10+1.5）米点评：

考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法（2013，娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30和45，试确定生命所在点C的深度.（精确到0.1米，参考数据：

21.41，31.73）（2013湘西州）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短

（1）请在图中作出该船在点B处的位置；

（2）求钓鱼岛C到B处距离（结果保留根号）京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班考点：

解直角三角形的应用-方向角问题分析：

（1）根据垂线段最短知B点应是过C点所作南北方向的垂线的垂足

（2）在RtABC中，利用三角函数的知识求BC即可解答：

解：

（1）如图：

（2）在RtABC中AB=300.5=15（海里），BC=ABtan30=15=5（海里）答：

钓鱼岛C到B处距离为5海里点评：

考查了解直角三角形的应用方向角问题，此题为基础题，涉及用手中工具解题，如尺规，计算器等（2013益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：

AB=80.0米，PAB=38.5，PBA=26.5请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：

sin38.5=0.62，cos38.5=0.78，tan38.5=0.80，sin26.5=0.45，cos26.5=0.89，tan26.5=0.50）京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班考点：

解直角三角形的应用专题：

应用题分析：

设PD=x米，在RtPAD中表示出AD，在RtPDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置解答：

解：

设PD=x米，PDAB，ADP=BDP=90，在RtPAD中，tanPAD=，AD=x，在RtPBD中，tanPBD=，DB=2x，又AB=80.0米，x+2x=80.0，解得：

x24.6，即PD24.6米，DB=2x=49.2答：

小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般（2013巴中）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30和60，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据1.41，1.73）考点：

解直角三角形的应用245761分析：

过点C作CDAB交AB于点D，则CAD=30，CBD=60，在RtBDC中，CD=BD，在RtADC中，AD=CD，然后根据AB=ADBD=4，即可得到CD的方程，解方程即可解答：

解：

如图，过点C作CDAB交AB于点D探测线与地面的夹角为30和60，CAD=30，CBD=60，在RtBDC中，tan60=，京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班BD=，在RtADC中，tan30=，AD=，AB=ADBD=4，=4，CD=23.5（米）答：

生命所在点C的深度大约为3.5米点评：

本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力（2013，成都）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC=30，则该山坡的高BC的长为_100_米.（2013达州）钓鱼岛自古以来就是中国领土。

中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测。

如图，E、F为钓鱼岛东西两端。

某日，中国一艘海监船从A点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离CF=203公里，在A点测得钓鱼岛最西端F在最东端E的东北方向（C、F、E在同一直线上）。

求钓鱼岛东西两端的距离。

（21.41，31.73，结果精确到0.1）解析：

由题知，在RtACF中，ACF=90,A=30，CF=203公里.京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班cot30=320AC.解得，AC=60（公里）.（2分）又E在B的东北方向，且ACF=90E=CBE=45，CE=CB.（4分）又CB=AC-AB=60-22=38（公里），CE=38公里.（5分）EF=CE-CF=38-2033.4（公里）（6分）答：

钓鱼岛东西两端的距离约为3.4公里.（7分）（2013广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：

背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：

2

（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；

（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题3718684专题：

应用题分析：

（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H在RtEFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在RtADH中求出AH的长；由AF=FG+GHAH求出AF的长

（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积解答：

解：

（1）分别过点E、D作EGAB、DHAB交AB于G、H，四边形ABCD是梯形，且ABCD，DH平行且等于EG，故四边形EGHD是矩形，ED=GH，在RtADH中，AH=DHtanDAH=8tan45=8（米），在RtFGE中，i=1：

2=，京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班FG=2EG=16（米），AF=FG+GHAH=16+28=10（米）；

（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED坝长=（2+10）8400=19200（立方米）答：

（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；

（2）完成这项工程需要土石19200立方米点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般（2013乐山）如图11,山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC,在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60和45，求山的高度BC.（结果保留根号）（2013凉山州）小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：

第一步：

小亮在测点D处用测角仪测得仰角ACE=第二步：

小红量得测点D处到树底部B的水平距离BD=a第三步：

量出测角仪的高度CD=b之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题

（1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中：

京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班ab第一次15.711.3129.5第二次15.831.3330.8第三次15.891.3229.7平均值15.811.3230

（2）根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB（参考数据：

，结果保留3个有效数字）考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题；条形统计图；折线统计图分析：

（1）根据图中的信息将数据填入表格，并求平均值即可；

（2）过C作CEAB于E，可知四边形EBDC是矩形，可得CE=BD=a，BE=CD=b，在RtAEC中，根据=30，解直角三角形求出AE的长度，继而可求得树AB的高度，即风筝的高度解答：

解：

（1）填写表格如图：

ab第一次15.711.3129.5第二次15.831.3330.8第三次15.891.3229.7平均值15.811.3230

（2）过C作CEAB于E，则四边形EBDC是矩形，CE=BD=a，BE=CD=b，在RtAEC中，=30，a=15.81，AE=BEtan30=15.819.128（米），则AB=AE+EB=9.128+1.32=10.44810.4（米）答：

风筝的高度AB为10.4米京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班点评：

本题考查了解直角三角形的应用，涉及了条形统计图和折线统计图的知识，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，锻炼了同学们读图的能力（2013泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上），用测角仪测得塔顶D的仰角为75，且AB间距离为40m.

（1）求点B到AD的距离；

（2）求塔高CD（结果用根号表示）。

（2013眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长600米，高10米，背水坡的坡角为45的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固。

经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：

沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后背水坡EF的坡比。

求加固后坝底增加的宽度AF；（结果保留根号）求完成这项工程需要土石多少立方米？

（结果取）来源:

学科网（2013绵阳）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角为60，又从A点测得D点的俯角为30，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（）A20米B103米C153米D56米3:

1i732.13ABCDEFi=1:

345GDCBA9题图京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班（2013内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：

（即AB：

BC=1：

），且B、C、E三点在同一条直线上请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：

过点A作AFDE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE=x，在RtDCE和RtABC中分别表示出CE，BC的长度，求出DF的长度，然后在RtADF中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可解答：

解：

如图，过点A作AFDE于F，则四边形ABEF为矩形，AF=BE，EF=AB=3，设DE=x，在RtCDE中，CE=x，在RtABC中，=，AB=3，BC=3，在RtAFD中，DF=DEEF=x3，AF=（x3），AF=BE=BC+CE，（x3）=3+x，解得x=9答：

树高为9米点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班（2013遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少（结果保留根号）考点：

解直角三角形的应用-方向角问题分析：

首先过点B作BDAC于D，由题意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，则可求得ACD的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案解答：

解：

过点B作BDAC于D由题意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，ACB=180BACABC=30，在RtABD中，BD=ABsinBAD=20=10（海里），在RtBCD中，BC=20（海里）答：

此时船C与船B的距离是20海里点评：

此题考查了方向角问题此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键（2013宜宾）宜宾是国家级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一（如图）喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：

大观楼始建于明代（一说是唐代韦皋所建），后毁于兵火，乾隆乙酉年（1765年）重建，它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度如图，他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45，又前进了12米到达A处，在A处测得P的仰角为60请你帮助小伟算算京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班大观楼的高度（测角仪高度忽略不计，1.7，结果保留整数）考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题：

应用题分析：

设大观楼的高OP=x，在RtPOB中表示出OB，在RtPOA中表示出OA，再由AB=12米，可得出方程，解出即可得出答案解答：

解：

设大观楼的高OP=x，在RtPOB中，OBP=45，则OB=OP=x，在RtPOA中，OAP=60，则OA=OPcotOAP=x，由题意得，AB=OBOA=12m，即xx=12，解得：

x=18+6，故大观楼的高度OP=18+628米答：

大观楼的高度约为28米点评：

本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用（2013资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区,不允许它国船支进入.如图7，今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方向距岛60海里的B处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30的方向以12节的速度前往拦截，其间多次发出警告，2小时后海监船到达D处，与此同时日本渔船到达E处，此时海监船再次发出严重警告.

（1）当日本渔船收到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？

（4分）

（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度、原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段AC上的F处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F处？

（5分）（注注：

中国海监船的最大航速为18节，1节=1海里/时；参考数据：

sin26.30.44，sin20.50.35，sin18.10.31，21.4图7京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班）

（1）过点E作A的切线EG，连结AG，AE=AC-CE=52-18=34，AG=12，2分sinGEA=0.35，3分转向的角度至少应为北偏东69.5度；4分

（2）过点D作DHAB于H，由题意知，BD=24，DH=12，BH=12，5分易求四边形FDHA为矩形，FD=AH=60-12，7分海监船到达F处的时间为（60-12）182.2时，8分日本渔船到达F处的时间为（34-12）92.4时，海监船比日本船先到达F处.9分（2013自贡）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60，且与A相距km的C处

（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？

请说明理由考点：

解直角三角形的应用-方向角问题3718684分析：

（1）根据1=30，2=60，可知ABC为直角三角形根据勾股定理解答

（2）延长BC交l于T，比较AT与AM、AN的大小即可得出结论解答：

解：

（1）1=30，2=60，ABC为直角三角形AB=40km，AC=km，BC=16（km）1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，60=12（千米/小时）

（2）作线段BRx轴于R，作线段CSx轴于S，延长BC交l于T2=60，4=9060=30AC=8（km），CS=8sin30=4（km）AS=8cos30=8=12（km）31.7AGAE333京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班又1=30，3=9030=60AB=40km，BR=40sin60=20（km）AR=40cos60=40=20（km）易得，STCRTB，所以=，解得：

ST=8（km）所以AT=12+8=20（km）又因为AM=19.5km，MN长为1km，AN=20.5km，19.5AT20.5故轮船能够正好行至码头MN靠岸点评：

此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键（2013鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45降为30，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上求：

改善后滑滑板会加长多少？

（精确到0.01）（参考数据：

=1.414，=1.732，=2.449）考点：

解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：

在RtABC中，根据AB=5米，ABC=45，求出AC的长度，然后在RtADC中，解直角三角形求AD的长度，用ADAB即可求出滑板加长的长度解答：

解：

在RtABC中，AB=5，ABC=45，AC=ABsin45=5=，京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班在RtADC中，ADC=30，AD=5=51.414=7.07，ADAB=7.075=2.07（米）答：

改善后滑滑板会加长2.07米点评：

本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键（2013大连）如图，为了测量河的宽度，测量人员在高21的建筑物CD的顶端处测得河岸处的俯角45，测得河对岸处的俯角为30（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为m（精确到0.1）。

（参考数据：

1.41，1.73）（2013沈阳）身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A据地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37。

（1）求风筝据地面的告诉GF；

（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距离3米处固定摆放，通过计算说明；若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？

（2013铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tan的值测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37，塔底B的仰角为26.6已知塔高BC=80米，塔所在的山高京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三