初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结.doc
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初中三角形总复习
【知识精读】
1.三角形的定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形中的几条重要线段：
（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）
（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）
（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）
3.三角形的主要性质
（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；
（2）三角形的内角之和等于180°
（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；
（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；
（5）三角形具有稳定性。
4.补充性质：
在中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则。
三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。
三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。
实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。
因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。
5.三角形边角关系、性质的应用
【分类解析】
例1.锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（）
A. B.
C. D.
分析：
因为为锐角三角形，所以
又∠C＝2∠B，
又∵∠A为锐角，为锐角
，即
，故选择C。
例2.选择题：
已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:
3，则这个三角形的形状是（）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
分析：
由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
解：
∵三角形的一个外角等于160°
∴另两个外角的和等于200°
设这两个外角的度数为2x，3x
解得：
与80°相邻的内角为100°
∴这个三角形为钝角三角形
应选C
例3.如图，已知：
在中，，求证：
。
分析：
欲证，可作∠ABC的平分线BE交AC于E，只要证即可。
为与题设联系，又作AF//BE交CB的延长线于F。
显然∠EBC＝∠F，只要证即可。
由可得证。
证明：
作∠ABC的角平分线BE交AC于E，过点A作AF//BE交CB的延长线于F
又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE
∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF
又∵AB＋FB＞AF，即2AB＞AF
又∵
，又∵
例4.已知：
三角形的一边是另一边的两倍。
求证：
它的最小边在它的周长的与之间。
分析：
首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。
证明：
如图，设的三边为a、b、c，其中，
因此，c是最小边，
因此，，即
故最小边在周长的与之间。
中考点拨：
例1.选择题：
如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（）
A.50 B.100 C.180 D.200
分析：
由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。
解：
所以选择C
例2.选择题：
已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（）
A.大于2 B.小于12 C.大于2小于12 D.不能确定
分析：
根据三角形三边关系应有，即
所以应选C
例3.已知：
P为边长为1的等边内任一点。
求证：
证明：
过P点作EF//BC，分别交AB于E，交AC于F，
则∠AEP＝∠ABC＝60°
在中，
是等边三角形
题型展示：
例1.已知：
如图，在中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。
求证：
（1）∠BEC＞∠BAC；
（2）AB＋AC＞BE＋EC。
分析：
在
（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在
（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。
证明：
（1）∵∠BED是的一个外角，
同理，
即
（2）延长BE交AC于F点
即
例2.求证：
直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。
已知：
如图，在中，是的外角，AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD。
求证：
∠AFB＝45°
分析：
欲证，须证
∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD
∴要转证∠EAB＋∠ABD＝270°
又∵∠C＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和
∴问题得证
证明：
∵∠EAB＝∠ABC＋∠C
∠ABD＝∠CAB＋∠C
∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90°
∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD
在中，
【实战模拟】
1.已知：
三角形的三边长为3，8，，求x的取值范围。
2.已知：
中，，D点在BC的延长线上，使，，，求α和β间的关系为？
3.如图，中，的平分线交于P点，，则（）
A.68° B.80° C.88° D.46°
4.已知：
如图，AD是的BC边上高，AE平分。
求证：
5.求证：
三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。
【试题答案】
1.
分析：
本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。
解：
∵三边长分别为3，8，，由三边关系定理得：
2.
解：
又
，又∵
根据三角形内角和，得：
3.
解：
又∵BP、CP为∠B、∠C的平分线
4.
证明：
∵AE平分∠BAC，
又∵AD⊥BC，
又
5.
证明：
如图，设的∠BAC和∠ABC的外角平分线交于点D
则
又
。
9、等腰三角形
【知识精读】
（－）等腰三角形的性质
1.有关定理及其推论
定理：
等腰三角形有两边相等；
定理：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2.定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定
1.有关的定理及其推论
定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）
推论1：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2.定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3.等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】
例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
求证：
M是BE的中点。
分析：
欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。
因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。
证明：
因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
所以∠1＝∠ABC
又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E
所以∠ACB＝2∠E
即∠1＝∠E
所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M
所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）
例2.如图，已知：
中，，D是BC上一点，且，求的度数。
分析：
题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的。
因此需要考虑和在题目中的作用。
此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。
因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。
解：
因为，所以
因为，所以；
因为，所以（等边对等角）
而
所以
所以
又因为
即所以
即求得
说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。
把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。
本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。
2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。
例3.已知：
如图，中，于D。
求证：
。
分析：
欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与的关系。
证明：
过点A作于E，
所以（等腰三角形的三线合一性质）
因为
又，所以
所以（直角三角形两锐角互余）
所以（同角的余角相等）
即
说明：
1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。
因此添加底边的高是一条常用的辅助线；
2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。
因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。
4、中考题型：
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）
A.6个B.7个C.8个D.9个
分析：
由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C。
2.）已知：
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。
求证：
AE＝AF。
证明：
因为，所以
又因为
所以
又D是BC的中点，所以
所以
所以，所以
说明：
证法二：
连结AD，通过证明即可
5、题形展示：
例1.如图，中，，BD平分。
求证：
。
分析一：
从要证明的结论出发，在BC上截取，只需证明，考虑到，想到在BC上截取，连结DE，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出。
证明一：
在BC上截取，连结DE、DF
在和中，
又
而
即
分析二：
如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于，只需证明
易证，，故作的角平分线，则有，进而证明，从而可证出。
证明二：
延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分交BC于F。
由证明一知：
则有
DF平分
，在和中
，而
在和中，
在中，
说明：
“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。
【实战模拟】
1.选择题：
等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）
A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不对
2.如图，是等边三角形，，则的度数是________。
3.求证：
等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.
4.中，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：
。
【试题答案】
1.B
2.分析：
结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。
解：
因为是等边三角形
所以
因为，所以
所以
在中，因为
所以，所以
所以
3.分析：
首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。
已知：
如图，在中，，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。
求证：
点O在BC的垂直平分线上。
分析：
欲证本题结论，实际上就是证明。
而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有的两个三角形全等。
证明：
因为在中，
所以（等边对等角）
又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以（中线定义）
在和中，
所以
所以（全等三角形对应角相等）。
所以（等角对等边）。
即点O在BC的垂直平分线上。
说明：
（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。
特别是把“在
底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB＝OC”是关键的一点。
（2）实际上，本题也可改成开放题：
“△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AC、AB上的中点，BD、CE交于O。
连结AO后，试判断AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。
4.分析：
此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。
题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。
证明：
过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。
3
1
在中，
所以
所以（等腰三角形三线合一性质）。
所以（邻补角定义）。
所以
又因为ED垂直平分AB，所以（直角三角形两锐角互余）。
（线段垂直平分线定义）。
又因为（直角三角形中角所对的边等于斜边的一半）。
所以
在和中，
所以
所以
即。
说明：
（1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；
（2）直角三角形中角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。
6、全等三角形及其应用
【知识精读】
1.全等三角形的定义：
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2.全等三角形的表示方法：
若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.全等三角形的的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等；
4.寻找对应元素的方法
（1）根据对应顶点找
如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图
（1），DBOC≌DEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的；
旋转
如图
（2），DCOD≌DBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的；
平移
如图（3），DDEF≌DACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。
5.判定三角形全等的方法：
（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理
（2）推论：
角角边定理
6.注意问题：
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
（2）不能证明两个三角形全等的是，a:
三个角对应相等，即AAA；b:
有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
【分类解析】全等三角形知识的应用
（1）证明线段（或角）相等
例1：
如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：
BF=FC
分析：
由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.
证明：
在ΔACD和ΔABE中，
∴ΔACD≌ΔABE（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
又∵AD=AE,AB=AC.
∴AB－AD=AC－AE
即BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中
∴ΔDBF≌ΔECF（AAS）
∴BF=FC（全等三角形对应边相等）
（2）证明线段平行
例2：
已知：
如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：
AB∥CD
分析：
要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.
证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC（已知）
∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定义）
在ΔABF与ΔCDE中，
∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）
∴∠C＝∠A（全等三角形对应角相等）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3：
如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：
CD=2CE
分析：
（ⅰ）折半法：
取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。
证明：
取CD中点F，连接BF
∴BF=AC,且BF∥AC（三角形中位线定理）
∴∠ACB＝∠2（两直线平行内错角相等）
又∵AB=AC
∴∠ACB＝∠3（等边对等角）
∴∠3＝∠2
在ΔCEB与ΔCFB中，
∴ΔCEB≌ΔCFB（SAS）
∴CE=CF=CD（全等三角形对应边相等）
即CD=2CE
（ⅱ）加倍法
证明：
延长CE到F，使EF=CE，连BF.
在ΔAEC与ΔBEF中，
∴ΔAEC≌ΔBEF（SAS）
∴AC=BF,∠4＝∠3（全等三角形对应边、对应角相等）
∴BF∥AC（内错角相等两直线平行）
∵∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,
又AB=AC∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD（等角的补角相等）
在ΔCFB与ΔCDB中，
∴ΔCFB≌ΔCDB（SAS）
∴CF=CD
即CD=2CE
说明：
关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。
例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF（如图）（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.
（4）证明线段相互垂直
例4：
已知：
如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？
证明你的结论。
分析：
本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。
通过观察，可以猜测：
AO=BC，AO⊥BC.
证明：
延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中
∴ΔADO≌ΔCDB（SAS）
∴AO=BC,∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）
∵∠AOD＝∠COE（对顶角相等）
∴∠COE+∠OCE=90o
∴AO⊥BC
5、中考点拨：
例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．
求证：
∠F＝∠A．
分析：
证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．
证明：
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵EB＝ED，
∴∠ACB＝∠EDB．
∴ED∥AC．
∴∠BED＝∠A．
∵BE＝EA．
∴BD＝CD．
又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF
∴△BDE≌△CDF，
∴∠BED＝∠F．
∴∠F＝∠A．
说明：
证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、
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