四年级奥数数论 整除性质的应用B级学生版.docx

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四年级奥数数论整除性质的应用B级学生版

整除性质的应用

一、常见数字的整除判定方法：

（1）一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

（2）一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

（3）一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；

（4）一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；

（5）一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

（6）如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

（7）1001特征（家有三子7、11、13）

一个数除以7的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以7的余数；

一个数除以11的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以11的余数；

或者，其奇数位数字之和（从个位往高位数，个位为第1位，即为奇数位）减去偶数位数字之和所得的差除以11的余数；

一个数除以13的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差（大减小）能被13整除；

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

二、整除性质

性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，

c︱b，那么c︱（a±b）．

性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那

么b∣a，c∣a．

性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b

与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且（b，c）=1，那么bc∣a．

例如：

如果3∣12，4∣12，且（3，4）=1，那么（3×4）∣12．

性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；

性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a，且d｜c，那么ac｜bd；