湖南省郴州市中考数学试卷及解析.doc

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2014年湖南省郴州市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（2014年湖南郴州）﹣2的绝对值是（　　）

　 A． B． ﹣ C． 2 D． ﹣2

分析：

根据负数的绝对值等于它的相反数解答．

解：

﹣2的绝对值是2，即|﹣2|=2．故选：

C．

点评：

本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（2014年湖南郴州）下列实数属于无理数的是（　　）

　 A．0 B． π C． D． ﹣

分析：

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

解：

A、是整数，是有理数，选项错误；B、正确；

C、=3是整数，是有理数，选项错误；

D、是分数，是有理数，选项错误．故选：

B．

点评：

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：

π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

3．（3分）（2014年湖南郴州）下列运算正确的是（　　）

　 A． 3x﹣x=3 B． x2•x3=x5 C． （x2）3=x5 D． （2x）2=2x2

考点：

幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．

分析：

根据合并同类项，可判断A；

根据同底数幂的乘法，可判断B；

根据幂的乘方，可判断C；

根据积的乘方，可判断D．

解答：

解：

A、系数相减字母部分不变，故A错误；

B、底数不变指数相加，故B正确；

C、底数不变指数相乘，故C错误；

D、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故D错误；

故选：

B．

点评：

本题考查了幂的乘方与积的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘．

4．（3分）（2014年湖南郴州）已知圆锥的母线长为3，底面的半径为2，则圆锥的侧面积是（　　）

　 A． 4π B． 6π C． 10π D． 12π

考点：

圆锥的计算．

专题：

计算题．

分析：

根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．

解答：

解：

圆锥的侧面积=•2π•2•3=6π．

故选：

B．

点评：

本题考查了圆锥的计算：

锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

5．（3分）（2014年湖南郴州）以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

　 A． 等腰三角形 B． 平行四边形 C． 矩形 D． 等腰梯形

考点：

中心对称图形；轴对称图形．

分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解答：

解：

A、是轴对称图形，不是中心对称图形；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形；

C、是中心对称图形，也是轴对称图形；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形．

故选：

C．

点评：

掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称折叠后可重合，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6．（3分）（2014年湖南郴州）下列说法错误的是（　　）

　 A． 抛物线y=﹣x2+x的开口向下

　 B． 两点之间线段最短

　 C． 角平分线上的点到角两边的距离相等

　 D． 一次函数y=﹣x+1的函数值随自变量的增大而增大

考点：

二次函数的性质；一次函数的性质；线段的性质：

两点之间线段最短；角的概念．

分析：

根据二次函数的性质对A进行判断；

根据线段公理对B进行判断；

根据角平分线的性质对C进行判断；

根据一次函数的性质对D进行判断．

解答：

解：

A、由于a=﹣1＜0，则抛物线开口向下，所以A选项的说法正确；

B、两点之间线段最短，所以B选项的说法正确；

C、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以C选项的说法正确；

D、当k=﹣1，y随x的增大而减小，所以D选项的说法错误．

故选：

D．

点评：

本题考查了二次函数的性质：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：

当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．也考查了一次函数的性质、角平分线的性质和线段的性质．

7．（3分）（2014年湖南郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）

　 A． 对角线互相平分 B． 对角线互相垂直

　 C． 对角线相等 D． 对角线互相垂直且相等

考点：

正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．

专题：

证明题．

分析：

本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断．

解答：

解：

A、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；

B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；

C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；

D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．

故选：

A．

点评：

本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理．

8．（3分）（2014年湖南郴州）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的（　　）

　 A． 众数 B． 平均数 C． 中位数 D． 方差

考点：

统计量的选择．

分析：

7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

解答：

解：

由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少．

故选：

C．

点评：

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）（2014年湖南郴州）根据相关部门统计，2014年我国共有9390000名学生参加高考，9390000用科学记数法表示为　9.39×106　．

考点：

科学记数法—表示较大的数．

分析：

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：

解：

9390000用科学记数法表示为9.39×106，

故答案为：

9.39×106．

点评：

此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

10．（3分）（2014年湖南郴州）数据0、1、1、2、3、5的平均数是　2　．

考点：

算术平均数．

分析：

根据算术平均数的计算公式列出算式，再求出结果即可．

解答：

解：

数据0、1、1、2、3、5的平均数是（0+1+1+2+3+5）÷6=12÷6=2；

故答案为：

2．

点评：

此题考查了算术平均数，用到的知识点是算术平均数的计算公式，关键是根据题意列出算式．

11．（3分）（2014年湖南郴州）不等式组的解集是　﹣1＜x＜5　．

考点：

解一元一次不等式组．

分析：

先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．

解答：

解：

，

解①得：

x＞﹣1，

解②得：

x＜5，

则不等式组的解集是：

﹣1＜x＜5．

点评：

本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：

同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

12．（3分）（2014年湖南郴州）如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=　30°　．

考点：

圆周角定理．

分析：

由∠ACB是⊙O的圆周角，∠AOB是圆心角，且∠AOB=60°，根据圆周角定理，即可求得圆周角∠ACB的度数．

解答：

解：

如图，∵∠AOB=60°，

∴∠ACB=∠AOB=30°．

故答案是：

30°．

点评：

此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

13．（3分）（2014年湖南郴州）函数的自变量x的取值范围是　x≥6　．

考点：

函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．

分析：

二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，列不等式求解．

解答：

解：

根据题意得：

x﹣6≥0，解得x≥6．

点评：

本题考查的知识点为：

二次根式的被开方数是非负数．

14．（3分）（2014年湖南郴州）如图，在△ABC中，若E是AB的中点，F是AC的中点，∠B=50°，则∠AEF=　50°　．

考点：

三角形中位线定理．

分析：

根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AEF=∠B．

解答：

解：

∵E是AB的中点，F是AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B=50°．

故答案为：

50°．

点评：

本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，熟记定理与性质并准确识图是解题的关键．

15．（3分）（2014年湖南郴州）若，则=　　．

考点：

比例的性质．

分析：

先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．

解答：

解：

∵=，

∴a=，

∴=．

故答案为：

．

点评：

本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键，也是本题的难点．

16．（3分）（2014年湖南郴州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为　6　．

考点：

翻折变换（折叠问题）．

分析：

根据矩形的性质得出CD=AB=8，∠D=90°，根据折叠性质得出CF=BC=10，根据勾股定理求出即可．

解答：

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC=8，∠D=90°，

∵将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，

∴CF=BC=10，

在Rt△CDF中，由勾股定理得：

DF===6，

故答案为：

6．

点评：

本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质的应用，解此题的关键是求出CF和DC的长，题目比较典型，难度适中．

三、解答题（共6小题，满分36分）

17．（6分）（2014年湖南郴州）计算：

（1﹣）0+（﹣1）2014﹣tan30°+（）﹣2．

考点：

实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

专题：

计算题．

分析：

原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．

解答：

解：

原式=1+1﹣×+9=10．

点评：

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）（2014年湖南郴州）先化简，再求值：

（﹣），其中x=2．

考点：

分式的化简求值．

分析：

先将括号内的部分因式分解，约分后再将除法转化为乘法，然后代入求值．

解答：

解：

原式=[﹣]•

=（+）•

=•

=．

当x=2时，原式==1．

点评：

本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分因式分解是解题的关键．

19．（6分）（2014年湖南郴州）在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．

（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；

（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．

考点：

作图-位似变换．

分析：

（1）利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点位置；

（2）利用所画图形得出对应点坐标即可．

解答：

解：

（1）如图所示：

△A′B′C′即为所求；

（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：

A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．

点评：

此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．

20．（6分）（2014年湖南郴州）已知直线l平行于直线y=2x+1，并与反比例函数y=的图象相交于点A（a，1），求直线l的解析式．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

专题：

计算题．

分析：

先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定A（1，1），再设直线l的解析式为y=kx+b，利用两直线平行得到k=2，然后把A点坐标代入y=2x+b求出b，即可得到直线l的解析式．

解答：

解：

把A（a，1）代入y=得a=1，则A点坐标为（1，1）

设直线l的解析式为y=kx+b，

∵直线l平行于直线y=2x+1，

∴k=2，

把A（1，1）代入y=2x+b得2+b=1，

解得b=﹣1，

∴直线l的解析式为y=2x﹣1．

点评：

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：

反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．

21．（6分）（2014年湖南郴州）我市党的群众路线教育实践活动不断推进并初见成效．某县督导小组为了解群众对党员干部下基层、查民情、办实事的满意度（满意度分为四个等级：

A、非常满意；B、满意；C、基本满意；D、不满意），在某社区随机抽样调查了若干户居民，并根据调查数据绘制成下面两个不完整的统计图．

请你结合图中提供的信息解答下列问题．

（1）这次被调查的居民共有　200　户；

（2）请将条形统计图补充完整．

（3）若该社区有2000户居民，请你估计这个社区大约有多少户居民对党员干部的满意度是“非常满意”．根据统计结果，对党员干部今后的工作有何建议？

考点：

条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析：

（1）利用“非常满意”的人数除以它所占的百分比即可得这次被调查的居民户数；

（2）这次被调查的居民总户数减去非常满意、基本满意、不满意的人数求得满意的人数，再补全条形统计图即可；

（3）用该社区的居民总户数乘以“非常满意”人数占的百分比即可得这个社区对党员干部的满意度是“非常满意”的人数．建议答案不唯一．

解答：

解：

（1）50÷25%=200（户），

答：

这次被调查的居民共有200户，

故答案为：

200；

（2）200﹣50﹣20﹣10=120（户），

条形统计图如下：

（3）2000×25%=500（户），

答：

估计这个社区大约有500户居民对党员干部的满意度是“非常满意”．

根据统计结果，看出本社区党员干部下基层、察民情、办实事情况不错，要继续保持．

点评：

本题考查扇形统计图与条形统计图的综合能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

22．（6分）（2014年湖南郴州）某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：

此时渔政船和渔船相距多远？

（结果保留根号）

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

专题：

应用题．

分析：

在Rt△CDB中求出BD，在Rt△CDA中求出AD，继而可得AB，也即此时渔政船和渔船的距离．

解答：

解：

在Rt△CDA中，∠ACD=30°，CD=3000米，

∴AD=CDtan∠ACD=1000米，

在Rt△CDB中，∠BCD=60°，

∴BD=CDtan∠BCD=3000米，

∴AB=BD﹣AD=2000米．

答：

此时渔政船和渔船相距2000米．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，能利用已知线段及锐角三角函数值表示未知线段．

四、证明题（共1小题，满分8分）

23．（8分）（2014年湖南郴州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：

AE=CF．

考点：

全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

专题：

证明题．

分析：

根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出∠ABE=∠CDF，再利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，

即∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE=CF．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟记性质与三角形全等的判定方法求出全等的条件是解题的关键．

五。

应用题。

24．（8分）（2014年湖南郴州）为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走进城市，让城市拥抱森林”的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1000棵，其中甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵50元，据相关资料表明：

甲、乙两种树苗的成活率分别为85%和90%．

（1）若购买甲、乙两种树苗共用去了46500元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）若要使这批树苗的成活率不低于88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？

考点：

二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．

分析：

（1）设购买甲、乙两种树苗各x棵和y棵，根据甲、乙两种树苗共1000颗和甲、乙两种树苗共用去了46500元，列出方程组，进行求解即可；

（2）设至多可购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗为（1000﹣x）棵，根据这批树苗的成活率不低于88%，列出不等式，求解即可．

解答：

解：

（1）设购买甲、乙两种树苗各x棵和y棵，根据题意得：

，

解得：

，

答：

购买甲、乙两种树苗各350棵和650棵；

（2）设至多可购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗为（1000﹣x）棵，根据题意得，

≥88%，

解得x≤400，

答：

至多可购买甲种树苗400棵．

点评：

此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的数量关系，列出方程组和不等式．

六。

综合题（本大题2小题，每小题10分，共20分）

25．（10分）（2014年湖南郴州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？

（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．

（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？

考点：

相似形综合题；勾股定理．

分析：

（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t；

（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积；

（3）分两种情况，分别是DP=PC时和DC=PC时，分别EN的长度便可求出t的值．

解答：

解：

由∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm

易知：

AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm．

（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm

∴t=s=3s．

（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB上，则

∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1

∴BM=cm

∴t=s

当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，

设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，

∵AD=AH+DH=x+x=x=4，

∴x=3．

当≤t≤4时，SMNGN=1cm2

当4＜t≤6时，SMNGH=（t﹣3）2cm2

故S关于t的函数关系式为：

S=．

（3）分两种情况：

①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，

∴MN=6cm

∴EN=3cm+6cm=9cm

∴t=9s

故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；

②当DC=PC时，DC=PC=12cm

∴NC=6cm

∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm

∴t=（15﹣6）s

故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．

综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．

点评：

本题充分考查了学生对相似三角形和勾股定理的理解和运用，此题涉及到的知识点较多，有勾股定理．正方形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，利用学生系统的掌握知识，是一道好题．

26．（10分）（2014年湖南郴州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

求出此时点P的坐标；

（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？

若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）利用待定系数法即可求得；

（2）如答图1，四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．求出△PBC面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值；

（3）如答图2，DE为线段AC的垂直平分线，则点A、C关于直线DE对称．连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．分别求出直线DE、AM的解析式，联立后求出点G的坐标．

解答：

解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．

∴解得，

∴这条抛物线的解析式为：

y=﹣x2+x+2．

（2）设直线BC的解析式为：

y=kx+b，将B（2，0）、C（0，2）代入得：

，解得，

∴直线BC的解析式为：

y=﹣x+2．

如答图1，连接BC．

四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．

设P（x，﹣x2+x+2），

过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F（x，﹣x+2）．

∴PF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x．

S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF（xF﹣xC）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xC）=PF

∴S△PBC=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1

∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．