二次函数各种类型专题复习(有答案).doc

二次函数各种类型专题复习(有答案).doc

《二次函数各种类型专题复习(有答案).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数各种类型专题复习(有答案).doc（45页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

二次函数专题复习

一、二次函数与最值问题（面积最值、线段最值、周长最值）

1.（2011安顺）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

解：

（1）b=解析式y=x2-x-2.顶点D（,-）.

（2）当x=0时y=-2,∴C（0，-2），OC=2。

∴B（4,0）∴OA=1,OB=4,AB=5.△ABC是直角三角形.

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小。

解法一：

设抛物线的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.

∴∴，∴m=．

解法二：

设直线C′D的解析式为y=kx+n,

则，解得n=2,.∴.

∴当y=0时，，.∴.

2、（09江津）如图，抛物线与x轴交与A（1,0）,B（-3，0）两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？

若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在

（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？

，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

解：

（1）将A（1，0），B（－3，0）代中得

∴

∴抛物线解析式为：

（2）存在理由如下：

由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称

∴直线BC与的交点即为Q点，此时△AQC周长最小

∵∴C的坐标为：

（0，3）直线BC解析式为：

Q点坐标即为的解 ∴∴Q（－1，2）

（3）答：

存在 理由如下：

设P点

∵

若有最大值，则就最大，

∴

＝＝

当时，最大值＝

∴最大＝

当时，

∴点P坐标为

3、（2010常德）如图，已知抛物线与轴交于A（－4,0）和B（1,0）两点，与轴交于C点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;

（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．

解：

（1）故所求二次函数的解析式为．

（2）∵S△CEF=2S△BEF,∴

∵EF//AC,∴,△BEF～△BAC,

∴得 E点的坐标为（,0）.

（3）的解析式为．若设点的坐标为，

又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（．则有：

＝＝

即当时，线段取大值，此时点的坐标为（－2，－3）

二、二次函数与等腰三角形、直角三角形

4.（2011湘潭）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.

⑴求抛物线的解析式;

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

解：

（1）∴抛物线的解析式为：

y=-x2+2x+3．

（2）∵y=-x2+2x+3=，∴该抛物线的对称轴为x=1．

设Q点坐标为（1，m），则，

又.

当AB=AQ时，，解得：

，

∴Q点坐标为（1，）或（1，）；

当AB=BQ时，，解得：

，

∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；

当AQ=BQ时，，解得：

，

∴Q点坐标为（1，1）．

∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．

5、如图①，已知抛物线（a≠0）与轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

6、（2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？

如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？

求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

考点：

二次函数综合题

分析：

（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；

（2）由

（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，﹣a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

解答：

解：

（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：

，

∴抛物线的解析式为：

y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x轴于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；

（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

解得：

，

∴直线BC的解析式为：

y=﹣x+2．

如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），

∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，

∴E（2，1）．

7、（2014绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？

若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

分析：

（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y＝a（x＋1）2＋，再将M（﹣2，）代入，得＝a（﹣2＋1）2＋，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；

（2）先求出抛物线y＝﹣x2﹣x＋与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到BC＝＝2．设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以当△PBC为等腰三角形时分两种情况进行讨论：

①CP＝CB；②BP＝BC；

（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C＝BC，连结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，0），C（0，），根据中点坐标公式求出B′（3，2），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y＝x＋，直线AC的解析式为y＝﹣x＋，然后解方程组，即可求出Q点的坐标．

解答：

解：

（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y＝a（x＋1）2＋，

将M（﹣2，）代入，得＝a（﹣2＋1）2＋，

解得a＝﹣，

故所求抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x＋；

（2）∵y＝﹣x2﹣x＋，

∴x＝0时，y＝，

∴C（0，）．

y＝0时，﹣x2﹣x＋＝0，

解得x＝1或x＝﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC＝＝2．

设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以

当CP＝CB时，有CP＝＝2，解得m＝±；

当BP＝BC时，有BP＝＝2，解得m＝±2．

综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，＋），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；

（3）由

（2）知BC＝2，AC＝2，AB＝4，

所以BC2＋AC2＝AB2，即BC⊥AC．

连结BC并延长至B′，使B′C＝BC，连结B′M，交直线AC于点Q，

∵B、B′关于直线AC对称，

∴QB＝QB′，

∴QB＋QM＝QB′＋QM＝MB′，

又BM＝2，所以此时△QBM的周长最小．

由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．

设直线MB′的解析式为y＝kx＋n，

将M（﹣2，），B′（3，2）代入，

得，解得，

即直线MB′的解析式为y＝x＋．

同理可求得直线AC的解析式为y＝﹣x＋．

由，解得，即Q（﹣，）．

所以在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．

8、如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．

（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．

（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．

（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

考点：

二次函数综合题．

专题：

压轴题；分类讨论．

分析：

（1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，因此抛物线的解析式可设成交点式，然后把点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式．

（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大；求出另一个三角形面积的表达式，利用二次函数的性质确定其最值；本问需分类讨论：

①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示；

②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略．

（3）△PQB为等腰三角形时，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解：

①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示；

②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示；

③若点P为顶点，即PQ=QB，如答图2﹣3所示．

解答：

解：

（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），

∴该抛物线的解析式可设为y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．

∵点B（4，4）在该抛物线上，

∴a×4×（4﹣5）=4．

∴a=﹣1．

∴该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x．

（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．

①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．

∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：

y=x．

设M（x，﹣x2+5x），

过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），

∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．

S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（xE﹣0）+ME（xB﹣xE）=ME•xB=ME×4=2ME，

∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8

∴当x=2时，S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．

②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略．

可求得直线AB解析式为：

y=﹣4x+20．

设M（x，﹣x2+5x），

过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20），

∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．

S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（xE﹣xB）+ME（xA﹣xE）=ME•（xA﹣xB）=ME×1=ME，

∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+

∴当x=时，S△ABM最大值为，即四边形的面积最大．

比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．

当x=2时，y=﹣x2+5x=6，

∴M（2，6）．

（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．

设P（m，﹣m2+5m），则Q（m，m）

当△PQB为等腰三角形时，

①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示．

过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，

∴E（m，）．

∵BE∥x轴，B（4，4），

∴=4，

解得：

m=2或m=4（与点B重合，舍去）

∴m=2；

②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示．

易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．

∴PB∥x轴，

∴﹣m2+5m=4，

解得：

m=1或m=4（与点B重合，舍去）

∴m=1；

③若点P为顶点，即PQ=QB，如答图2﹣3所示．

∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m），

∴PQ=﹣m2+4m．

又∵QB=（xB﹣xQ）=（4﹣m），

∴﹣m2+4m=（4﹣m），

解得：

m=或m=4（与点B重合，舍去），

∴m=．

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．

点评：

本题是二次函数压轴题，涉及考点较多，有一定的难度．重点考查了分类讨论的数学思想，第

（2）（3）问均需要进行分类讨论，避免漏解．注意第

（2）问中求面积表达式的方法，以及第（3）问中利用方程思想求m值的方法.

9、（2013攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10、（2013绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：

x=m（m＞1）与x轴交于D。

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在

（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

二、三角形相似问题

11、（2013曲靖）如图，在平面直角坐标系，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．

（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？

若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

12、（2013凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于E，交CD于F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，用含m的代数式表示PM的长；

（3）在

（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的

抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为

顶点的三角形和△AEM相似？

若存在，求出此时m的值，

并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

13、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；[来源:

学|科|网]

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

考点：

二次函数综合题．菁优网版权所有

分析：

（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．

（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．

（3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=﹣x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；

解答：

解：

（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，

∴m=4+2=6，

∴B（4，6），

∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx﹣4上，

∴，

∵c=6，

∴a=2，b=﹣8，

∴y=2x2﹣8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），[来源:

学&科&网Z&X&X&K]

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），

=﹣2n2+9n﹣4，

=﹣2（n﹣）2+，

∵PC＞0，

∴当n=时，线段PC最大且为．

（3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b，

把A（，）代入得：

=﹣+b，解得：

b=3，

∴直线AC解析式：

y=﹣x+3，

点C在抛物线上，设C（m，2m2﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：

2m2﹣8m+6=﹣m+3，

整理得：

2m2﹣7m+3=0，

解得；m=3或m=，

∴P（3，0）或P（，）．

点评：

此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识；

14、（2013•白银压轴题）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于

（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？

若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．

（2）根据

（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．

解答：

解：

①∵函数的图象与x轴相交于O，

∴0=k+1，

∴k=﹣1，

∴y=x2﹣3x，

②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，

∵△AOB的面积等于6，

∴AO•BD=6，

当0=x2﹣3x，

x（x﹣3）=0，

解得：

x=0或3，

∴AO=3，

∴BD=4

即4=x2﹣3x，

解得：

x=4或x=﹣1（舍去）．

又∵顶点坐标为：

（1.5，﹣2.25）．

∵2.25＜4，

∴x轴下方不存在B点，

∴点B的坐标为：

（4，4）；

③∵点B的坐标为：

（4，4），

∴∠BOD=45°，BO==4，

当∠POB=90°，

∴∠POD=45°，

设P点横坐标为：

﹣x，则纵坐标为：

x2﹣3x，

即﹣x=x2﹣3x，

解得x=2或x=0，

∴在抛物线上仅存在一点P（2，﹣2）．

∴OP==2，

使∠POB=90°，

∴△POB的面积为：

PO•BO=×4×2=8．

点评：

本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．

15、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC。

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；

（3）在

（2）的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标。

15题

解：

（1）令x=0，解得y=3

∴点C的坐标为（0,3）

令y=0，解得x1=-1，x2=3

∴点A的坐标为（-1,0）

点B的坐标为（3,0）

（2）由A，B两点坐标求得直线AB的解析式为y=-x+3

设点P的坐标为（x，-x+3）（0＜x＜3）

∵PM∥y轴

∠PNB=90°，点M的坐标为（x，-x2+2x+3）

∴PM=（-x2+2x+3）-（-x+3）

=-x2+3x

∵

∴当x=时的面积最大

此时，点P的坐标为（，）

∴PN=，BN=，BP=

∴.

（3）求得抛物线对称轴为x=1

设点Q的坐标为（1，）

∴

①当∠CNQ=90°时，如图1所示

即

解得：

∴Q1（1，）

②当∠NCQ=90°时，如图2所示

即

解得：

∴Q2（1，）

③当∠CQN=90°时，如图3所示

即

解得：

∴Q3（1，）Q4（1，）

16、已知：

如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）

（1）求二次函数的解析式；

（2