甘肃省天水市中考数学试卷含答案.doc
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2017年甘肃省天水市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．若x与3互为相反数，则|x+3|等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2 C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1
4．下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000kg的煤所产生的能量．把130000000kg用科学记数法可表示为（ ）
A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg
6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．关于的叙述不正确的是（ ）
A．=2
B．面积是8的正方形的边长是
C．是有理数
D．在数轴上可以找到表示的点
8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ）
①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=．
A．①② B．②③ C．①③ D．都不是
9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（ ）
A．2π B．π C．π D．π
10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．分解因式：
x3﹣x= ．
13．定义一种新的运算：
x*y=，如：
3*1==，则（2*3）*2= ．
14．如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′= ．
15．观察下列的“蜂窝图”
则第n个图案中的“”的个数是 ．（用含有n的代数式表示）
16．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
17．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是 ．
18．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是 ．（只填写序号）
三、解答题（本大题共3小题，共28分）
19．
（1）计算：
﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（π﹣）0
（2）先化简，再求值：
（1﹣）÷，其中x=﹣1．
20．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）
21．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别
频数（人数）
频率
小说
0.5
戏剧
4
散文
10
0.25
其他
6
合计
1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）八年级一班有多少名学生？
（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
四、解答题（共50分）
22．如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
23．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：
BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．
24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？
哪种购车方案总费用最少？
最少总费用是多少？
25．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：
△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：
△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
26．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：
y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？
若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
2017年甘肃省天水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．若x与3互为相反数，则|x+3|等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】15：
绝对值；14：
相反数．
【分析】先求出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：
∵x与3互为相反数，
∴x=﹣3，
∴|x+3|=|﹣3+3|=0．
故选A．
2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：
简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：
从上面看易得横着的“”字，
故选C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2 C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1
【考点】4H：
整式的除法；35：
合并同类项；49：
单项式乘单项式．
【分析】直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：
A、2x+y无法计算，故此选项错误；
B、x•2y2=2xy2，正确；
C、2x÷x2=，故此选项错误；
D、4x﹣5x=﹣x，故此选项错误；
故选：
B．
4．下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
【考点】X3：
概率的意义．
【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．
【解答】解：
A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；
C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；
故选A．
5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000kg的煤所产生的能量．把130000000kg用科学记数法可表示为（ ）
A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg
【考点】1I：
科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：
130000000kg=1.3×108kg．
故选：
D．
6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KQ：
勾股定理；T1：
锐角三角函数的定义．
【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．
【解答】解：
设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，
∴cos∠B==．
故选B．
7．关于的叙述不正确的是（ ）
A．=2
B．面积是8的正方形的边长是
C．是有理数
D．在数轴上可以找到表示的点
【考点】27：
实数．
【分析】=2，是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是8的正方形的边长，由此作判断．
【解答】解：
A、=2，所以此选项叙述正确；
B、面积是8的正方形的边长是，所以此选项叙述正确；
C、=2，它是无理数，所以此选项叙述不正确；
D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示的点；所以此选项叙述正确；
本题选择叙述不正确的，
故选C．
8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ）
①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=．
A．①② B．②③ C．①③ D．都不是
【考点】G2：
反比例函数的图象；F4：
正比例函数的图象；H2：
二次函数的图象；R5：
中心对称图形．
【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点．
【解答】解：
根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形．
故选C
9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（ ）
A．2π B．π C．π D．π
【考点】M5：
圆周角定理；M2：
垂径定理；MO：
扇形面积的计算．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．
【解答】解：
如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE•cot60°=2×=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE•CE=﹣2+2=．
故选B．
10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】E7：
动点问题的函数图象．
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH=AB=2，BH=AH=2，则BC=2BH=4，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：
当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，DQ=BQ=x，利用三角形面积公式得到y=x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4，DQ=CQ=（8﹣x），利用三角形面积公式得y=﹣x+8，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．
【解答】解：
作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=4cm，
∴BH=CH，
∵∠B=30°，
∴AH=AB=2，BH=AH=2，
∴BC=2BH=4，
∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，
在Rt△BDQ中，DQ=BQ=x，
∴y=•x•x=x2，
当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4
在Rt△BDQ中，DQ=CQ=（8﹣x），
∴y=•（8﹣x）•4=﹣x+8，
综上所述，y=．
故选D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若式子有意义，则x的取值范围是 x≥﹣2且x≠0 ．
【考点】72：
二次根式有意义的条件；62：
分式有意义的条件．
【分析】分式中：
分母不为零、分子的被开方数是非负数．
【解答】解：
根据题意，得
x+2≥0，且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0．
故答案是：
x≥﹣2且x≠0．
12．分解因式：
x3﹣x= x（x+1）（x﹣1） ．
【考点】55：
提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：
x3﹣x，
=x（x2﹣1），
=x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：
x（x+1）（x﹣1）．
13．定义一种新的运算：
x*y=，如：
3*1==，则（2*3）*2= 2 ．
【考点】1G：
有理数的混合运算．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：
根据题中的新定义得：
（2*3）*2=（）*2=4*2==2，
故答案为：
2
14．如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′= 40° ．
【考点】PB：
翻折变换（折叠问题）；LB：
矩形的性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，再根据翻折变换的性质判断出四边形BCEC′是正方形，根据正方形的性质可得∠BEC=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BFC，再根据翻折变换的性质可得∠BFC′=∠BFC，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：
∵矩形ABCD，∠DAC=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠DAC=90°﹣65°=25°，
∵△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，
∴四边形BCEC′是正方形，
∴∠BEC=45°，
由三角形的外角性质，∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°，
由翻折的性质得，∠BFC′=∠BFC=70°，
∴∠AFC′=180°﹣∠BFC﹣∠BFC′=180°﹣70°﹣70°=40°．
故答案为：
40°．
15．观察下列的“蜂窝图”
则第n个图案中的“”的个数是 3n+1 ．（用含有n的代数式表示）
【考点】38：
规律型：
图形的变化类．
【分析】根据题意可知：
第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13‘个图案，由此可得出规律．
【解答】解：
由题意可知：
每1个都比前一个多出了3个“”，
∴第n个图案中共有“”为：
4+3（n﹣1）=3n+1
故答案为：
3n+1
16．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．
【考点】SA：
相似三角形的应用．
【分析】易得：
△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
【解答】解：
根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知=，即=，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
17．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是 6 ．
【考点】PA：
轴对称﹣最短路线问题；LE：
正方形的性质．
【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于AC对称，即可求得△PBE周长的最小值，本题得以解决．
【解答】解：
连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，
∵BE=1，BC=CD=4，
∴CE=3，DE=5，
∴BP′+P′E=DE=5，
∴△PBE周长的最小值是5+1=6，
故答案为：
6．
18．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是 ②⑤ ．（只填写序号）
【考点】HC：
二次函数与不等式（组）；H4：
二次函数图象与系数的关系；HA：
抛物线与x轴的交点．
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解答】解：
由图象可知：
a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．
观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，
观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，
因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，
所以②⑤正确，
故答案为②⑤．
三、解答题（本大题共3小题，共28分）
19．
（1）计算：
﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（π﹣）0
（2）先化简，再求值：
（1﹣）÷，其中x=﹣1．
【考点】6D：
分式的化简求值；2C：
实数的运算；6E：
零指数幂；6F：
负整数指数幂；T5：
特殊角的三角函数值．
【分析】
（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
（1）﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（π﹣）0=﹣1+2×+4﹣1=5；
（2）（1﹣）÷=×=，
当x=﹣1时，
原式=．
20．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）
【考点】TB：
解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：
勾股定理的应用．
【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，如图，在Rt△APC中，利用余弦的定义计算出PC=10，利用勾股定理计算出AC=10，再判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=10，然后计算AC﹣BC即可．
【解答】解：
如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=200，
在Rt△APC中，∵cos∠APC=，
∴PC=20•cos60°=10，
∴AC==10，
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴BC=PC=10，
∴AB=AC﹣BC=10﹣10（海里）．
答：
轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10﹣10）海里．
21．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别
频数（人数）
频率
小说
0.5
戏剧
4
散文
10
0.25
其他
6
合计
1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）八年级一班有多少名学生？
（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
【考点】X6：
列表法与树状图法；V7：
频数（率）分布表；VB：
扇形统计图．
【分析】
（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；
（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．
【解答】解：
（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0.25，
∴总人数=10÷0.25=40（人）；
（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为×100%=15%，
故答案为：
15%；
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，
∴P（丙和乙）==．
四、解答题（共50分）
22．如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
【考点】G8：
反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】
（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；
（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．
【解答】解：
（1）将点A（2，4）代入y=，得：
m=8，
则反比例函数解析式为y=，
当x=﹣4时，y=﹣2，
则点B（﹣4，﹣2），
将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，
得：
，
解得：
，
则一次函数解析式为y=x+2
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