7．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）
A．10，15B．13，15C．13，20D．15，15
【答案】D
【解析】将这五个答题数排序为：
10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15，故选D.
8．如图，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是（）
[来@%源:
中~国教育出^版网#]
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.
9．若直线经过点和，且，则的值可以是（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段和点绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段和点，则点所在的单位正方形区域是（）
A．1区B．2区C．3区D．4区
【答案】D
【解析】如图，根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.
点睛：
本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：
本题共６小题，每小题４分，共２４分．
11．计算．
【答案】1
【解析】原式=2-1=1.[来源^:
&*@中~教网]
12．如图，中，分别是的中点，连线，若，则线段的长等于．
【答案】6
【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴BC=2EF=6.
13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是．
【答案】红球（或红色的）
14．已知是数轴上的三个点，且在的右侧．点表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点表示的数是．
【答案】7
【解析】∵AB=2，BC=2AB，∴BC=4，3+4=7，故点C表示的数是7.
15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则等于度．
【答案】108
【解析】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
16．已知矩形的四个顶点均在反比例函数的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形的面积为．
【答案】7.5
点睛：
本题主要考查双曲线、矩形的对称性，双曲线关于原点对称，关于直线y=±x对称，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，能根据本题的题意确定矩形的对称中心是原点，并能应用图形的对称性解决问题是关键.
三、解答题：
本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．先化简，再求值：
，其中．
【答案】，.
【解析】
试题分析：
先通分计算括号内的，然后再利用分式的乘除法进行计算，最后代入求值即可.
试题解析：
原式=，
当a=-1时，原式==.
18．如图，点在一条直线上，．求证：
．
[www.z%#z&step^@.com]
【答案】证明见解析.[来#%源:
中国教育&出版^网@]
【解析】
19．如图，中，，垂足为．求作的平分线，分别交于，两点；并证明．（要求：
尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析；证明见解析.
【解析】
试题分析：
按作图方法作出角平分线BQ，然后通过利用互为余角以及等角的余角相等得到∠APQ=∠AQP,从而证得AP=AQ.[来~@源^:
中国教#*育出版网]
试题解析：
作图如下，BQ就是所求作的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点.
证明如下：
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°，∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP，∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.
20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：
“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？
”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
【答案】鸡有23只，兔有12只.
【解析】
21．如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，．[w^ww.z&#~*]
[来@^源~:
中国教育#出版网%]
（Ⅰ）若，求弧的长；
（Ⅱ）若弧弧，，求证：
是的切线．
【答案】（Ⅰ）的长=π；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】[ww~w.z%^zst&ep.c@om]
试题分析：
（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得；
（Ⅱ）由=，可得∠BOC=∠AOD，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD，由∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得PD是⊙O的切线.
试题解析：
（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=AB=2，∴的长==π；
22．小明在某次作业中得到如下结果：
，
，[中国教@^育*出版网#%]
，
，
．[中@#国教育出~&版*网]
据此，小明猜想：
对于任意锐角，均有．
（Ⅰ）当时，验证是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立?
若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【答案】（Ⅰ）成立，证明见解析；（Ⅱ）成立，证明见解析.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）成立，当时，将30°与60°的正弦值代入计算即可得证；
（Ⅱ）成立，如图，△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，正确地表示这两个角的正弦并利用勾股定理即可得证.
试题解析：
（Ⅰ）当时，=sin230°+sin260°===1，所以成立；
（Ⅱ）小明的猜想成立.证明如下：
如图，△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，
sin2α+sin2（90°-α）==1[来源:
zzst&ep~@.c^o%m]
23．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：
一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数
0
1
2
3
4
5（含5次以上）
累计车费
0
0.5
0.9
1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：
收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利?
说明理由．
【答案】（Ⅰ）a=1.2，b=1.4；（Ⅱ）不能获利，理由见解析；
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）根据调整后的收费歀：
一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费通过计算即可得a=1.2，b=1.4；[中@国教育#出版&%网~]
（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费
为：
×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.1×15）=1.1（元），
所以估计该校5000名师生一天使用A品牌共享单车的总车费为：
5000×1.1=5500（元），
因为5500<5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利.
24．如图，矩形中，，分别是线段AC、BC上的点，且四边形为矩形．
（Ⅰ）若是等腰三角形时，求的长；
（Ⅱ）若，求的长．[www%.zz@s&t~ep.co^m]
【答案】（Ⅰ）AP的长为4或5或；（Ⅱ）CF=
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得；
（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，通过证明△ADP∽△CDF，从而得，由AP=，从而可得CF=.
试题解析：
（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，AC==10；
要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：
（1）当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC-CP=4；[来&源:
中国^%教@育出版~网]
（2）当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=，即AP=5；
（3）当DP=DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC=AD·DC=AC·DQ，∴DQ=，∴CQ=，∴PC=2CQ=,∴AP=AC-PC=.
综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或；
（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，
点睛：
本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，能正确地分情况进行讨论是判定△PCD要等腰三角形的关键.[来源:
zz&step%.#co@m~]
25．已知直线与抛物线有一个公共点，且．
（Ⅰ）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为．
（ⅰ）若，求线段长度的取值范围；
（ⅱ）求面积的最小值．[来源%^:
@*中教网&]
【答案】（Ⅰ）抛物线顶点Q的坐标为（-，-）；（Ⅱ）理由见解析；
（Ⅲ）（i）5≤MN≤7.（ii）△QMN面积的最小值为.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）由抛物线过点M（1，0），可得b=-2a，将解析式y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a配方得y=a（x+）2-,从而可得抛物线顶点Q的坐标为（-，-）.[来@源:
中#国教育^出*版网&]
（Ⅱ）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=-2.
由y=2x-2、y=ax2+ax-2a，可得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（*），由根的判别式可得方程（*）有两个不相等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点.
（ii）作直线x=-交直线y=2x-2于点E，得E（-，-3），
从而可得△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM=，即27a2+（8S-54）a+24=0，（*）
因为关于a的方程（*）有实数根，从而可和S≥，继而得到面积的最小值.
试题解析：
（Ⅰ）因为抛物线过点M（1，0），所以a+a+b=0，即b=-2a，所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-,所以抛物线顶点Q的坐标为（-，-）.
（Ⅱ）因为直线y=2x+m经过点M（1，0），所以0=2×1+m，解得m=-2.
把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（*），所以△=（a-2）2-4a（-2a+2）=9a2-12a+4由（Ⅰ）知b=-2a，又a0，所以△>0，所以方程（*）有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点.
（ii）作直线x=-交直线y=2x-2于点E，把x=-代入y=2x-2得，y=-3，即E（-，-3），
又因为M（1，0），N（-2，-6），且由（Ⅱ）知a<0，
所以△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM==，
即27a2+（8S-54）a+24=0，（*）[来源:
^@中教网&~%]
因为关于a的方程（*）有实数根，所以△=（8S-54）2-4×27×24≥0，即（8S-54）2≥（36）2，
又因为a<0，所以S=>,所以8S-54>0，所以8S-54>0，
所以8S-54≥36，即S≥，
当S=时，由方程（*）可得a=-满足题意.
故当a=-，b=时，△QMN面积的最小值为.
点睛：
本题考查的二次函数的综合问题，能正确地应用待定系数法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等是解决本题的关键.
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[来源@:
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