中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析.doc
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数学专题之【动点综合型问题】精品解析
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中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析
23．（江苏连云港）如图，甲、乙两人分别从A（1，）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行走，th后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？
O
B
y
x
A
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．
解：
（1）∵A（1，），∴OA＝2，∠AOB＝60°
假设MN∥AB，则有＝
∵OM＝2－4t，ON＝6－4t，∴＝
解得t＝0
即在甲、乙两人到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB
∴MN与AB不可能平行
（2）∵甲达到O点时间为t＝＝，乙达到O点时间为t＝＝
∴甲先到达O点，∴t＝或t＝时，O、M、N三点不能构成三角形
①当t＜时，若△OMN∽△OBA，则有＝
解得t＝2＞，∴△OMN与△OBA不相似
O
B
y
x
A
M
H
图1
N
②当＜t＜时，∠MON＞∠OAB，显然△OMN与△OBA不相似
③当t＞时，＝，解得t＝2＞
∴当t＝2时，△OMN∽△OBA
（3）①当t≤时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H
在Rt△MOH中，∵∠AOB＝60°
∴MH＝OM·sin60°＝（2－4t）×＝（1－2t）
∴NH＝（4t－2）＋（6－4t）＝5－2t
O
B
y
x
A
M
H
图2
N
∴s＝[（1－2t）]2＋（5－2t）2＝16t2－32t＋28
②当＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H
在Rt△MNH中，MH＝（4t－2）＝（2t－1）
NH＝（4t－2）＋（6－4t）＝5－2t
∴s＝[（1－2t）]2＋（5－2t）2＝16t2－32t＋28
③当t＞时，同理可得s＝[（1－2t）]2＋（5－2t）2＝16t2－32t＋28
综上所述，s＝16t2－32t＋28
∵s＝16t2－32t＋28＝16（t－1）2＋12
∴当t＝1时，s有最小值为12
∴甲、乙两人距离的最小值为2km
24．（江苏南通）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点．点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．
（1）若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
①若a＝，求PQ的长；
②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？
若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
C
B
D
A
Q
P
解：
（1）∵BC＝12，D是BC的中点
∴BD＝CD＝6
∵a＝2，∴BP＝2t，DQ＝t，BQ＝6－t
∵△BPQ∽△BDA，∴＝
∴＝，∴t＝
C
B
D
A
Q
P
M
（2）①∵a＝，∴BP＝t
∵四边形PQCM为平行四边形，∴PQ∥AC
∴△BPQ∽△BAC，∴＝
∴＝，∴t＝，∴BP＝
∵AB＝AC，∴PQ＝BP＝
②不存在
理由：
假设存在实数a，使得点P在∠ACB的角平分线上
则四边形PQCM为菱形，∴BP＝PQ＝CQ＝6＋t
由①知，＝，∴＝
∴t＝－＜0
∴不存在实数a，使得点P在ACB的角平分线上
25．（江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：
y＝x与直线l2：
y＝－x＋6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．
（1）求M、N的坐标；
（2）在矩形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN的重合部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；
（3）在
（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？
并求出最大值．
A
B
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
A
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
B
A
B
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
解：
（1）对于y＝－x＋6，令y＝0，得x＝6
∴点N的坐标为（6，0）
由题意，得解得
∴点M的坐标为（4，2）
（2）当0≤t≤1时，S＝t2
当1＜t≤4时，S＝t－
A
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
B
A
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
B
当4＜t＜5时，S＝－t2＋t－
当5≤t＜6时，S＝－t＋
当6≤t≤7时，S＝（7－t）2
（3）解法一：
当0≤t≤1时，S最大＝
当1＜t≤4时，S最大＝
A
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
B
当4＜t＜5时，S＝－（t－）2＋
∴当t＝时，S最大＝
当5≤t＜6时，S最大＝
当6≤t≤7时，S最大＝
综上可知，当t＝时，S的值最大，且最大值是
解法二：
由
（2）中的函数关系式可知，S的最大值一定在4＜t＜5时取得
当4＜t＜5时，S＝－（t－）2＋
∴当t＝时，S的值最大，且最大值是
26．（江苏模拟）已知抛物线与x轴交于B、C（1，0）两点，与y轴交于点A，顶点坐标为（，－）．P、Q分别是线段AB、OB上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P、Q运动时间为t（0≤t≤4）．
（1）求此抛物线的解析式，并求出P点的坐标（用t表示）；
（2）当△OPQ面积最大时求△OBP的面积；
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）△OPQ是否可能为等边三角形？
若可能请求出t的值；若不可能请说明理由，并改变Q点的运动速度，使△OPQ为等边三角形，求出Q点运动的速度和此时t的值．
y
O
x
A
B
C
Q
P
解：
（1）设抛物线的解析式为y＝a（x－）2－
∵抛物线过点C（1，0）
∴0＝a（1－）2－，∴a＝
∴y＝（x－）2－
令y＝0，得x1＝1，x2＝4，∴B（4，0）
令x＝0，得y＝3，∴A（0，3）
O
x
A
B
C
Q
P
y
M
N
∴AB＝＝5
过点P作PM⊥y轴于M
则△AMP∽△AOB，∴＝＝
即＝＝，∴AM＝t，PM＝t
∴P（t，3－t）
（2）过点P作PN⊥x轴于N
∴S△OPQ＝OQ·PN＝·t·（3－t）
＝－t2＋t＝－（t－）2＋
∴当t＝时，△OPQ面积最大
此时OP为AB边上的中线
∴S△OBP＝S△AOB＝××3×4＝3
（3）若∠OPQ＝90°，则OP2＋PQ2＝OQ2
∴（t）2＋（3－t）2＋（t－t）2＋（3－t）2＝t2
解得t1＝3，t2＝15（舍去）
若∠OQP＝90°，则PM＝OQ
∴t＝t，∴t＝0（舍去）
∴当t＝3时，△OPQ为直角三角形
（4）∵OP2＝（t）2＋（3－t）2，PQ2＝（t－t）2＋（3－t）2
∴OP≠PQ，∴△OPQ不可能是等边三角形
设Q的速度为每秒k个单位时，△OPQ为等边三角形
则OQ＝2PM，∴kt＝2·t，得k＝
PN＝OP＝OQ，∴3－t＝·t
∴t＝
27．（江苏模拟）如图，在梯形纸片ABCD中，BC∥AD，∠A＋∠D＝90°，tanA＝2，过点B作BH⊥AD于H，BC＝BH＝2．动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作FE⊥AD交折线D－C－B于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C1、D1．设F点运动的时间是t（秒）．
（1）当点E和点C重合时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，设△EFD1或四边形EFD1C1与梯形ABCD重叠部分面积为S，求S与t之间的函数关系式和相应自变量t的取值范围；
（3）平移线段CD，交线段BH于点G，交线段AD于点P．在直线BC上是否存在点Q，使△PGQ为等腰直角三角形？
若存在，求出线段BQ的长；若不存在，说明理由．
D1
A
B
C
F
E
D
H
A
B
C
D
H
备用图
解：
（1）过点C作CK⊥AD于K
A
B
C
D
H
K
则四边形BHKC是矩形，∴HK＝BC＝2，CK＝BH＝2
在Rt△CKD中，∠DCK＋∠D＝90°
∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DCK＝∠A
∴tan∠DCK＝tanA＝2，即＝2
∴DK＝4，即t＝4
D1
A
B
C
F
E
D
H
（2）∵＝tanA＝2，BH＝2，∴AH＝1
∴AD＝AH＋HK＋DK＝1＋2＋4＝7
①当0＜t≤3.5时，重叠部分为△EFD1
由题意，D1F＝DF＝t
在Rt△EFD中，∠DEF＋∠D＝90°
∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DEF＝∠A
D1
A
B
C
F
E
D
H
N
M
∴tan∠DEF＝tanA＝2，即＝2，∴EF＝t
∴S＝S△EFD1＝D1F·EF＝t·t＝t2
②当3.5＜t≤4时，重叠部分为四边形AFEM
过点M作MN⊥AD于N
D1
A
B
C
F
E
D
H
N
M
C1
则tanA＝D1A＝2t－7，＝tanA＝2，得AN＝MN
＝tanD1＝tanD＝cotA＝
即＝，得MN＝（2t－7）
D1
A
B
C
F
E
D
H
C1
∴S＝S△EFD1－S△MD1A＝t2－（2t－7）·（2t－7）
＝－t2＋t－
③当4＜t≤5时，重叠部分为五边形AFEC1M
S＝S△C1D1FE－S△MD1A＝（t－4＋t）·2－（2t－7）·（2t－7）
＝－t2＋t－
A
B
C
D
H
P
O
Q
G
④当5＜t≤6时，重叠部分为梯形AFEB
S＝S梯形AFEB＝（6－t＋7－t）·2＝－2t＋13
（3）①当点P为直角顶点时
A
B
C
D
H
P
O
G
（Q）
作QO⊥AD于O，则∠GPH＋∠QPO＝90°
∵∠GPH＋∠PGH＝90°，∴∠PGH＝∠QPO
又∵PG＝PQ，∠GHP＝∠POQ＝90°
∴△GHP≌△POQ，∴HP＝OQ＝2，PO＝OQ＝1
∴BQ＝HO＝3
A
B
C
D
H
P
G
Q
②当点Q为直角顶点时
同①可证△BQG≌△OQP，∴BQ＝OQ＝2
③当点G为直角顶点时
同①可证△BQG≌△HGP，∴BG＝HP＝2GH＝2BQ
∵BG＋GH＝BH，∴2BQ＋BQ＝2，∴BQ＝
∴在直线BC上存在点Q，使△PGQ为等腰直角三角形，线段BQ的长为3，2，
28．（江苏模拟）如图1，直线l：
y＝－x＋3分别交x轴、y轴于B、A两点，等腰Rt△CDE的斜边CD在x轴上，且CD＝6．若直线l以每秒3个单位的速度向上匀速运动，同时点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右匀速运动（如图2），设运动后直线l分别交x轴、y轴于N、M两点，以OM、ON为边作如图所示的矩形OMPN．设运动时间为t秒．
（1）运动t秒后点E坐标为______________，点N坐标为______________（用含t的代数式表示）；
（2）设矩形OMPN与运动后的△CDE的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）若直线l和△CDE运动后，直线l上存在点Q使∠OQC＝90°，则当在线段MN上符合条件的点Q有且只有两个时，求t的取值范围；
（4）连接PC、PE，当△PCE是等腰三角形时，直接写出t的值．
N
M
x
C
y
O
P
D
l
E
图2
A
B
x
C
D
y
O
E
l
图1
解：
（1）E（9＋2t，3），N（4＋4t，0）
（2）运动t秒时，ON＝4＋4t，OC＝6＋2t，OD＝12＋2t
当点N与点C重合时，4＋4t＝6＋2t，得t＝1
当点E在边PN上时，4＋4t＝9＋2t，得t＝2.5
当点N与点D重合时，4＋4t＝12＋2t，得t＝4
①当1＜t≤2.5时，重叠部分为等腰Rt△CFN
CN＝FN＝4＋4t－（6＋2t）＝2t－2
∴S＝（2t－2）2＝2t2－4t＋2
②当2.5＜t＜4时，重叠部分为四边形CEGN
ND＝12＋2t－（4＋4t）＝8－2t
∴S＝S△CDE－S△NGD＝×6×3－（8－2t）2＝－2t2＋16t－23
③当t≥4时，重叠部分为△CDE
N
M
x
C
y
O
P
D
l
E
G
∴S＝×6×3＝9
x
C
D
y
O
E
l
N
M
F
P
（3）①当直线l过点C，即C、N重合时，则线段MN上只存在一点Q使∠OQC＝90°
由
（2）知，此时t＝1
②以OC为直径作⊙O′，当直线l切⊙O′于点Q时，则线段MN上只存在一点Q使∠OQC＝90°
N
x
D
y
O
E
l
M
（C）
Q
OO′＝O′Q＝OC＝3＋t
O′N＝ON－OO′＝4＋4t－（3＋t）＝1＋3t
由＝sin∠O′NQ＝sin∠MNO＝
得＝，解得t＝3
所以当在线段MN上符合条件的点Q有且只有两个时，t的取值范围是1＜t＜3
C
x
D
y
O
E
l
M
Q
N
O′
（4）t＝，t＝，t＝，t＝1
提示：
∵P（4＋4t，3＋3t），C（6＋2t，0），E（9＋2t，3）
∴PC2＝（2t－2）2＋（3＋3t）2
PE2＝（2t－5）2＋（3t）2，CE2＝18
若PC＝PE，则（2t－2）2＋（3＋3t）2＝（2t－5）2＋（3t）2
解得t＝
若PC＝CE，则（2t－2）2＋（3＋3t）2＝18
解得t＝（舍去负值）
若PE＝CE，则（2t－5）2＋（3t）2＝18
解得t＝1或t＝
29．（江苏模拟）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为C（0，－），与x轴交于点A、B（A在B的左侧），连接AC、BC，得等边△ABC．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发，以每秒个单位的速度向y轴负方向运动，连接PQ交射线BC于点D，当点P到达点A时，点Q停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）以点P为圆心，PB为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：
在点P运动的过程中，线段DE的长是一定值，并求出该定值．
A
C
O
B
Q
x
y
P
A
C
O
B
x
y
备用图
解：
（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为C（0，－）
A
C
O
B
D
x
H
Q
P
E
y
∴抛物线的对称轴是y轴，∴b＝0
可设抛物线的解析式为y＝ax2－
∵△ABC是等边三角形，且CO⊥AB，CO＝
∴AO＝1，∴A（－1，0）
把A（－1，0）代入y＝ax2－，得a＝
∴抛物线的解析式为y＝x2－
（2）当0＜t＜1时，OP＝1－t，CQ＝t
∴S＝CQ·OP＝·t·（1－t）＝－t2＋t
当1＜t＜2，OP＝t－1，CQ＝t
∴S＝CQ·OP＝·t·（t－1）＝t2－t
（3）连接PE，过D作DH⊥y轴于H，设DH＝a
①当0＜t＜1时
∵PB＝PE，∠PBE＝60°
∴△PBE为等边三角形
A
C
O
B
H
x
D
Q
P
E
y
∴BE＝PB＝t
∵△QDH∽△QPO
∴＝，即＝
∴a＝，∴DC＝1－t
∴DE＝CB－EB－DC＝2－t－（1－t）＝1
②当1＜t＜2时
同理，△QDH∽△QPO，得＝
∴＝
∴a＝，∴DC＝t－1
∴DE＝DC＋CE＝t－1＋（2－t）＝1
综上所述，在点P运动的过程中，线段DE的长是定值2
30．（河北）如图，点A（－5，0），B（－3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP＝15°，求t的值；
B
A
Q
x
P
O
y
C
D
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
解：
（1）∵∠BCO＝∠CBO＝45°，∴OC＝OB＝3
又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为（0，3）
（2）当点P在点B右侧时，如图2
若∠BCP＝15°，得∠PCO＝30°
故OP＝OC·tan30°＝
此时t＝4＋
当点P在点B左侧时，如图3
由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60°
故OP＝OC·tan60°＝3
此时t＝4＋3
∴t的值为4＋或4＋3
B
A
Q
x
P
O
y
C
D
图3
B
A
Q
x
P
O
y
C
D
图2
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
B
A
Q
x
P
O
y
C
D
图4
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°
从而∠OCP＝45°，得到OP＝3，此时t＝1
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD
即点P与点O重合，此时t＝4
③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO＝90°
∴点A为切点，如图4
PC2＝PA2＝（9－t）2，PO2＝（t－4）2
于是（9－t）2＝（t－4）2＋32，解得：
t=5.6
∴t的值为1或4或5.6
31．（河北模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．点P从点A出发沿AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动；点Q从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动．运动过程中DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PB－BC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒．
（1）当t＝______________秒，直线DE经过点B；当t＝______________秒，直线DE经过点A；
（2）四边形DPBE能否成为直角梯形？
若能，求t的值；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，点E是BC的中点？
B
Q
A
D
C
E
P
（4）以E为圆心，EC长为半径的圆能否与AB、AC、PQ同时相切？
若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．
B
Q
A
D
C
P
（E）
解：
（1）；2
提示：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6
∴BC＝＝＝8
当直线DE经过点B时，连接QB，则PB＝QB
∴（10－2t）2＝t2＋82，解得t＝（舍去）或t＝
B
Q
A
D
C
P
E
当直线DE经过点A时，AP＝AQ
∴2t＝6－t，即t＝2
（2）①当DE∥PB时，四边形DPBE是直角梯形
此时∠APQ＝90°，由△AQP∽△ABC，得＝
B
Q
A
D
C
P
E
即＝，解得t＝
②当PQ∥BC时，四边形DPBE是直角梯形
此时∠AQP＝90°，由△APQ∽△ABC，得＝
即＝，解得t＝
B
Q
A
D
C
P
E
（3）连接QE、PE，作EG⊥PB于G，则QE＝PE
∵QE2＝t2＋42
PE2＝PG2＋EG2＝（10－2t－×4）2＋（×4）2
∴t2＋42＝（10－2t－×4）2＋（×4）2
B
Q
A
D
C
E
P
G
解得t＝（舍去）或t＝
（4）不能
设⊙E与AB相切于F点，连接EF、EP、EQ
则EC＝EF，EQ＝EP，∠ECQ＝∠EFP＝90°
∴△ECQ≌△EFP，∴QC＝PF
∵∠C＝90°，∴⊙E与AC相切于C点
∴AC＝AF，∴AQ＝AP
又AD＝AD，DQ＝DP
∴△ADQ≌△ADP，∴∠ADQ＝∠ADP＝90°
B
Q
A
D
C
P
E
F
又∠QDE＝90°，∴A、D、E三点在同一直线上
由
（1）知，此时t＝2，AQ＝6－t＝4
∵AB＝10，AC＝6，∴sinB＝＝＝
设EC＝EF＝x，则EB＝＝x
∵EC＋EB＝BC，∴x＋x＝8
∴x＝3，∴EC＝EF＝3
∴AE＝＝＝3
易知△ADQ∽△ACE，∴＝
∴＝，∴AD＝
∴ED＝AE－AD＝3－＝＝
而EC＝3＝，∴ED＞EC
∴此时⊙E与PQ相离
∴⊙E不能与AB、AC、PQ同时相切
32．（山东青岛）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AB？
（2）当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）在
（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE:
S五边形PQBCD＝1:
29？
若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h
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