浙江省衢州市2015年中考数学试题及答案解析(word版).doc
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2015年浙江省衢州市中考数学试卷
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2015•衢州)﹣3的相反数是( )
A.
3
B.]
﹣3
C.
D.
﹣
2.(3分)(2015•衢州)一个几何体零件如图所示,则它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.(3分)(2015•衢州)下列运算正确的是( )
A.
a3+a3=2a6
B.
(x2)3=x5
C.
2a6÷a3=2a2
D.
x3•x2=x5
4.(3分)(2015•衢州)如图,在▱ABCD中,已知AD=12cm,AB=8cm,AE平分∠BAD交BC边于点E,则CE的长等于( )
A.
8cm
B.
6cm
C.
4cm
D.
2cm
5.(3分)(2015•衢州)某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x,6,6,7.已知这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是( )
A.
7
B.
6
C.
5
D.
4
6.(3分)(2015•衢州)下列四个函数图象中,当x>0时,y随x的增大而减小的是( )
A.
B.
C.
D.
7.(3分)(2015•衢州)数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )
A.
勾股定理
B.
直径所对的圆心角是直角
C.
勾股定理的逆定理
D.
90°的圆周角所对的弦是直径
8.(3分)(2015•衢州)如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60°,则花坛对角线AC的长等于( )
A.
6米
B.
6米
C.
3米
D.
3米
9.(3分)(2015•衢州)如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF,tanα=,则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )
A.
144cm
B.
180cm
C.
240cm
D.
360cm
10.(3分)(2015•衢州)如图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是( )
A.
3
B.
4
C.
D.
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)(2015•衢州)从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动,则小明被选中的概率是 .
12.(4分)(2015•衢州)如图,小聪与小慧玩跷跷板,跷跷板支架高EF为0.6米,E是AB的中点,那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于 米.
13.(4分)(2015•衢州)写出一个解集为x>1的一元一次不等式:
.
14.(4分)(2015•衢州)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1m,水面宽AB=1.2m,某天下雨后,水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽CD等于 m.
15.(4分)(2015•衢州)已知,正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示,A(﹣2,0),点B在原点,把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2015次翻转之后,点B的坐标是 .
16.(4分)(2015•衢州)如图,已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线y=﹣x2+2x+5的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是 .
三、解答题(本题有8小题,第17-19小题每小题6分,第20-21小题每小题6分,第22-23小题每小题6分,第24小题12分,共66分。
请务必写出解答过程)
17.(6分)(2015•衢州)计算:
﹣|﹣2|+﹣4sin60°.
18.(6分)(2015•衢州)先化简,再求值:
(x2﹣9)÷,其中x=﹣1.
19.(6分)(2015•衢州)如图,已知点A(a,3)是一次函数y1=x+b图象与反比例函数y2=图象的一个交点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)在y轴的右侧,当y1>y2时,直接写出x的取值范围.
20.(8分)(2015•衢州)某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书.为了解所捐书籍的种类,对部分书籍进行了抽样调查,李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图.请根据统计图回答下面问题:
(1)本次抽样调查的书籍有多少本?
请补全条形统计图;
(2)求出图1中表示文学类书籍的扇形圆心角度数;
(3)本次活动师生共捐书1200本,请估计有多少本科普类书籍?
21.(8分)(2015•衢州)如图1,将矩形ABCD沿DE折叠,使顶点A落在DC上的点A′处,然后将矩形展平,沿EF折叠,使顶点A落在折痕DE上的点G处.再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处.如图2.
(1)求证:
EG=CH;
(2)已知AF=,求AD和AB的长.
22.(10分)(2015•衢州)小明在课外学习时遇到这样一个问题:
定义:
如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.
求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”.
小明是这样思考的:
由函数y=﹣x2+3x﹣2可知,a1=﹣1,b1=3,c1=﹣2,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2,就能确定这个函数的“旋转函数”.
请参考小明的方法解决下面问题:
(1)写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”;
(2)若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”,求(m+n)2015的值;
(3)已知函数y=﹣(x+1)(x﹣4)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分布是A1,B1,C1,试证明经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=﹣(x+1)(x﹣4)互为“旋转函数.”
23.(10分)(2015•衢州)高铁的开通,给衢州市民出行带来了极大的方便,“五一”期间,乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩,乐乐乘私家车从衢州出发1小时后,颖颖乘坐高铁从衢州出发,先到杭州火车站,然后再转车出租车取游乐园(换车时间忽略不计),两人恰好同时到达游乐园,他们离开衢州的距离y(千米)与乘车时间t(小时)的关系如图所示.
请结合图象解决下面问题:
(1)高铁的平均速度是每小时多少千米?
(2)当颖颖达到杭州火车东站时,乐乐距离游乐园还有多少千米?
(3)若乐乐要提前18分钟到达游乐园,问私家车的速度必须达到多少千米/小时?
24.(12分)(2015•衢州)如图,在△ABC中,AB=5,AC=9,S△ABC=,动点P从A点出发,沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动,动点Q从C点出发,以相同的速度在线段AC上由C向A运动,当Q点运动到A点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正方形PQEF(P、Q、E、F按逆时针排序),以CQ为边在AC上方作正方形QCGH.
(1)求tanA的值;
(2)设点P运动时间为t,正方形PQEF的面积为S,请探究S是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,正方形PQEF的某个顶点(Q点除外)落在正方形QCGH的边上,请直接写出t的值.
2015年浙江省衢州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2015•衢州)﹣3的相反数是( )
A.
3
B.
﹣3
C.
D.
﹣
考点:
相反数.
专题:
常规题型.
分析:
根据相反数的概念解答即可.
解答:
解:
﹣3的相反数是3,
故选:
A.
点评:
本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.
2.(3分)(2015•衢州)一个几何体零件如图所示,则它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
简单组合体的三视图.
分析:
根据从上面看得到的视图是俯视图,再结合几何体零件的实物图观察,即可判断出这个几何体零件的俯视图是哪个.
解答:
解:
这个几何体零件的俯视图是一个正中间有一个小正方形的矩形,
所以它的俯视图是选项C中的图形.
故选:
C.
点评:
此题主要考查了简单组合体的三视图,要熟练掌握,考查了对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.
3.(3分)(2015•衢州)下列运算正确的是( )
A.
a3+a3=2a6
B.
(x2)3=x5
C.
2a6÷a3=2a2
D.
x3•x2=x5
考点:
整式的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
分析:
根据合并同类项的法则,幂的乘方,单项式乘单项式,单项式除以单项式的法则进行解答..
解答:
解:
A、应为a3+a3=2a3,故本选项错误;
B、应为(x2)3=x6,故本选项错误;
C、应为2a6÷a3=2a3,故本选项错误;
D、x3•x2=x5正确.
故选D.
点评:
本题考查合并同类项,只需把系数相加减,字母和字母的指数不变;单项式乘单项式,应把系数,同底数幂分别相乘.
单项式除以单项式,应把系数,同底数幂分别相除.
4.(3分)(2015•衢州)如图,在▱ABCD中,已知AD=12cm,AB=8cm,AE平分∠BAD交BC边于点E,则CE的长等于( )
A.
8cm
B.
6cm
C.
4cm
D.
2cm
考点:
平行四边形的性质.
分析:
由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm,AD∥BC,得出∠DAE=∠BEA,证出∠BEA=∠BAE,得出BE=AB,即可得出CE的长.
解答:
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=12cm,AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BEA=∠BAE,
∴BE=AB=8cm,
∴CE=BC﹣BE=4cm;
故答案为:
C.
点评:
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
5.(3分)(2015•衢州)某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x,6,6,7.已知这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是( )
A.
7
B.
6
C.
5
D.
4
考点:
中位数;算术平均数.
分析:
本题可先算出x的值,再把数据按从小到大的顺序排列,找出最中间的数,即为中位数.
解答:
解:
∵某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x,6,6,7.已知这组数据的平均数是5,
∴x=5×7﹣4﹣4﹣5﹣6﹣6﹣7=3,
∴这一组数从小到大排列为:
3,4,4,5,6,6,7,
∴这组数据的中位数是:
5.
故选C.
点评:
本题考查的是中位数,熟知中位数的定义是解答此题的关键.
6.(3分)(2015•衢州)下列四个函数图象中,当x>0时,y随x的增大而减小的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.
专题:
计算题.
分析:
利用一次函数,二次函数,以及反比例函数的性质判断即可.
解答:
解:
当x>0时,y随x的增大而减小的是,
故选B
点评:
此题考查了二次函数的图象,一次函数的图象,以及反比例函数的图象,熟练掌握各自的图象与性质是解本题的关键.
7.(3分)(2015•衢州)数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )
A.
勾股定理
B.
直径所对的圆心角是直角
C.
勾股定理的逆定理
D.
90°的圆周角所对的弦是直径
考点:
作图—复杂作图;勾股定理的逆定理;圆周角定理.
分析:
由作图痕迹可以看出AB是直径,∠ACB是直径所对的圆周角,即可作出判断.
解答:
解:
由作图痕迹可以看出O为AB的中点,以O为圆心,AB为半径作圆,然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C,故∠ACB是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是:
直径所对的圆心角是直角.
故选:
B.
点评:
本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论,能够看懂作图过程是解决问题的关键.
8.(3分)(2015•衢州)如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60°,则花坛对角线AC的长等于( )
A.
6米
B.
6米
C.
3米
D.
3米
考点:
菱形的性质.
专题:
应用题.
分析:
由四边形ABCD为菱形,得到四条边相等,对角线垂直且互相平分,根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形,在直角三角形ABO中,利用勾股定理求出OA的长,即可确定出AC的长.
解答:
解:
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24÷4=6(米),
∵∠BAD=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴BD=AB=6(米),OD=OB=3(米),
在Rt△AOB中,根据勾股定理得:
OA==3(米),
则AC=2OA=6米,
故选A.
点评:
此题考查了勾股定理,菱形的性质,以及等边三角形的判定与性质,熟练掌握菱形的性质是解本题的关键.
9.(3分)(2015•衢州)如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF,tanα=,则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )
A.
144cm
B.
180cm
C.
240cm
D.
360cm
考点:
解直角三角形的应用.
分析:
根据题意可知:
△AEO∽△ABD,从而可求得BD的长,然后根据锐角三角函数的定义可求得AD的长.
解答:
解:
如图:
根据题意可知:
:
△AFO∽△ABD,OF=EF=30cm
∴,
∴
∴CD=72cm,
∵tanα=
∴
∴AD==180cm.
故选:
B.
点评:
此题考查了三角函数的基本概念,主要是余弦概念及运算,关键把实际问题转化为数学问题加以计算.
10.(3分)(2015•衢州)如图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是( )
A.
3
B.
4
C.
D.
考点:
切线的性质.
分析:
首先连接OD、BD,根据DE⊥BC,CD=5,CE=4,求出DE的长度是多少;然后根据AB是⊙O的直径,可得∠ADB=90°,判断出BD、AC的关系;最后在Rt△BCD中,求出BC的值是多少,再根据AB=BC,求出AB的值是多少,即可求出⊙O的半径是多少.
解答:
解:
如图1,连接OD、BD,
,
∵DE⊥BC,CD=5,CE=4,
∴DE=,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2,
∴5BD=3BC,
∴,
∵BD2+CD2=BC2,
∴,
解得BC=,
∵AB=BC,
∴AB=,
∴⊙O的半径是;
.
故选:
D.
点评:
此题主要考查了切线的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)(2015•衢州)从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动,则小明被选中的概率是 .
考点:
概率公式.
分析:
根据题意可得:
从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动,可以求出小明被选中的概率.
解答:
解:
∵从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动,
∴小明被选中的概率是:
.
故答案为:
.
点评:
本题考查的是概率的求法.如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
12.(4分)(2015•衢州)如图,小聪与小慧玩跷跷板,跷跷板支架高EF为0.6米,E是AB的中点,那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于 1.2 米.
考点:
三角形中位线定理.
专题:
应用题.
分析:
先求出F为AC的中点,根据三角形的中位线求出BC=2EF,代入求出即可.
解答:
解:
∵EF⊥AC,BC⊥AC,
∴EF∥BC,
∵E是AB的中点,
∴F为AC的中点,
∴BC=2EF,
∵EF=0.6米,
∴BC=1.2米,
故答案为:
1.2.
点评:
本题考查了三角形的中位线性质,平行线的性质和判定的应用,解此题的关键是求出BC=2EF,注意:
垂直于同一直线的两直线平行.
13.(4分)(2015•衢州)写出一个解集为x>1的一元一次不等式:
x﹣1>0 .
考点:
不等式的解集.
专题:
开放型.
分析:
根据一元一次不等式的求解逆用,把1进行移项就可以得到一个;也可以对原不等式进行其它变形,所以答案不唯一.
解答:
解:
移项,得x﹣1>0(答案不唯一).
故答案为x﹣1>0.
点评:
本题考查不等式的求解的逆用;写出的不等式只需符合条件,越简单越好.
14.(4分)(2015•衢州)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1m,水面宽AB=1.2m,某天下雨后,水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽CD等于 1.6 m.
考点:
垂径定理的应用;勾股定理.
分析:
先根据勾股定理求出OE的长,再根据垂径定理求出CF的长,即可得出结论.
解答:
解:
如图:
∵AB=1.2m,OE⊥AB,OA=1m,
∴AE=0.8m,
∵水管水面上升了0.2m,
∴AF=0.8﹣0.2=0.6m,
∴CF=m,
∴CD=1.6m.
故答案为:
1.6.
点评:
本题考查的是垂径定理的应用,熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.
15.(4分)(2015•衢州)已知,正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示,A(﹣2,0),点B在原点,把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2015次翻转之后,点B的坐标是 (4031,) .
考点:
坐标与图形变化-旋转.
专题:
规律型.
分析:
根据正六边形的特点,每6次翻转为一个循环组循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定出点B的位置,然后求出翻转前进的距离,过点B作BG⊥x于G,求出∠BAG=60°,然后求出AG、BG,再求出OG,然后写出点B的坐标即可.
解答:
解:
∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,
∴每6次翻转为一个循环组循环,
∵2015÷6=335余5,
∴经过2015次翻转为第336循环组的第5次翻转,点B在开始时点C的位置,
∵A(﹣2,0),
∴AB=2,
∴翻转前进的距离=2×2015=4030,
如图,过点B作BG⊥x于G,则∠BAG=60°,
所以,AG=2×=1,
BG=2×=,
所以,OG=4030+1=4031,
所以,点B的坐标为(4031,).
故答案为:
(4031,).
点评:
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,正六边形的性质,确定出最后点B所在的位置是解题的关键,难点在于作辅助线构造出直角三角形.
16.(4分)(2015•衢州)如图,已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线y=﹣x2+2x+5的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是 ﹣1,4,4+2,4﹣2 .
考点:
二次函数综合题.
分析:
设点P的坐标为(a,﹣a2+2a+5),分别表示出B、Q的坐标,然后根据PQ=BQ,列方程求出a的值.
解答:
解:
设点P的坐标为(a,﹣a2+2a+5),
则点Q为(a,﹣a+3),点B为(0,3),
当点P在点Q上方时,BQ==a,
PQ=﹣a2+2a+5﹣(﹣a+3)=﹣a2+a+2,
∵PQ=BQ,
∴a=﹣a2+a+2,
整理得:
a2﹣3a﹣4=0,
解得:
a=﹣1或a=4,
当点P在点Q下方时,BQ==a,
PQ=﹣a+3﹣(﹣a2+2a+5)=a2﹣a﹣2,
∵PQ=BQ,
∴a=a2﹣a﹣2,
整理得:
a2﹣8a﹣4=0,
解得:
a=4+2或a=4﹣2.
综上所述,a的值为:
﹣1,4,4+2,4﹣2.
故答案为:
﹣1,4,4+2,4﹣2.
点评:
本题考查了二次函数的综合题,涉及了二次函数与一次函数的交点问题,以及两点间的距离,解答本题的关键是设出点P的坐标,表示出PQ、BQ的长度,然后根据PQ=BQ,分情况讨论并求解,难度一般.
三、解答题(本题有8小题,第17-19小题每小题6分,第20-21小题每小题6分,第22-23小题每小题6分,第24小题12分,共66分。
请务必写出解答过程)
17.(6分)(2015•衢州)计算:
﹣|﹣2|+﹣4sin60°.
考点:
实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
分析:
先化简二次根式,绝对值,计算0指数幂以及代入特殊角的三角函数值,再进一步计算加减即可.
解答:
解:
原式=2﹣2+1﹣4×
=﹣1.
点评:
此题考查实数的混合运算,掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键.
18.(6分)(2015•衢州)先化简,再求值:
(x2﹣9)÷,其中x=﹣1.
考点:
分式的化简求值.
专题:
计算题.
分析:
原式利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.
解答:
解:
原式=(x+3)(x﹣3)•=x(x+3)=x2+3x,
当x=﹣1时,原式=1﹣3=﹣2.
点评:
此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19.(6分)(2015•衢州)如图,已知点A(a,3)是一次函数y1=x+b图象与反比例函数y2=图象的一个交点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)在y