中考数学填空压轴题汇编.docx
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2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4
1．（2017贵州六盘水）计算1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和是．
【答案】8555，
【解析】由题意可知1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和即为：
12＋22＋32＋42＋52＋…＋292．∵有规律：
，，，……，．
∴＝8555．
2．（2017贵州毕节）观察下列运算过程：
计算：
1＋2＋22＋…＋210..
解：
设S＝1＋2＋22＋…＋210,①
①×2得
2S＝2＋22＋23＋…＋211,②
②－①,得
S＝211－1.
所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1.
运用上面的计算方法计算：
1＋3＋32＋…＋32017＝______________.
【答案】，
【解析】设S＝1＋3＋32＋…＋32017,①
①×3得
3S＝3＋32＋33＋…＋32018,②
②－①,得
2S＝32018－1.
所以，1＋3＋32＋…＋32017＝.
3．（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P＇（－y＋1，x＋2），我们把点P＇（－y＋1，x＋2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为．
【答案】（2，0），
【解析】根据新定义，得P1（2，0）的终结点为P2（1，4），P2（1，4）的终结点为P3（－3，3），P3（－3，3）的终结点为P4（－2，－1），P4（－2，－1）的终结点为P5（2，0），
P5（2，0）的终结点为P4（1，4），……
观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P2017的坐标为（2，0）.
4．（2017广西百色）阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式的方法．
（1）二次项系数；
（2）常数项，验算：
“交叉相乘之和”；
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数－1，即：
，则，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：
＝______．
【答案】（x＋3）（3x－4）.
【解析】如图．
5．（2017湖北黄石）观察下列各式：
……
按以上规律，写出第n个式子的计算结果n为正整数）．（写出最简计算结果即可）
【答案】，
【解析】先看分子,左边是一个数,分子为1;左边两个数（相加）,则为2;左边三个数（相加）,则为3,…,左边n个数（相加）,则分子为n.而分母,就是分子加1,故答案:
.
6．（2017年湖南省郴州市）已知a1＝﹣，a2＝，a3＝﹣，a4＝，a5＝－，……，则a8＝．
【答案】，
【解析】由前5项可得an＝（－1）n·，当n＝8时，a8＝（－1）8·＝．
7．（2017江苏淮安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行
1
第二行
2
3
4
第三行
9
8
7
6
5
第四行
10
11
12
13
14
15
16
第五行
25
24
23
22
21
20
19
18
17
……
则2017在第________行．
【答案】45，
【解析】观察发现，前5行中最大的数分别为1、4，9、16、25，即为12、22、32、42、52，于是可知第行中最大的数是．当＝44时，＝1936；当＝45时，＝2025；因为1936＜2017＜2025，所以2017在第45行．
8．（2017山东滨州）观察下列各式：
，
……
请利用你所得结论，化简代数式＋＋＋…＋（n≥3且为整数），其结果为__________．
【答案】，
【解析】由这些式子可得规律：
＝．
因此，原式＝
＝
＝＝．
9．（2017甘肃武威）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的.如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为 ，第2017个图形的周长为 .
【答案】8，6053，
【解析】根据图形变化规律可知：
图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是梯形；当图形的个数时偶数个时，正好构成平行四边形，这个平行四边形的水平边是3，两斜边长是1，则周长是8．第2017个图形构成的图形是梯形，这个梯形的上底是3025，下底是3026，两腰长是1，故周长是6053.
10．（2017年贵州省黔东南州）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；……按此规律继续下去，则点B2017的坐标为．
【答案】（0，－31009），
【解析】由“含30°角的直角三角形三边关系”可得B的坐标为（，0），则依次可得出B1（0，－3），B2（，0），B3（0，9），B4（，0），B5（0，－27），…观察这组数据，不难发现坐标以4个为一周期，B2017位于周期中的第一个位置，这个位置的坐标规律为Bn（0,），所以B2017（0，－31009）．
11．（2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：
y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为___________．
【答案】2n＋1－2，
【解析】由题意得OA＝OA1＝2，∴OB1＝OA1＝2，B1B2＝B1A2＝4，B2A3＝B2B3＝8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…∴Bn的横坐标为2n＋1－2．
12．（2017黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在y的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为.
【答案】（0，）或（0，）或（0，）
【解析】∵，
∴，
同理，
……
.
13．（2017黑龙江绥化）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为。
【答案】，
【解析】规律探究题，求出前面有限个面积，找出规律，根据规律，直接写出结果．腰长为2的等腰直角三角形各边中点的小三角形的两条直角边均为1，所以第一个小三角形的面积为＝；第2个小三角形的两条直角边长均为，所以第2个小三角形的面积为＝；第3个小三角形的两条直角边长均为，所以第3个小三角形的面积为＝；依次类推，第n个小三角形的面积为，故填
14．（2017年广西北部湾经济区四市）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为.
【答案】（4040,1）
【解析】据题意可得，，，，以此类推，可得旋转2017次后，点P的坐标为（4040,1）
15．（2017湖北天门）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0）．点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．
【答案】（﹣2，0），
【解析】根据旋转可得：
P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2），P5（2，﹣2），P6（0，2），故6个循环，2017÷6＝336…1，故P2017（﹣2，0）．
16．（2017湖南衡阳）正方形，，，按如图的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是．
【答案】22017，
【解析】由图知，点B1的坐标为（1，1）；点A2的坐标为（1，2）；点B2的坐标为（3，2）；点A3的坐标为（3，4）；点B3的坐标为（7，4）；A4的坐标为（7，8），……寻找规律知B2018的纵坐标为22017，故填22017．
17．（2017湖南永州）一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．
（1）小球第3次着地时，经过的总路程为________________m；
（2）小球第n次着地时，经过的总路程为________________m．
【答案】
（1）；
（2），
【解析】小球第1次着地时，经过的总路程为1m；小球第2次着地时，经过的总路程为1＋×2＝2（m）；小球第3次着地时，经过的总路程为2＋×2＝（m）；小球第n次着地时，经过的总路程为1＋×2＋×2＋×2＋…＋×2＝（m）．
18．（2017湖南常德）如图，有一条折线,它是由过，，组成的折线依次平移4，8，12，个单位得到的，直线y＝kx＋2与此折线恰有2n（，且为整数）个交点，则k的值为_______________.
【答案】0或（），
【解析】①当k＝0时，即直线为y＝2，满足题意；②当直线经过点（0,2）与（4,0）时，满足题意，此时；③当直线经过点（0,2）与（8,0）时，满足题意，此时；以此类推，即答案为0或（）.
19．（2017江苏徐州）如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形.再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为．
【答案】（、、算对）
【解析】在Rt△AOB中，OA1＝＝，OA2＝＝，……，∴OAn＝.
20．（2017山东菏泽）如图AB⊥y轴，再将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点落在直线y＝－x上，再将△AB1O1绕点逆时针旋转到△AB1O2的位置，使点O1对应点O2落在直线y＝－x上，依次进行下去……若点B的坐标是（0,1），则O12的纵坐标为．
【答案】（9＋9，9＋3）
【解析】过点O2作O2C⊥x轴于点C，
∵AB⊥y轴，点B的坐标是（0,1），且点B在直线y＝－x，
∴点A的坐标为（），即OB＝1,AB＝,∴OA＝2，
由题意知，AB1＝AB＝，AO1＝OA＝2，O2B1＝OB＝1，∴OO2＝3＋，
∵tan∠O2OC＝，∴∠O2OC＝30°，
∴OC＝O2Ocos∠O2OC＝（3＋）×＝，
O2C＝O2Osin∠O2OC＝（3＋）×＝，
∴O2（，），O4（，），O6（，），
……，O12（，），即（9＋9，9＋3）.
21．（2017山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：
y＝x－与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是__________．
【答案】
【解析】把y＝0代入y＝x－，得x－＝0．解得x＝1．
∴B1（1,0），OB1＝1．∴A1B1＝OB1＝1.
把x＝0代入y＝x－，得y＝－．
∴M（0,－）,OM＝.
∵tan∠OB1M＝＝，∴∠OB1M＝30°．则∠A1B2O＝∠A2B3O＝30°．
又∵∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1M＝60°＋30°＝90°.∴∠A1B1B2＝90°.则∠A2B2B3＝∠A3B3B4＝90°．
∴A1B2＝2A1B1＝2×1＝2，
A2B3＝2A2B2＝2A1B2＝2×2＝22，
A3B4＝2A3B3＝2A2B3＝2×22＝23．
∴A1的横坐标是：
OB1＝×1＝；
A2的横坐标是：
OB1＋A1B2＝＋×2＝＋；
A3的横坐标是：
OB1＋A1B2＋A2B3＝（＋）＋×22＝＋＋；
A4的横坐标是：
OB1＋A1B2＋A2B3＋A3B4＝＋＋＋；
……；
A2017的横坐标是：
＋＋＋＋…＋＝．
[注：
设x＝1＋22＋23＋24＋…＋22016，则2x＝（21＋22＋23＋24＋…＋22016）＋22017，
∴2x－x＝（21＋22＋23＋24＋…＋22016）＋22017－（1＋22＋23＋24＋…＋22016）
∴x＝22017－1
∴＋＋＋＋…＋＝＝
22．（2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，点的坐标为（1,0），以为圆心，为半径画圆，交直线于点P1，交轴正半轴于点，以为圆心，为半径画圆，交直线于点，交轴正半轴于点，以为圆心，为半径画圆，交直线与点，交轴的正半轴于点，按此做法进行下去，其中的长为．
【答案】，
【解析】由题意知所对的圆心角度数为90°，半径为1，∴的长为；
所对的圆心角度数为90°，半径为2，∴的长为；所对的圆心角度数为90°，半径为4，∴的长为；所对的圆心角度数为90°，半径为8，∴的长为；∴的长为．
23．（2017山东淄博）设△ABC的面积为1.
如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1＝；
如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2＝；
如图3.分别将AC，BC边4等分，D1，D2,D3,E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3,其面积S3＝；
……
按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n＋1）等分，…，得到四边形CDnFnEn，
其面积Sn＝________．
【答案】，
【解析】法一：
规律猜想：
S1＝＝；
S2＝＝；
S3＝＝；
……
Sn＝＝.
法二：
推理论证：
如图连接DnEn.
A
B
En
C
Dn
Fn
由平行线分线段成比例定理的逆定理，得DnEn∥AB.
∴＝＝.
∴＝.
∴Sn＝＝＝.
24．（2017四川广安）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2……按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C1、C2、C3……在x轴上，则An的坐标是______．
【答案】（，），
【解析】∵点点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，∴A1的坐标是（0，1），即OA1＝1，∵A1B1C1O为正方形，∴OC1＝1，即点A2的横坐标为1，∴A2的坐标是（1，2），A2C1＝2，∵A2B2C2C1为正方形，∴C1C2＝2，∴OC2＝1＋2＝3，即点A3的横坐标为3，∴A3的坐标是（3，4），…，
观察可以发现：
A1的横坐标是：
0＝20－1，A1的纵坐标是：
1＝20；
A2的横坐标是：
1＝21－1，A2的纵坐标是：
2＝21；
A3的横坐标是：
3＝22－1，A3的纵坐标是：
4＝22；
……
据此可以得到An的横坐标是：
，纵坐标是：
．
所以点An的坐标是（，）．
25．（2017年四川资阳）按照如图8所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是______．
第1个第2个第3个
【答案】365
【解析】图形和黑色小正方形地砖的块数如下表
图形序号
1
2
3
黑色小正方形
地砖的块数
1
1＋4
＝1＋1×4
（1＋1×4）＋8
＝1＋1×4＋2×4
由此猜想第14个图案中黑色小正方形地砖的块数＝1＋1×4＋2×4＋…＋13×4＝1＋（1＋2＋3＋…＋13）×4＝1＋364＝365．
26．（2017浙江衢州）如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方形作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是 ，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为 ．
【答案】（5，），（＋896）π，
【解析】
首先求出B点坐标（－1，）根据图形变换规律，没三次翻滚一周，翻滚前后对应点横坐标加6，纵坐标不变，故B点变换后对应点坐标为（－1＋6，），即（5，）；追踪M点的变化在每个周期中，点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动，三个扇形半径分别为、1、1，又2017÷3＝672……1，故其运动路径长为π×（672＋1）＋π×672×2＝（＋896）π．
27．（2017海南）如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是___________．
【答案】
【解析】∵点M、N分别是AB、AC的中点，∴MN＝BC，当BC为⊙O的直径时，MN最长，此时△ABC为等腰直角三角形，易得BC＝5，∴MN＝
28．（2017湖南怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为 cm．
【答案】10﹣10．
【解析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．分别求出PD的最小值，即可判断．连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10，
∴∠A＝∠C＝60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA＝10；
②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10﹣10；
③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）．
29．（2017山东威海）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内的一动点,且满足∠PAB＝∠ACP.则线段PB长度的最小值为
【答案】，
【解析】将△APB绕点B顺时针旋转60°，如图，则△PBD是等边三角形,PB＝PD.因为∠PAB＝∠ACP，∴∠PCD＝60°.在△PCD中，当∠PCD＝60°最小时，PD最小，所以当△PCD时是等边三角形时PD＝PB最小,此时PCDB是菱形.在直角△POB中，OB＝1，∠PBO＝30°，∴PB＝．
30．（2017四川德阳）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过O的直线L上有两点A、B且OA＝OB,∠APB＝90°，L不经过点C，则AB的最小值为.
【答案】4，
【解析】几何最值问题、三角形三边关系（两点之间，线段最短）．如答图所示，连接OP、OC、PC，则有OP≥OC－PC，当O、P、C三点共线的时候，OP＝OC－PC.
∵∠APB＝90°，OA＝OB，∴点P在以AB位直径的圆上，∴⊙O与⊙C相切的时候，OP取到最小值，则＝OC－＝2，∴AB－2＝4
31．（2017浙江金华）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点出，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．
（1）如图1，若BC＝4m，则S＝m2．
（2）如图2，现考虑在
（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．
图1图2
【答案】
（1）88π；
（2），
【解析】
（1）当BC＝4时，S＝＋＋＝88π；
（2）设BC＝xm，则S＝＋＋＝[900＋（10－x）2＋3x2]
＝（4x2－20x＋1000）＝（x2－5x＋250）＝（x－）2＋．
∴当x＝时，S取得最小值．
32．（2017浙江台州）如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是________．
【答案】≤a≤3－，
【解析】如图，根据题意，AC为正方形对角线，即当A、C分别是正六边形平行的两边中点时，此时AC取最小值，也即正方形边长最短，AC＝，∴正方形边长的最小值为；当正方形四点都在正六边形上时，如图，则OQ⊥FP，∠FOP＝45°，∠FQP＝60°，设FP＝x，则OP＝x，PQ＝，∴OQ＝x＋＝1，∴x＝，∴此时正方形边长的最大值为3－，∴正方形边长a的取值范围是≤a≤3－．
33．（2017湖北恩施）如图，在6×6网格内填如1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则a×c＝
【答案】2
【解析】由题意，每行每列每个小粗线宫中的数字不重复，则a＋b＋c＝7，a、b、c的值为1、2、4，∵2、b、c在一列，∴a＝2.b、c的值为1或4，当b＝4，c＝1时，如图1，此时a×c＝2；当b＝1，c＝4时，此时排列情形不存在；故a×c＝2.
34．（2017湖南湘潭）阅读材料设如果，则x1·y2＝x2·y1.根据该材料填空已知，且，则m＝_________.
【答案】6，
【解析】由材料可以得到2m＝3×4,从而求得m＝6.
35．（2017山东临沂）在平面直角坐标系中，如果点坐标为，向量可以用点的坐标表示为＝（m，n）.已知＝（x，y），＝（x，y），如果，那么与互相垂直.下列四组向量
①＝（2,1），＝（－1,2）；②＝（cos30°，tan45°），＝（1，sin60°）；
③＝（－，－2），＝（＋，）；④＝（π，2），＝（2，－1）.
其中互相垂直的是（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
【解析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
①＝（2,1），＝（－1,2）中，，所以垂直；
②＝（cos30°，tan45°），＝（1，sin60°）中，
cos30°1＋tan45°sin60°＝，所以不垂直；
③＝（－，－2），＝（＋，）中，
＝＝0，所以垂直；
④＝（π，2），＝（2，－1）中，所以垂直.
36．（2017广东乐山）对于函数y＝xn＋xm，我们定义y’＝nxn－1＋mxm－1（m、n为常数）．
例如y＝x4＋x2，则y’＝4x3＋2x．
已知．
（1）若方程y’＝0有两个相等实数根，则m的值为；
（2）若方程有两个正数根，则m的取值范围为．
【答案】
（1）；
（2）且，
【解析】
（1）y’＝x2＋2（m－1）x＋m2，当y’＝0时，有x2＋2（m－1）x＋m2＝0.若方程y’＝0有两个相等实数根，则△＝0，即4（m－1）2－m2＝0，解得；
（2）y’＝x2＋2（m－1）x＋m
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