中考数学复习专题折叠问题.doc

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2012年全国中考数学试题分类解析汇编（159套63专题）

专题31：

折叠问题

一、选择题

1.（2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【】

　　A．150°　　B．210°　　C．105°　　D．75°

【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。

【分析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。

∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。

故选A。

2.（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【】

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】延长DC与A′D′，交于点M，

∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，

∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。

∴∠D=180°-∠A=120°。

根据折叠的性质，可得

∠A′D′F=∠D=120°，

∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。

∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。

∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。

∴∠CBM=∠M。

∴BC=CM。

设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。

∴FM=CM+CF=2x+y，

在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=，∴。

∴。

故选A。

3.（2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【】

A．＋1B．＋1C．2.5D．

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，

∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，

∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，

∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝＝22.5°。

∴∠FAB＝67.5°。

设AB＝x，则AE＝EF＝x，

∴an67.5°＝tan∠FAB＝t。

故选B。

4.（2012广东河源3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、

AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．若∠A＝75º，则∠1＋∠2＝【】

A．150ºB．210ºC．105ºD．75º

【答案】A。

【考点】折叠的性质，平角的定义，多边形内角和定理。

【分析】根据折叠对称的性质，∠A′＝∠A＝75º。

根据平角的定义和多边形内角和定理，得

∠1＋∠2＝1800－∠ADA′＋1800－∠AEA′＝3600－（∠ADA′＋∠AEA′）＝∠A′＋∠A＝1500。

故选A。

5.（2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【】

A．B．C．D．3

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。

【分析】∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。

根据折叠的性质得：

EG=BE=1，GF=DF。

设DF=x，则EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。

在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：

。

∴DF=，EF=1＋。

故选B。

6.（2012湖北武汉3分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A

恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是【】

A．7B．8C．9D．10

【答案】C。

【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。

【分析】根据折叠的性质，EF=AE＝5；根据矩形的性质，∠B=900。

在Rt△BEF中，∠B=900，EF＝5，BF＝3，∴根据勾股定理，得。

∴CD=AB=AE＋BE=5＋4=9。

故选C。

7.（2012湖北黄石3分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得

点C与点A重合，则AF长为【】

A.B.C.D.

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，矩形的性质，勾股定理。

【分析】设AF=xcm，则DF=（8-x）cm，

∵矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，

∴DF=D′F，

在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2＋D′F2，即x2=62＋（8－x）2，解得：

x=。

故选B。

8.（2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【】

A．8B．4C．8D．6

【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。

【分析】如图，∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，

∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2。

∴AB=BC=CD=AD=2。

由折叠的性质：

A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，

∴图中阴影部分的周长为

A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。

故选C。

9.（2012四川内江3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【】

A.15B.20C.25D.30

【答案】D。

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。

【分析】根据矩形和折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30。

故选D。

10.（2012四川资阳3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是【】

A．B．C．D．

【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，相似三角形的判定和性质，

【分析】连接CD，交MN于E，

∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，

∴MN⊥CD，且CE=DE。

∴CD=2CE。

∵MN∥AB，∴CD⊥AB。

∴△CMN∽△CAB。

∴。

∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴

∴。

∴。

故选C。

11.（2012贵州黔东南4分）如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于【】

A．1B．2C．3D．4

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。

【分析】由四边形ABCD是矩形与AB=6，△ABF的面积是24，易求得BF的长，然后由勾股定理，求得AF的长，根据折叠的性质，即可求得AD，BC的长，从而求得答案：

∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC。

∵AB=6，∴S△ABF=AB•BF=×6×BF=24。

∴BF=8。

∴。

由折叠的性质：

AD=AF=10，∴BC=AD=10。

∴FC=BC﹣BF=10﹣8=2。

故选B。

12.（2012贵州遵义3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】

A．B．C．D．

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，

∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形。

∴AE=BM，

由折叠的性质得：

AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。

∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。

∴NG=NM。

∵E是AD的中点，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。

∵EM∥CD，∴BN：

NF=BM：

CM。

∴BN=NF。

∴NM=CF=。

∴NG=。

∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣。

∴BF=2BN=5

∴。

故选B。

13.（2012山东泰安3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为【】

　　A．9：

4　　B．3：

2　　C．4：

3　　D．16：

9

【答案】D。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】设BF=x，则由BC=3得：

CF=3﹣x，由折叠对称的性质得：

B′F=x。

∵点B′为CD的中点，AB=DC=2，∴B′C=1。

在Rt△B′CF中，B′F2=B′C2+CF2，即，解得：

，即可得CF=。

∵∠DB′G=∠DGB′=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，∴∠DGB′=∠CB′F。

∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′。

根据面积比等于相似比的平方可得：

。

故选D。

14.（2012山东潍坊3分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=【】．

A．B．C.D．2

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，相似多边形的性质。

【分析】∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形。

又∵AB=1，∴AF=AB=EF=1。

设AD=x，则FD=x－1。

∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即。

解得，（负值舍去）。

经检验是原方程的解。

故选B。

15.（2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，

折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则的值为【】

A．2 B．4C． D．

【答案】D。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。

【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：

4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：

CM=1：

4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：

过点N作NG⊥BC于G，

∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。

∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。

由折叠的性质可得：

AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。

∴AM=AN。

∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。

∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。

∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：

4，∴DN：

CM=1：

4。

设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。

∴BM=x，GM=3x。

在Rt△CGN中，，

在Rt△MNG中，，

∴。

故选D。

16.（2012河北省3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于【】

A．70°B．40°C．30°D．20°

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，平行线的性质，平角的定义。

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。

∵根据折叠的性质可得：

MN∥AE，∠FMN=∠DMN，∴AB∥CD∥MN。

∵∠A=70°，∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°。

∴∠AMF=180°－∠DMN－∠FMN=180°－70°－70°=40°。

故选B。

17.（2012青海西宁3分）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手

指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过

折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论

【】

A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等

B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半

C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

D．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题）。

【分析】如图②，∵△CDE由△ADE翻折而成，∴AD=CD。

如图③，∵△DCF由△DBF翻折而成，∴BD=CD。

∴AD=BD=CD，点D是AB的中点。

∴CD=AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

故选C。

二、填空题

1.（2012上海市4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为▲．

【答案】。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。

【分析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，

∴。

∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD。

∵AD⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，

∴∠EDB=∠ADB=。

∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°－90°=45°。

∵∠C=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°。

∴CD=BC=1。

∴DE=AD=AC﹣CD=。

2.（2012浙江丽水、金华4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　▲　．

【答案】50°。

【考点】翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。

【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可：

连接BO，

∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分线，∴AO是BC的中垂线。

∴BO＝CO。

∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，

∴∠OAB＝∠OAC＝25°。

∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°。

∴∠OBC＝65°－25°＝40°。

∴∠OBC＝∠OCB＝40°。

∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。

∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2＝50°。

3.（2012浙江绍兴5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：

AB的值为▲。

【答案】。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】连接CC′，∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处,

∴EC=EC′，∴∠EC′C=∠ECC′，

∵∠DC′C=∠ECC′，∴∠EC′C=∠DC′C.

∴CC′是∠EC'D的平分线。

∵∠CB′C′=∠D=90°，C′C=C′C，∴△CB′C′≌△CDC′（AAS）。

∴CB′=CD。

又∵AB′=AB，∴B′是对角线AC中点，即AC=2AB。

∴∠ACB=30°。

∴tan∠ACB=tan30°=。

∴BC：

AB=。

4.（2012浙江台州5分）如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=▲度．

【答案】67.5。

【考点】折叠问题，折叠的对称性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平角定义。

【分析】由折叠的对称和正方形的性质，知△ABE≌△A′BE，

∴∠BEA′=67.50，△A′DE是等腰直角三角形。

设AE=A′E=A′D=x，则ED=。

设CD=y，则BD=。

∴。

∴。

又∵∠EDA′=∠A′DC=450，∴△EDA′∽△A′DC。

∴∠DA′C=∠DEA′=67.50＋450=112.50。

∴∠BA′C=1800－112.50=67.50。

5.（2012江苏宿迁3分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C’，D’处，C’E交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’=▲°.

【答案】40。

【考点】折叠问题矩形的性质，平行的性质。

【分析】根据折叠的性质，得∠DFE=∠D’FE。

∵ABCD是矩形，∴AD∥BC。

∴∠GFE=∠CEF=70°，∠DFE=1800－∠CEF=110°。

∴∠GFD’=∠D’FE－∠GFE=110°－70°=40°。

6.（2012江苏盐城3分）如图,在△ABC中，D,、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°º.现将△ADE沿

DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1,则∠BDA1的度数为▲°.

【答案】80。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，三角形中位线定理，平行的性质。

【分析】∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC（三角形中位线定理）。

∴∠ADE=∠B=50°（两直线平行，同位角相等）。

又∵∠ADE=∠A1DE（折叠对称的性质），∴∠A1DA=2∠B。

∴∠BDA1=180°－2∠B=80°。

7.（2012江苏扬州3分）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tan∠DCF的值是　▲　．

【答案】。

【考点】翻折变换（折叠问题），翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，

∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC，

∵，∴。

∴设CD＝2x，CF＝3x，

∴。

∴tan∠DCF＝。

8.（2012湖北荆州3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为　▲　

【答案】8。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。

【分析】如图，∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，

∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2。

∴AB=BC=CD=AD=2。

由折叠的性质：

A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，

∴图中阴影部分的周长为

A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。

9.（2012湖南岳阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD=　▲　．

【答案】。

【考点】翻折变换（折叠问题）。

1052629

【分析】如图，点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，

∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=3，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，

∴。

∴EC=AC﹣AE=5﹣3=2。

设BD=ED=x，则CD=BC﹣BD=4﹣x，

在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，即：

（4﹣x）2=x2+4，解得：

x=。

∴BD=。

10.（2012四川达州3分）将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD

上，得到菱形BEDF.若BC=6，则AB的长为▲.

【答案】。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，菱形和矩形的性质，勾股定理。

【分析】设BD与EF交于点O。

∵四边形BEDF是菱形，∴OB=OD=BD。

∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°。

设CD=x，根据折叠的性质得：

OB=OD=CD=x，即BD=2x，

在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，即62+x2=（2x）2，解得：

x=。

∴AB=CD=。

11.（2012贵州黔西南3分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为▲cm2。

【答案】。

【考点】折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。

【分析】设ED=x，则根据折叠和矩形的性质，得A′E=AE=5－x，A′D=AB=3。

根据勾股定理，得，即，解得。

∴（cm2）。

12.（2012河南省5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=300，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为▲

【答案】1或2。

1