中考专题讲座二次函数专题训练.doc
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二次函数专题训练
一、填空题
1.把抛物线向左平移2个单位得抛物线,接着再向下平移3个
单位,得抛物线.
2.函数图象的对称轴是,最大值是.
3.正方形边长为3,如果边长增加x面积就增加y,那么y与x之间的函数关系是.
4.二次函数,通过配方化为的形为.
5.二次函数(c不为零),当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则
x1与x2的关系是.
6.抛物线当b=0时,对称轴是,当a,b同号时,对称轴在y轴侧,当a,b异号时,对称轴在y轴侧.
7.抛物线开口,对称轴是,顶点坐标是.如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是.
8.若a<0,则函数图象的顶点在第象限;当x>时,函数值随x的增大而.
9.二次函数(a≠0)当a>0时,图象的开口a<0时,图象的开口,顶点坐标是.
10.抛物线,开口,顶点坐标是,对称轴是.
11.二次函数的图象的顶点坐标是(1,-2).
12.已知,当x时,函数值随x的增大而减小.
13.已知直线与抛物线交点的横坐标为2,则k=,交点坐标为.
14.用配方法将二次函数化成的形式是.
15.如果二次函数的最小值是1,那么m的值是.
二、选择题:
16.在抛物线上的点是()
A.(0,-1)B.C.(-1,5)D.(3,4)
17.直线与抛物线的交点个数是()
A.0个B.1个C.2个D.互相重合的两个
18.关于抛物线(a≠0),下面几点结论中,正确的有()
①当a>0时,对称轴左边y随x的增大而减小,对称轴右边y随x的增大而增大,当
a<0时,情况相反.
②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.
③只要解析式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同.
④一元二次方程(a≠0)的根,就是抛物线与x轴交点的横坐标.
A.①②③④B.①②③C.①②D.①
19.二次函数y=(x+1)(x-3),则图象的对称轴是()
A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-3
20.如果一次函数的图象如图13-3-12中A所示,那么二次函
-3的大致图象是()
图13-2-12
21.若抛物线的对称轴是则()
A.2B.C.4D.
22.若函数的图象经过点(1,-2),那么抛物线的性
质说得全对的是()
A.开口向下,对称轴在y轴右侧,图象与正半y轴相交
B.开口向下,对称轴在y轴左侧,图象与正半y轴相交
C.开口向上,对称轴在y轴左侧,图象与负半y轴相交
D.开口向下,对称轴在y轴右侧,图象与负半y轴相交
23.二次函数中,如果b+c=0,则那时图象经过的点是()
A.(-1,-1)B.(1,1)C.(1,-1)D.(-1,1)
24.函数与(a<0)在同一直角坐标系中的大致图象是()
图13-3-13
25.如图13-3-14,抛物线与y轴交于A点,与x轴正半轴交于B,
C两点,且BC=3,S△ABC=6,则b的值是()
A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4
图13-3-14
26.二次函数(a<0),若要使函数值永远小于零,则自变量x的取值范围是()
A.X取任何实数B.x<0C.x>0D.x<0或x>0
27.抛物线向左平移1个单位,向下平移两个单位后的解析式为
()
A.B.
C.D.
28.二次函数(k>0)图象的顶点在()
A.y轴的负半轴上B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上D.x轴的正半轴上
29.四个函数:
(x>0),(x>0),其中图象经过原
点的函数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
30.不论x为值何,函数(a≠0)的值永远小于0的条件是()
A.a>0,Δ>0B.a>0,Δ<0
C.a<0,Δ>0D.a<0,Δ<0
三、解答题
31.已知二次函数和的图象都经过x
轴上两上不同的点M,N,求a,b的值.
32.已知二次函数的图象经过点A(2,4),顶点的横坐标为,它
的图象与x轴交于两点B(x1,0),C(x2,0),与y轴交于点D,且,试问:
y轴上是否存在点P,使得△POB与△DOC相似(O为坐标原点)?
若存在,请求出过P,B两点直线的解析式,若不存在,请说明理由.
33.如图13-3-15,抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A,B两点,该
抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C,且∠ABC=90°,求:
(1)直线AB的解析式;
(2)抛物线的解析式.
图13-3-15 图13-3-16
34.中图13-3-16,抛物线交x轴正方向于A,B两点,交y轴正方
向于C点,过A,B,C三点做⊙D,若⊙D与y轴相切.
(1)求a,c满足的关系;
(2)设∠ACB=α,求tgα;(3)设抛物线顶点为P,判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.
35.如图13-3-17,这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示
意图,横断面的地平线为x轴,横断面的对称轴为y轴,桥拱的DGD'部分为一段抛物线,顶点C的高度为8米,AD和A'D'是两侧高为5.5米的支柱,OA和OA'为两个方向的汽车通行区,宽都为15米,线段CD和C'D'为两段对称的上桥斜坡,其坡度为1∶4.
求
(1)桥拱DGD'所在抛物线的解析式及CC'的长;
(2)BE和B'E'为支撑斜坡的立柱,其高都为4米,相应的AB和A'B'为两个方
向的行人及非机动车通行区,试求AB和A'B'的宽;
(3)按规定,汽车通过该桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米,车
载大型设备的顶部与地面的距离均为7米,它能否从OA(或OA')区域安全通过?
请说明理由.
图13-3-17
36.已知:
抛物线与x轴交于两点(a
为坐标原点,分别以OA,OB为直径作⊙O1和⊙O2在y轴的哪一侧?
简要说明理由,并指出两圆的位置关系.
37.如果抛物线与x轴都交于A,B两点,且A点在x轴
的正半轴上,B点在x同的负半轴上,OA的长是a,OB的长是b.
(1)求m的取值范围;
(2)若a∶b=3∶1,求m的值,并写出此时抛物线的解析式;
(3)设
(2)中的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是M,问:
抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
38.已知:
如图13-3-18,EB是⊙O的直径,且EB=6,在BE的延长线上取点P,使EP=EB.A
是EP上一点,过A作⊙O的切线AD,切点为D,过D作DF⊥AB于F,过B作AD的垂线BH,交AD的延长线于H,连结ED和FH.
图13-3-18
(1)若AE=2,求AD的长.
(2)当点A在EP上移动(点A不与点E重合)时,①是否总有?
试证明你的结论;②设ED=x,BH=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
39.已知二次函数的图象与x轴的交点为
A,B(点A在点B右边),与y轴的交点为C.
(1)若△ABC为Rt△,求m的值;
(2)在△ABC中,若AC=BC,求∠ACB的正弦值;
(3)设△ABC的面积为S,求当m为何值时,S有最小值,并求这个最小值.
40.如图13-3-19,在直角坐标系中,以AB为直径的⊙C交x轴于A,交y轴于B,
满足OA∶OB=4∶3,以OC为直径作⊙D,设⊙D的半径为2.
图13-3-19
(1)求⊙C的圆心坐标.
(2)过C作⊙D的切线EF交x轴于E,交y轴于F,求直线EF的解析式.
(3)抛物线(a≠0)的对称轴过C点,顶点在⊙C上,与y轴交点为B,求抛物线的解析式.
41.已知直线和,二次函数图象的顶点为M.
(1)若M恰在直线与的交点处,试证明:
无论m取何实数值,
二次函数的图象与直线总有两个不同的交点.
(2)在
(1)的条件下,若直线过点D(0,-3),求二次函数
的表达式,并作出其大致图象.
图13-3-20
(3)在
(2)的条件下,若二次函数的图象与y轴交于点C,与x同
的左交点为A,试在直线上求异于M点P,使P在△CMA的外接圆上.
42.如图13-3-20,已知抛物线与x轴从左至右交于A,B两点,
与y轴交于点C,且∠BAC=α,∠ABC=β,tgα-tgβ=2,∠ACB=90°.
(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若抛物线的顶点为P,求四边形ABPC的面积.
参考答案
图13-3-21
∴
一、填空题
1.;2.;3.;4.
;5.互为相反数;6.y轴,左,右;7.下,x=-1,(-1,-3),x>-1;8.四,增大;9.向上,向下,;10.向下,(h,0),x=h;11.-1,-2;12.x<-1;13.-17,(2,3);14.;15.10.
二、选择题
16.B17.C18.A19.A20.C21.D22.B23.B24.D25.B26.D27.C28.
C29.A30.D
三、解答题
31.解法一:
依题意,设M(x1,0),N(x2,0),且x1≠x2,则x1,x2为方程x2+2ax-2b+1=0
的两个实数根,
∴,·.
∵x1,x2又是方程的两个实数根,
∴x1+x2=a-3,x1·x2=1-b2.
∴
解得或
当a=1,b=0时,二次函数的图象与x轴只有一个交点,
∴a=1,b=0舍去.
当a=1;b=2时,二次函数和符合题意.
∴a=1,b=2.
解法二:
∵二次函数的图象对称轴为,
二次函数的图象的对称轴为,
又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M,N,
∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.
∴.
解得.
∴两个二次函数分别为和.
依题意,令y=0,得
,
.
①+②得
.
解得.
∴或
当a=1,b=0时,二次函数的图象与x轴只有一个交点,
∴a=1,b=0舍去.
当a=1,b=2时,二次函数为和符合题意.
∴a=1,b=2.
32.解:
∵的图象与x轴交于点B(x1,0),C(x2,0),
∴.
又∵即,
∴.①
又由y的图象过点A(2,4),顶点横坐标为,则有
4a+2b+c=4,②
.③
解由①②③组成的方程组得
a=-1,b=1,c=6.
∴y=-x2+x+6.
与x轴交点坐标为(-2,0),(3,0).
与y轴交点D坐标为(0,6).
设y轴上存在点P,使得△POB∽△DOC,则有
(1)当B(-2,0),C(3,0),D(0,6)时,有
.
∴OP=4,即点P坐标为(0,4)或(0,-4).
当P点坐标为(0,4)时,可设过P,B两点直线的解析式为
y=kx+4.
有0=-2k-4.
得k=-2.
∴y=-2x-4.
或.
∴OP=1,这时P点坐标为(0,1)或(0,-1).
当P点坐标为(0,1)时,可设过P,B两点直线的解析式为
y=kx+1.
有0=-2k+1.
得.
∴.
当P点坐标为(0,-1)时,可设过P,B两点直线的解析式为
y=kx-1,
有0=-2k-1,
得.
∴.
(2)当B(3,0),C(-2,0),D(0,6)时,同理可得
y=-3x+9,
或y=3x-9,
或,
或.
33.解:
(1)在直线y=k(x-4)中,
令y=0,得x=4.
∴A点坐标为(4,0).
∴∠ABC=90°.
∵△CBD∽△BAO,
∴,即OB2=OA·OC.
又∵CO=1,OA=4,
∴OB2=1×4=4.
∴OB=2(OB=-2舍去)
∴B点坐标为(0,2).
将点B(0,2)的坐标代入y=k(x-4)中,得.
∴直线的解析式为:
.
(2)解法一:
设抛物线的解析式为,函数图象过A(4,0),B(0,
2),得
解得
∴抛物线的解析式为:
.
解法二:
设抛物线的解析式为:
,又设点A(4,0)关于x=-1的对
称是D.
∵CA=1+4=5,
∴CD=5.
∴OD=6.
∴D点坐标为(-6,0).
将点A(4,0),B(0,2),D(-6,0)代入抛物线方程,得
解得.
∴抛物线的解析式为:
.
34.解:
(1)A,B的横坐标是方程的两根,设为x1,x2(x2>x1),C的
纵坐标是C.
又∵y轴与⊙O相切,
∴OA·OB=OC2.
∴x1·x2=c2.
又由方程知
,
∴,即ac=1.
(2)连结PD,交x轴于E,直线PD必为抛物线的对称轴,连结AD、BD,
图13-3-22
∴.
.
∵a>0,x2>x1,
∴.
.
又ED=OC=c,
∴.
(3)设∠PAB=β,
∵P点的坐标为,又∵a>0,
∴在Rt△PAE中,.
∴.
∴tgβ=tgα.∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.
∵∠ADE+∠DAE=90°
∴PA和⊙D相切.
35.解:
(1)设DGD'所在的抛物线的解析式为
,
由题意得G(0,8),D(15,5.5).
∴解得
∴DGD'所在的抛物线的解析式为.
∵且AD=5.5,
∴AC=5.5×4=22(米).
∴)
=74(米).
答:
cc'的长为74米.
(2)∵,
∴BC=16.
∴AB=AC-BC=22-16=6(米).
答:
AB和A'B'的宽都是6米.
(3)在中,当x=4时,
.
∵>0.
∴该大型货车可以从OA(OA')区域安全通过.
36.解:
(1)∵⊙O1与⊙O2外切于原点O,
∴A,B两点分别位于原点两旁,即a<0,b>0.
∴方程的两个根a,b异号.
∴ab=m+2<0,∴m<-2.
(2)当m<-2,且m≠-4时,四边形PO1O2Q是直角梯形.
根据题意,计算得(或或1).
m=-4时,四边形PO1O2Q是矩形.
根据题意,计算得(或或1).
(3)∵>0
∴方程有两个不相等的实数根.
∵m>-2,
∴
∴a>0,b>0.
∴⊙O1与⊙O2都在y轴右侧,并且两圆内切.
37.解:
(1)设A,B两点的坐标分别是(x1,0)、(x2,0),
∵A,B两点在原点的两侧,
∴x1x2<0,即-(m+1)<0,
解得m>-1.
∵
当m>-1时,Δ>0,
∴m的取值范围是m>-1.
(2)∵a∶b=3∶1,设a=3k,b=k(k>0),
则x1=3k,x2=-k,
∴
解得.
∵时,(不合题意,舍去),
∴m=2
∴抛物线的解析式是.
(3)易求抛物线与x轴的两个交点坐标是A(3,0),B(-1,0)
与y轴交点坐标是C(0,3),顶点坐标是M(1,4).
设直线BM的解析式为,
则
解得
∴直线BM的解析式是y=2x+2.
设直线BM与y轴交于N,则N点坐标是(0,2),
∴
设P点坐标是(x,y),
∵,
∴.
即.
∴.∴.
当y=4时,P点与M点重合,即P(1,4),
当y=-4时,-4=-x2+2x+3,
解得.
∴满足条件的P点存在.
P点坐标是(1,4),.
38.
(1)解:
∵AD切⊙O于D,AE=2,EB=6,
∴AD2=AE·AB=2×(2+6)=16.
∴AD=4.
图13-2-23
(2)①无论点A在EP上怎么移动(点A不与点E重合),总有.
证法一:
连结DB,交FH于G,
∵AH是⊙O的切线,
∴∠HDB=∠DEB.
又∵BH⊥AH,BE为直径,
∴∠BDE=90°
有∠DBE=90°-∠DEB
=90°-∠HDB
=∠DBH.
在△DFB和△DHB中,
DF⊥AB,∠DFB=∠DHB=90°,DB=DB,∠DBE=∠DBH,
∴△DFB∽△DHB.
∴BH=BF,∴△BHF是等腰三角形.
∴BG⊥FH,即BD⊥FH.
∴ED∥FH,∴.
图13-3-24
证法二:
连结DB,
∵AH是⊙O的切线,
∴