宁夏中考数学试卷.doc
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2015年宁夏中考数学试卷
一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ）
A． B．=2 C．（）﹣1= D．（﹣1）2=2
2．（3分）（2015•宁夏）生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（ ）
A．0.432×10﹣5 B．4.32×10﹣6 C．4.32×10﹣7 D．43.2×10﹣7
3．（3分）（2015•宁夏）如图，放置的一个机器零件（图1），若其主视图如（图2）所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•宁夏）某校10名学生参加“心理健康”知识测试，他们得分情况如下表：
人数
2
3
4
1
分数
80
85
90
95
那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）
A．95和85 B．90和85 C．90和87.5 D．85和87.5
5．（3分）（2015•宁夏）关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m≤ C．m≥ D．m≤
6．（3分）（2015•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（ ）
A．88° B．92° C．106° D．136°
7．（3分）（2015•宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0
C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0
8．（3分）（2015•宁夏）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•宁夏）因式分解：
x3﹣xy2= ．
10．（3分）（2015•宁夏）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是 ．
11．（3分）（2015•宁夏）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为 ．
（11题图）（13题图）（14题图）（15题图）
12．（3分）（2015•宁夏）已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为，则此扇形的面积是 ．
13．（3分）（2015•宁夏）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为 ．
14．（3分）（2015•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为 ．
15．（3分）（2015•宁夏）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 ．
16．（3分）（2015•宁夏）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 ．
三、解答题（每题6分，共36分）
17．（6分）（2015•宁夏）解方程：
=1．
18．（6分）（2015•宁夏）解不等式组．
19．（6分）（2015•宁夏）为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：
A级：
优秀；B级：
良好；C级：
及格；D级：
不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）请将两幅不完整的统计图补充完整；
（2）如果该地参加中考的学生将有4500名，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？
（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是多少？
20．（6分）（2015•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：
1．
21．（6分）（2015•宁夏）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：
∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：
FA的值．
22．（6分）（2015•宁夏）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．
（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？
四、解答题（23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分）
23．（8分）（2015•宁夏）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：
PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．
24．（8分）（2015•宁夏）已知点A（，3）在抛物线y=﹣x的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求∠AOB度数．
25．（10分）（2015•宁夏）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
（1）计算这5天销售额的平均数（销售额=单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在
（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
26．（10分）（2015•宁夏）如图，是一副学生用的三角板，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合．将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a．
（1）计算A1C1的长；
（2）当α=30°时，证明：
B1C1∥AB；
（3）若a=，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；
（4）当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．
（参考数据：
sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣，sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）
2015年宁夏中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ）
A． B．=2 C．（）﹣1= D．（﹣1）2=2
【解答】解：
与不能合并，所以A选项错误；B、原式==2，所以B选项正确；C、原式==，所以C选项错误；D、原式=3﹣2+1=4﹣2，所以D选项错误．故选B．
2．（3分）（2015•宁夏）生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（ ）
A．0.432×10﹣5 B．4.32×10﹣6 C．4.32×10﹣7 D．43.2×10﹣7
【解答】解：
0.00000432=4.32×10﹣6，故选：
B．
3．（3分）（2015•宁夏）如图，放置的一个机器零件（图1），若其主视图如（图2）所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
其俯视图为．故选：
D．
4．（3分）（2015•宁夏）某校10名学生参加“心理健康”知识测试，他们得分情况如下表：
人数
2
3
4
1
分数
80
85
90
95
那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）
A．95和85 B．90和85 C．90和87.5 D．85和87.5
【解答】解：
在这一组数据中9是出现次数最多的，故众数是90；
排序后处于中间位置的那个数是85，90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是=87.5；故选：
C．
5．（3分）（2015•宁夏）关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m≤ C．m≥ D．m≤
【解答】解：
由题意知，△=1﹣4m≥0，∴m≤，故选D．
6．（3分）（2015•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（ ）
A．88° B．92° C．106° D．136°
【解答】解：
∵∠BOD=88°，∴∠BAD=88°÷2=44°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣44°=136°，
即∠BCD的度数是136°．故选：
D．
7．（3分）（2015•宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0
【解答】解：
设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，化简整理得，x2﹣9x+8=0．故选C．
8．（3分）（2015•宁夏）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
由解析式y=﹣kx2+k可得：
抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：
B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•宁夏）因式分解：
x3﹣xy2= x（x﹣y）（x+y） ．
【解答】解：
x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x﹣y）（x+y）．故答案为：
x（x﹣y）（x+y）．
10．（3分）（2015•宁夏）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是 ．
【解答】解：
如下表，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共6种情况，其中能被3整除的有24，42两种，∴组成两位数能被3整除的概率为==．故答案为：
．
11．（3分）（2015•宁夏）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为 （，﹣） ．
【解答】解：
连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．∴GE=，OG=．
∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）D（1，0），
E（，），F（﹣，）．故答案为：
（，﹣）
12．（3分）（2015•宁夏）已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为，则此扇形的面积是 ．
【解答】解：
∵扇形的圆心角为120°，所对的弧长为，∴l==，解得：
R=4，则扇形面积为Rl=，故答案为：
13．（3分）（2015•宁夏）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为 ．
【解答】解：
连接OB，∵OC=OB，∠BCD=30°，∴∠BCD=∠CBO=30°，
∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，∵直径CD⊥弦AB，AB=2，
∴BE=AB=，∠OEB=90°，∴OB==，
即⊙O的半径为，故答案为：
．
14．（3分）（2015•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为 5 ．
【解答】解：
如图，连接AA′、BB′．
∵点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是4．
又∵点A的对应点在直线y=x上一点，
∴4=x，解得x=5．∴点A′的坐标是（5，4），∴AA′=5．
∴根据平移的性质知BB′=AA′=5．故答案为：
5．
15．（3分）（2015•宁夏）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 ．
【解答】解：
设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52﹣32=16，∴AF=4，DF=5﹣4=1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，即x2=（3﹣x）2+12，解得：
x=，
故答案为．
16．（3分）（2015•宁夏）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 2km ．
【解答】解：
如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°∴BD=AD=2km∴AB=AD=2km．
即该船航行的距离（即AB的长）为2km．
故答案为2km．
三、解答题（每题6分，共36分）
17．（6分）（2015•宁夏）解方程：
=1．
【解答】解：
方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得：
x（x+1）﹣（2x﹣1）=（x+1）（x﹣1），
解得：
x=2．经检验：
当x=2时，（x+1）（x﹣1）≠0，∴原分式方程的解为：
x=2．
18．（6分）（2015•宁夏）解不等式组．
【解答】解：
由①得：
x≥2，由②得：
x＜4，所以这个不等式组的解集为：
2≤x＜4．
19．（6分）（2015•宁夏）为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：
A级：
优秀；B级：
良好；C级：
及格；D级：
不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）请将两幅不完整的统计图补充完整；
（2）如果该地参加中考的学生将有4500名，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？
（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是多少？
【解答】解：
（1）总人数为：
12÷30%=40（人），A级占：
×100%=15%，D级占：
1﹣35%﹣30%﹣15%=20%；C级人数：
40×35%=14（人），D级人数：
40×20%=8（人），
补全统计图得：
（2）估计不及格的人数有：
4500×20%=900（人）；
（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是：
20%．
20．（6分）（2015•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：
1．
【解答】解：
（1）如图所示：
△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：
△A2B2C2，即为所求．
21．（6分）（2015•宁夏）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：
∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：
FA的值．
【解答】证明：
（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△AFD，∴，
∵E为BC的中点，∴BE=BC=AD，∴EF：
FA=1：
2．
22．（6分）（2015•宁夏）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．
（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？
【解答】解：
（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，
根据题意得：
50x+70（60﹣x）=3400，解得：
x=40，60﹣x=60﹣40=20，
答：
原计划买男款书包40个，则女款书包20个．
（2）设女款书包最多能买y个，则男款书包（80﹣y）个，
根据题意得：
70y+50（80﹣y）≤4800，解得：
y≤40，∴女款书包最多能买40个．
四、解答题（23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分）
23．（8分）（2015•宁夏）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：
PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．
【解答】
（1）证明：
连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径∴∠ABC=90°∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，∴∠BAC=∠OBA，∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；
（2）解：
∵⊙O的半径为2，∴OB=2，AC=4，∵OP∥BC，∴∠C=∠BOP，又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴，即，∴BC=2．
24．（8分）（2015•宁夏）已知点A（，3）在抛物线y=﹣x的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求∠AOB度数．
【解答】解：
（1）∵y=﹣x=﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴为x=2，
∴点A（，3）关于x=2的对称点的坐标为（3，3）；
（2）如图：
∵A（，3）、B（3，3），
∴BC=3，AC=，OC=3，∴tan∠AOC==，tan∠BOC===，
∴∠AOC=30°，∠BOC=60°，∴∠AOB=30°．
25．（10分）（2015•宁夏）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
（1）计算这5天销售额的平均数（销售额=单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在
（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
【解答】解：
（1）根据题意得：
=934.4（元）；
（2）根据题意设y=kx+b，把（30，40）与（40，20）代入得：
，解得：
k=﹣2，b=100，则y=﹣2x+100；
（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W，
根据题意得：
W=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣2x+100）=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2（x﹣35）2+2450，
∵当x=35时，W最大值为2450，则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
26．（10分）（2015•宁夏）如图，是一副学生用的三角板，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合．将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a．
（1）计算A1C1的长；
（2）当α=30°时，证明：
B1C1∥AB；
（3）若a=，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；
（4）当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．
（参考数据：
sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣，sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）
【解答】解：
（1）在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=a，
由特殊锐角三角函数可知：
，∴BC=．∴B1C=在Rt△A1B1C1，∠B1=∠45°，
∴．∴A1C1==．
（2）∵∠ACM=30°，∠A=60°，∴∠BMC=90°．∴∠C1=∠BMC．∴B1C1∥AB．
（3）如下图：
由
（1）可知：
A1C1===3+
∴△A1B1C1的面积==
∵∠A1B1C1=45°，∠ABC=30°∴∠MBC1=15°在Rt△BC1M中，C1M=BCtan15°=（3+）（2﹣）=3﹣，∴Rt△BC1M的面积===3．
∴两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积=3+3．
（4）由
（1）可知：
BC=，A1C1=，∴C1F=A1C1•tan30°=a，
∴==×a×a=a2，∵∠MCA=60°，∠A=60°，
∴∠AMC=60°∴MC=
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