第2章 232 事件的独立性Word下载.docx

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③如果事件A与事件B相互独立，则P（B|A）＝P（B）；

④若事件A与B相互独立，则B与相互独立．

【解析】　若P（B|A）＝P（B），则P（AB）＝P（A）·

P（B），故A，B相互独立，所以①正确；

若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故②正确；

若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故③正确；

④B与相互对立，不是相互独立，故④错误．

【答案】　①②③

2．甲、乙两人投球命中率分别为，，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________.【导学号：

29440046】

【解析】　事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A∪B且A与B互斥，P（C）＝P（A∪B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝×

＋×

＝＝.

【答案】　

3．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．

【解析】　三人都达标的概率为0.8×

0.6×

0.5＝0.24.

三人都不达标的概率为（1－0.8）×

（1－0.6）×

（1－0.5）＝0.2×

0.4×

0.5＝0.04.

三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.

【答案】　0.24　0.96

[质疑·

手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

疑问3：

[小组合作型]

相互独立事件的判断

　判断下列各对事件是否是相互独立事件．

（1）甲组3名男生，2名女生；

乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．

【精彩点拨】　

（1）利用独立性概念的直观解释进行判断．

（2）计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．（3）利用事件的独立性定义式判断．

【自主解答】　

（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；

若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

（3）记A：

出现偶数点，B：

出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，

∴P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝.

∴P（AB）＝P（A）·

P（B），

∴事件A与B相互独立．

判断事件是否相互独立的方法

1．定义法：

事件A，B相互独立⇔P（AB）＝P（A）·

P（B）．

2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

3．条件概率法：

当P（A）>

0时，可用P（B|A）＝P（B）判断．

[再练一题]

1．同时掷两颗质地均匀的骰子，令A＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A与B是否相互独立．

【解】　A＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，

B＝{第二颗骰子出现2,4,6点}．

∴P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝＝，

∴P（AB）＝P（A）P（B），

∴事件A，B相互独立．

相互独立事件发生的概率

　面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求：

（1）他们都研制出疫苗的概率；

（2）他们都失败的概率；

（3）他们能够研制出疫苗的概率．

【精彩点拨】　→

→

【自主解答】　令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.

（1）他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故

P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝×

×

＝.

（2）他们都失败即事件同时发生．

故P（）＝P（）P（）P（）

＝（1－P（A））（1－P（B））（1－P（C））

＝

＝×

（3）“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率

P＝1－P（）＝1－＝.

1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤

（1）首先确定各事件之间是相互独立的；

（2）确定这些事件可以同时发生；

（3）求出每个事件的概率，再求积．

2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．

2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：

（1）第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；

（2）第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．

【解】　记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．

（1）P（AB）＝P（A）P（B）＝×

故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.

（2）P（CA）＝P（C）P（A）＝·

＝·

故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.

[探究共研型]

事件的相互独立性与互斥性

探究1　甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？

事件B与A呢？

【提示】　事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而B与A是互斥事件．

探究2　在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？

【提示】　“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝B＋A.

所以P（C）＝P（B＋A）＝P（B）＋P（A）

＝P（）·

P（B）＋P（A）·

P（）

＝（1－0.6）×

0.6＋0.6×

（1－0.6）＝0.48.

探究3　由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？

【提示】　相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件

互斥事件

条件

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响

不可能同时发生的两个事件

符号

相互独立事件A，B同时发生，记作：

AB

互斥事件A，B中有一个发生，记作：

A∪B（或A＋B）

计算公式

P（AB）＝P（A）·

P（B）

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

　红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：

（1）红队中有且只有一名队员获胜的概率；

（2）求红队至少两名队员获胜的概率．

【精彩点拨】　弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．

【自主解答】　设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，

则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．

因为P（D）＝0.6，P（E）＝0.5，P（F）＝0.5，

由对立事件的概率公式知P（）＝0.4，P（）＝0.5，P（）＝0.5.

（1）红队有且只有一名队员获胜的事件有D，E，F，以上3个事件彼此互斥且独立．

所以红队有且只有一名队员获胜的概率为

P1＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.6×

0.5×

0.5＋0.4×

0.5＝0.35.

（2）法一：

红队至少两人获胜的事件有：

DE，DF，EF，DEF.

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，

因此红队至少两人获胜的概率为

P＝P（DE）＋P（DF）＋P（EF）＋P（DEF）

＝0.6×

0.5＋0.6×

0.5＝0.55.

法二：

“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且P（）＝0.4×

0.5＝0.1.

∴红队至少两人获胜的概率为

P2＝1－P1－P（）＝1－0.35－0.1＝0.55.

1．本题

（2）中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．

2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：

（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；

（2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；

（3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．

3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：

（1）三人都合格的概率；

（2）三人都不合格的概率；

（3）出现几人合格的概率最大．

【解】　记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.

设恰有k人合格的概率为Pk（k＝0,1,2,3）．

（1）三人都合格的概率：

P3＝（ABC）＝P（A）·

P（B）·

P（C）＝×

（2）三人都不合格的概率：

P0＝（）＝P（）·

P（）·

P（）＝×

（3）恰有两人合格的概率：

P2＝P（AB）＋P（AC）＋P（BC）

恰有一人合格的概率：

P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.

综合

（1）

（2）可知P1最大．

所以出现恰有一人合格的概率最大．

[构建·

体系]

1．若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立事件的是________．

①A与；

②A与；

③B与；

④与.

【解析】　A与是互斥事件，不可能是相互独立事件．

【答案】　①

2．已知A，B是相互独立事件，且P（A）＝，P（B）＝，则P（AB）＝________，P（B）＝________.

【解析】　∵A，B是相互独立事件，∴与B也是相互独立事件．

∴P（AB）＝P（A）P（B）＝×

＝，

P（B）＝P（）P（B）＝（1－P（A））P（B）＝×

【答案】　　

3．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．

【解析】　设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，

则P（A）＝1－（1－0.80）（1－0.90）

＝1－0.20×

0.10＝0.98.

【答案】　0.98

4．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.

【导学号：

29440047】

【解析】　加工出来的零件的正品率是×

＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.

5．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.

（1）求恰有一名同学当选的概率；

（2）求至多有两人当选的概率．

【解】　设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有

P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.

（1）因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P（A）＋P（B）＋P（C）

＝P（A）·

P（）＋P（）·

P（C）

（2）至多有两人当选的概率为

1－P（ABC）＝1－P（A）·

P（C）＝1－×

我还有这些不足：

（1）　

（2）　

我的课下提升方案：