一元二次方程根与系数的关系.doc
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12.4 一元二次方程的根与系数的关系
中考考点
1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解
1．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1·x2=。
2．以x1,x2为根的一元二次方程是（x-x1）（x-x2）=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0
（a≠0）。
3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。
反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：
（x-x1）（x-x2）=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：
x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：
（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。
[∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（）2-2×=]
（4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数。
（7）解特殊的方程或方程组。
考题评析
1．（北京市东城区）如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（ ）
（A）3，2 （B）-3，-2 （C）3，-2 （D）-3，2
考点：
一元二次方程的根与系数关系。
评析：
由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1,x2,满足x1+x2=，x1x2=可直接计算，答案为B。
2．（杭州市）若是方程的两个根，则的值为（ ）
（A）–7 （B）1 （C） （D）
答案：
A
考点：
一元二次方程根与系数的关系
评析思路：
由韦达定理知，，先求出x1+x2，x1·x2的值，然后将代数式（x1+1）（x2+1）展开，最后将x1+x2，x1·x2的值代入即可。
3．（辽宁省）下列方程中，两根分别为的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：
B
考点：
一元二次方程 根与系数的关系
评析思路：
因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据x1+x2=-px1·x2=q，即可确定正确答案为B。
4．（辽宁省）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为。
考点：
一元二次方程根与系数的关系
评析思路：
由根与系数的关系可知a+b=-2，a·b=-5。
而所求式中有a2+2a部分，因a是方程的根，所以有a2+2a-5=0，即a2+2a=5，再加a·b，原式值为0。
答案：
0
5．（河南省）关于x的方程，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？
若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。
答案：
解：
设方程的两个实数根是x1、x2.由根与系数关系，得x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2.
又∵，=4，
∴=4.
∴4k2-5k-9=0.
解这个方程，得k1=-1，k2=（不合题意，舍去）.
当k=-1时，原方程的判别式
△=b2-4ac=[-（5k+1）]2-4（k2-2）
=（-4）2-4（1-2）=20>0.
所以存在满足条件的负数k，k=-1.
考点：
一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。
评析：
此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△>0。
6．（福州市）以2，-3为两个根的一元二次方程是（ ）.
（A）x2-x-6=0 （B）x2+x-6=0 （C）x2-x+6=0 （D）x2+x+6=0
答案：
B
考点：
一元二次方程根与系数关系。
评析：
利用一元二次方程x2+px+q=0的根x1,x2与系数关系：
直接计算即得答案。
7．（广州市）已知2是关于x的方程x2+3mx-10=0的一个根，则m= .
考点：
一元二次方程的根与系数关系
评析：
根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出m，或利用根与系数的关系解方程组求出。
答案：
1
8．（贵阳市）若x1,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且=2，则m= .
考点：
一元二次方程根与系数关系
评析：
由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数的关系，得x1+x2=2 x1x2=ｍ，求的值，代入已知的等式求出ｍ。
答案：
1
9．（河北省）在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程的两根，那么AB边上的中线长是（ ）
（A） （B） （C）5 （D）2
考点：
直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系
评析思路：
因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半，故选B。
10．（北京市海淀区）已知：
关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程②有实数根且k为正整数，求代数式的值。
考点：
根的判别式，根与系数的关系。
评析：
先根据根与系数的关系求得a值，再将a代入到第二个方程。
因第二个方程只证有实根，所以k可以等于1,然后再根据Δ的范围再确定k值，分别代入所求代数式就可以了。
答案：
0
说明学生往往忽略k=1的这种情况：
认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑Δ的范围。
11.（河北省）若x1、x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根,则+的值是（）
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
考点：
一元二次方程根与系数的关系
评析：
根据一元二次方程根与系数的关系，先求出x1+x2,x1·x2的值，然后将求的代数式变形为，最后将x1+x2=-，x1·x2=-代入即可，故选C。
12．（哈尔滨市）已知：
△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长.
考点：
Rt△三边关系，等腰三角形底与腰的关系,一元二次方程根与系数关系
评析：
（1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据Rt△三边的关系AB2+AC2=BC2可知，通过AB2+AC2=（AB+AC）2－2AB·AC可实现。
答案：
k=2或k=-5
注：
如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。
（2）首先利用判断式判断AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即AB=BC或AC=BC，当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一元二次方程的一个根，故可求k的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。
答案：
14或16.
注：
在求周长时，应判断是否能构成三角形。
13．（安徽）已知方程x2+（1-）x-=0的两根为x1、x2，求x+x的值。
考点：
一元二次方程根与系数的关系
评析：
根据根与系数的关系，先求出x1+x2、x1·x2的值然后将x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2变为以上形式，再将x1+x2=-1，x1·x2=-代入即可。
解：
由根与系数关系，
x1+x2=-1+, x1x2=-,
∴x+x=（x1+x2）2-2x1x2
=（-1）2+2
=3-2+2
=3.
说明：
如果先解出根x1、x2，再求出x+x的正确值可以。
14．（北京市东城区）已知关于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值。
考点：
一元二次方程根与系数的关系
评析：
先设方程二根为x1、x2，分别求出x1+x2，x1·x2的值，再根据两根的平方和是4，求出k值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证△≥0才能确定k的值，此题一些考生忽略△≥0的隐含条件的。
解：
设方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根是x1,x2，那么
x1+x2=k-1,x1·x2=k+1.
由x+x=4,
得（x1+x2）2-2x1x2=4.
即（k-1）2-2（k+1）=4
k2-4k-5=0
解这个方程，得
k=5或k=-1.
当k=5时,Δ=（5-1）2-4（5+1）<0,
原方程无实数根，故x=5舍去.
当k=-1时,Δ=（-1-1）2-4（-1+1）>0,
因此，k=-1为所求。
真题实战
1．（常州市）已知关于x的方程x2+mx－6=0的一个根是2，则另一个根是 ，m= 。
答案：
-3；1
2．（天门市）若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是 。
答案：
6
3．已知x1、x2是方程x2－x－1=0的两个根，则的值是（ ）
A、1 B、－1 C、±1 D、0
答案：
B
4．（石家庄市）设方程的两根为x1和x2，且，则m等于（ ）
A．－8 B．－4 C．8 D．4
答案：
C
5．（潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于2的方程是（ ）
A．2x2－4x+3=0 B．2x2－2x－3=0
C．2x2+4x－3=0 D．2x2－4x－3=0
答案：
D
6．（山西省）若方程x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则代数式的值是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．-2
答案：
A
7．（南昌市）已知方程2x2+kx－10=0的一个根是－2，求它的另一根及k的值。
解：
设方程的另一根为x1，那么
-2x1=-5，
又，
∴k=-1。
答：
方程的另一根是，k的值是-1。
8．（苏州市）已知关于x的方程x2+（m－2）x+m－3=0。
（1）求证：
无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1,x2满足2x1+x2=m+1,求m的值。
（1）证明:
∵
∴无论m取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根.
（2）解∵x1,x2是这个方程的两个实数根,
∴
又2x1+x2=m+1,（3）
（3）-
（1）,得x1=2m-1……（4）
把（4）代入
（1）,得
x2=3-3m……（5）
把（4）、（5）
代入
（2）,得（2m-1）（3-3m）=.
∴.
∴
9．（南通市）设x1、x2是关于x的方程x2－（k+2）+2k+1=0的两个实数根，且x12+x22=11.
（1）求k的值；
（2）利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一根是原方程两根差的平方。
解：
（1）由题意得x1+x2=k+2，x1·x2=2k+1
，
又，∴，解得k=±3。
又∵Δ=[-（k+2）]2-4（2k+1）=k2-4k，
当k=3时，Δ=-3＜0，原方程无实数解；
当k=-3时，Δ=21＞0，原方程有实数解。
故k=-3。
（2）当k=-3时，原方程为x2+x-5=0。
设所求方程为y2+py+q=0，两根为y1、y2，
则y1=x1+x2=-1，
y2=（x1-x2）2=-2x1x2=11+10=21。
∴y1+y2=20，y1·y2=-21
所求方程是y2-20y-21=0
10．（昆明）已知一元二次方程x2-2x-1=0的两根是x1、x2，则+的值是（ ）
A、 B、2 C、- D、-2
答案：
D
11．（沈阳）设x1、x2是方程2x2-4x-3=0的两个根，则+=_________。
答案：
-
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