中考数学专题复习《几何证明》压轴题含答案解析.doc
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几何证明压轴题（中考）
1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.
（1）求证：
DC=BC;
（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；
（3）在
（2）的条件下，当BE：
CE=1：
2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.
[解析]
（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,
则AM=BC=2.
又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.
（2）等腰三角形.
证明：
因为.
所以，△DEC≌△BFC
所以，.
所以，
即△ECF是等腰直角三角形.
（3）设,则，所以.
因为，又，所以.
所以
所以.
2、已知：
如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：
△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？
并证明你的结论．
[解析]
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD．
∴AE＝CF
∴△ADE≌△CBF．
（2）当四边形BEDF是菱形时，
四边形AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE．
∵AE＝BE，
∴AE＝BE＝DE．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴四边形AGBD是矩形
3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
图13－1
A（G）
B（E）
C
O
D（F）
图13－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，
（1）中的猜想还成立吗？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图13－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
[解析]
（1）BM=FN．
证明：
∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF．
又∵∠BOM=∠FON， ∴△OBM≌△OFN．
∴BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
（3）证明：
∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN．
∴BM=FN．
4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
（1）若，求CD的长；
（2）若∠ADO：
∠EDO＝4：
1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。
[解析]
（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5
所以∠ADB＝90°，AB＝10
在Rt△ABD中，
又，所以，所以
因为∠ADB＝90°，AB⊥CD
所以
所以
所以
所以
（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD
所以
所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD
因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO
所以∠CDB＝∠ADO
设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x
由∠ADO：
∠EDO＝4：
1，则∠EDO＝x
因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°
所以
所以x＝10°
所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°
所以∠AOC＝∠AOD＝100°
5、如图，已知：
C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.
（1）求证：
点F是BD中点；
（2）求证：
CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．
[解析]
（1）证明：
∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF
∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD
（2）方法一：
连接CB、OC，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′
方法二：
可证明△OCF≌△OBF（参照方法一标准得分）
（3）解：
由FC=FB=FE得：
∠FCE=∠FEC
可证得：
FA＝FG，且AB＝BG
由切割线定理得：
（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2
在Rt△BGF中，由勾股定理得：
BG2＝FG2－BF2
由、得：
FG2-4FG-12=0
解之得：
FG1＝6，FG2＝－2（舍去）
∴AB＝BG＝
∴⊙O半径为2
6、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），
⊙A的半径为2．过A作直线平行于轴，点P在直线上运动．
（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；
（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.
[解析]
解:
⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）
⑵作AC⊥OP,C为垂足.
∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1
∴△ACP∽△OBP
∴
在中,,又AP=12-4=8,∴
∴AC=≈1.94
∵1.94<2
∴OP与⊙A相交.
7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，
DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，
C
A
B
D
O
E
垂足为点C.
求证：
∠ACB=∠OAC.
[解析]
证明：
连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）
∵DE是圆的一条切线，E是切点，
∴OE⊥DC，
又∵BC⊥DE,
∴OE∥AF∥BC.
∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.
∵OA=OE，
∴∠4=∠3.
∴∠4=∠2.
又∵点A是OB的中点，
∴点F是EC的中点.
∴AE=AC.
∴∠1=∠2.
∴∠4=∠2=∠1.
即∠ACB=∠OAC.
8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．
⑴求AO与BO的长；
⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.
①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:
BD=2:
3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；
②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝，试求AA’的长．
[解析]
⑴中,∠O=,∠α=
∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米，
∴米.
米.--------------（3分）
⑵设在中,
根据勾股定理:
∴-------------（5分）
∴
∵ ∴
∴-------------（7分）
AC=2x=
即梯子顶端A沿NO下滑了米.----（8分）
⑶∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点
∴，-------------（9分）
∴-------（10分）
∴
∴
∵
∴-----------------------（11分）
∴-----（12分）
∴米.--------（13分）
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