中考数学专题复习反比例函数稍难题.doc
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2015中考数学专题复习——反比例函数（稍难题精选）
1、（2014•江苏盐城,第8题3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（ A ）
A．
B．
C．
D．
2、（2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ B ）
A．
B．
C．
D．
3、（2014年天津市，第9题3分）已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（ C ）A． 0＜y＜5 B． 1＜y＜2 C．5＜y＜10 D． y＞10
4、（2014•广西玉林市、防城港市，第18题3分）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
①=；
②阴影部分面积是（k1+k2）；
③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是 ①④ （把所有正确的结论的序号都填上）．
5、（2014山东济南，第21题，3分）如图，和都是等腰直角三角形，,反比例函数在第一象限的图象经过点B，若，则的值为________.
D
C
A
Ｏ
x
y
B
第21题图
6、（2014•山东聊城，第17题，3分）如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，…，An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点P1，P2，P3，P4，…Pn作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，Bn﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，Pn﹣1Pn，得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn，则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为 ． ．
7、（2014•武汉，第15题3分）如图，若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，则实数k的值为．
8、（2014•孝感，第17题3分）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为 6 ．
9、（2014•山东淄博,第16题4分）关于x的反比例函数y=的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0的根的情况是 没有实数根 ．
10、（2014•浙江湖州，第15题4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ．
分析：
设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
解：
设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，
∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），
∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，
∴=，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），
设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．
故答案为：
y=2x．
11、2014•四川泸州，第16题，3分）图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若k=4，则△OEF的面积为；
②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE•EG=，则k=1．
其中正确的命题的序号是 ②④ （写出所有正确命题的序号）．
12、（2014•菏泽，第13题3分）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：
BO=1：
，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为y=﹣．
13、2014•济宁，第14题3分）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 2 ．
14、（2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．
解：
（1）设反比例函数的关系式y=．
∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×1=2．
∴反比例函数的关系式y=．
（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．
当x=0时，y=0+3=3，
则点B的坐标为（0，3）．OB=3．
当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，
则点A的坐标为（3，0），OA=3．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y轴，点P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3，A′C=．
∴△A′BC的周长为3++2．
∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3×CD．
∴CD=．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C=
=
=．
∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．
②当1＜m＜2时，
作经过点B、C且半径为m的⊙E，
连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．
∵CP是⊙E的直径，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC===．
∵sin∠BMC=，
∴∠BMC=∠BPC．
∴点M在⊙E上．
∵点M在x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四边形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E与x轴相离．
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．
②当m=2时，EH=EC．
∴⊙E与x轴相切．
Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．
∴点M与点H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG=
=．
∴OM=OH=EG=．
∴点M的坐标为（，0）．
Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：
点M的坐标为（﹣，0）．
③当m＞2时，EH＜EC．
∴⊙E与x轴相交．
Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH=
=
=．
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．
∴M′H═．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG=
=
=．
∴OH=EG=．
∴OM=OH﹣MH=﹣，
∴OM′=OH+HM′=+，
∴M（﹣，0）、M′（+，0）．
Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：
M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．
综上所述：
当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；
当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；
当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．
15、（2014•浙江宁波，第22题10分）如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k＞0）的图象过CD的中点E．
（1）求证：
△AOB≌△DCA；
（2）求k的值；
（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
（1）证明：
∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴，
∴∠AOB=∠DCA=90°，
在Rt△AOB和Rt△DCA中
，
∴Rt△AOB≌Rt△DCA；
（2）解：
在Rt△ACD中，CD=2，AD=，
∴AC==1，
∴OC=OA+AC=2+1=3，
∴D点坐标为（3，2），
∵点E为CD的中点，
∴点E的坐标为（3，1），
∴k=3×1=3；
（3）解：
点G是否在反比例函数的图象上．理由如下：
∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，
∴△BFG≌△DCA，
∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，
而OB=AC=1，
∴OF=OB+BF=1+2=3，
∴G点坐标为（1，3），
∵1×3=3，
∴G（1，3）在反比例函数y=的图象上．
16、（2014山东济南，第26题，9分）（本小题满分9分）如图1，反比例函数的图象经过点A（，1），射线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，），射线AC与轴交于点C，轴，垂足为D．
（1）求的值；
（2）求的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线轴，与AC相交于N，连接CM，求面积的最大值．
第26题图1
A
B
C
D
O
x
y
第26题图2
A
B
C
D
O
x
y
M
N
l
（1）由反比例函数的
图象经过点A（，1），得；
（2）由反比例函数得
点B的坐标为（1，），于是有
，，
AD=，则由可得CD=2，C点纵坐标是-1，直线AC的截距是-1，而且过点A（，1）则直线解析式为．
（3）设点M的坐标为，
则点N的坐标为，于是面积为
，
所以，当时，面积取得最大值．
17、（2014•四川内江，第21题，9分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？
如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
解：
（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：
，
解得：
k=，b=1，
∴一次函数解析式为y=x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：
m=8，即反比例解析式为y=；
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，
对于一次函数y=x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1），
∴直线BC的斜率为=﹣，
设过点P，且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣（x﹣4），即y=，
与反比例解析式联立得：
，
消去y得：
=，
整理得：
x2﹣12x+32=0，即（x﹣4）（x﹣8）=0，
解得：
x=4（舍去）或x=8，
当x=8时，y=1，
∴D（8，1），
此时PD==，BC==，即PD=BC，
∵PD∥BC，
∴四边形BCPD为平行四边形，
∵PC==，即PC=BC，
∴四边形BCPD为菱形，满足题意，
则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．
18、（2014•泰州，第26题，14分）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为
a、b．
（第1题图）
（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．
解：
（1）如图1，AB交y轴于P，
∵AB∥x轴，
∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；
（2）∵A、B的横坐标分别为a、b，
∴A、B的纵坐标分别为、﹣，
∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴OA=OB，
∴a2+（）2=b2+（﹣）2，
∴a2﹣b2+（）2﹣（）2=0，
∴a2﹣b2+=0，
∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，
∵a+b≠0，a＞0，b＜0，
∴1﹣=0，
∴ab=﹣4；
（3）∵a≥4，
而AC=3，
∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，
设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，如图2，
∵A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，
∴C点坐标为（a﹣3，），
∴F点的坐标为（a﹣3，），
∴FC=﹣，
∵3﹣FC=3﹣（﹣）=，
而a≥4，
∴3﹣FC≥0，即FC≤3，
∵CD=3，
∴点F在线段DC上，
即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点．
19、（2013年潍坊市）设点和是反比例函数图象上的两个点，当＜＜时，＜，则一次函数的图象不经过的象限是（）.
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答案：
A．
20、（2013•南宁）如图，直线y=与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（ D ）
A．
3
B．
6
C．
D．
21、（13年安徽省4分、9）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（B）
A、当x=3时，EC＜EM
B、当y=9时，EC＞EM
C、当x增大时，EC·CF的值增大。
D、当y增大时，BE·DF的值不变。
22、（2013浙江省温州市，16，5分）如图，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。
直线DE分别交轴于点P，Q。
当时，图中阴影部分的面积等于_______
23、（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn，则S1= 4 ，Sn= ．（用含n的代数式表示）
24、（2013•遵义）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为 （2，4） ．
25、（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 （，） ．
26、（2013•泸州）如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An﹣1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是 （+，﹣） ；点Pn的坐标是 （+，﹣） （用含n的式子表示）．
27、（2013年武汉）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数的图象上，则的值等于-12．
28、（2013浙江丽水）如图，点P是反比例函数图象上的点，PA垂直轴于点A（-1，0），点C的坐标为（1，0），PC交轴于点B，连结AB，已知AB=
（1）的值是__________；
（2）若M（，）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA<∠ABC,则的取值范围是__________
29、（2013年广州市）如图11，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2,2），反比例函数（x＞0，k≠0）的图像经过线段BC的中点D.
（1）求k的值；
（2）若点P（x,y）在该反比例函数的图像上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R,作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围。
解：
（1）∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），
∴C（0，2），
∵D是BC的中点，
∴D（1，2），
∵反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过点D，
∴k=2；
（2）当D在直线BC的上方时，即0＜x＜1，
如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，
∴y=，
∴S四边形CQPR=CQ•PD=x•（﹣2）=2﹣2x（0＜x＜1），
如图2，同理求出S四边形CQPR=CQ•PD=x•（2﹣）=2x﹣2（x＞1），
综上S=．
30、（2013•泸州）如图，已知函数y=x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A．将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若=2，求反比例函数的解析式．
解：
（1）∵y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C，
∴直线BC的解析式为y=x﹣6，
把y=0代入得x﹣6=0，解得x=，
∴C点坐标为（，0）；
（2）作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，
∵OA∥BC，
∴∠AOB=∠BCF，
∴Rt△OAE∽△RtCBF，
∴===2，
设A点坐标为（a，a），则OE=a，AE=a，
∴CF=a，BF=a，
∴OF=OC+CF=+a，
∴B点坐标为（+a，a），
∵点A与点B都在y=的图象上，
∴a•a=（+a）•a，解得a=3，
∴点A的坐标为（3，4），
把A（3，4）代入y=得k=3×4=12，
∴反比例函数的解析式为y=．
31、（2013•湖州压轴题）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在
（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB=，OA=10，
∴AH=8，OH=6，
∴A点坐标为（6，8），根据题意得：
8=，可得：
k=48，
∴反比例函数解析式：
y=（x＞0）；
（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵sin∠AOB=，
∴AH=a，OH=a，
∴S△AOH=•aa=a2，
∵S△AOF=12，
∴S平行四边形AOBC=24，
∵F为BC的中点，
∴S△OBF=6，
∵BF=a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=a，BM=a，
∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，
∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，
∵点A，F都在y=的图象上，
∴S△AOH=k，
∴a2=6+a2，
∴a=，
∴OA=，
∴AH=，OH=2，
∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24，
∴OB=AC=3，
∴C（5，）；
（3）存在三种情况：
当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：
P1（，），P2（﹣，），
当∠PAO=90°时，P3（，），
当∠POA=90°时，P4（﹣，）．
32、（2013•资阳）如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y=（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．
（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：
①分别求出直线l与双曲线的解析式；
②若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？
（2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．
解：
（1）①把D（4，1）代入y=得a=1×4=4，
所以反比例函数解析式为y=（x＞0）；
设直线l的解析式为y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得，
解得．
所以直线l的解析式为y=﹣x+5；
②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=﹣x=5﹣m，
当方程组只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，
化为关于x的方程得x2+（5﹣m）x+4=0，
△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9，
而m=9时，解得x=﹣2，故舍去，
所以当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；
（2）作DF⊥x轴，如图，
∵点D为线段AB的n等分点，
∴DA：
AB=1：
n，
∵DF∥OB，
∴△ADF∽△ABO，
∴==，即==，
∴AF=，DF=，
∴OF=a﹣，
∴D点坐标为（a﹣，），
把D（a﹣，）代入y=得（a﹣）•=a，
解得b=．
33、（2013山东省临沂市，12，3分）如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数（x＞0）和（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ,则下列结论正确的是（D）
A.∠POQ不可能等于900B.
C.这
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