北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 单元测试题有答案.docx

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北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元测试题有答案

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元测试题

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列属于菱形性质的是（　　）

A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角互补D．四个角都是直角

2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则正确的结论是（　　）

A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分D．四边形ABCD是菱形

3．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．40B．24C．20D．15

4．如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，连结CE．若该矩形的周长为20，则△CDE的周长为（　　）

A．10B．9C．8D．5

5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（　　）

A．AC＝BDB．AB＝6，BC＝8，AC＝10C．AC⊥BDD．∠1＝∠2

6．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为（　　）

A．35°B．40°C．45°D．50°

7．如图，在正方形ABCD中，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE，BE得到△ABE，则△ABE与正方形ABCD的面积比为（　　）

A．1：

2B．1：

3C．1：

4D．

8．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如朵添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　）

A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AB＝BCD．AC＝BD

9．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（　　）

A．3B．2C．4D．8

10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（　　）

A．（3

，3）B．（3，3

）C．（6，3）D．（6，3

）

二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

11．矩形（非正方形）四个内角的平分线围成的四边形是　　形．（填特殊四边形）

12．如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥BC于点F．若EF＝4，则点E到边AB的距离为　　．

13．在菱形ABCD中，AC＝12cm，若菱形ABCD的面积是96cm2，则AB＝　　．

14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，∠AOB＝60°，AB＝10，E、F分别为AO、AD的中点，则EF的长是　　．

15．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是　　．

16．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O．若BO＝3，则菱形ABCD的面积为　　．

17．已知：

如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝3．延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　　时，△ABP和△DCE全等．

18．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，点D是CG边上一点，H是AF的中点，那么CH的长是　　．

三．解答题（共7小题，共66分）

19．已知：

如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．

20．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE＝DF．

求证；四边形ABCD是菱形．

21．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE＝2∠BAE，求∠EAC的度数．

22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，

连结AC．

（1）求证：

四边形AECD是矩形；

（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，

23．如图，在边长12的正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在边AD上，且AF＝3DF，连接BE，BF，EF，请判断△BEF的形状，并说明理由．

24．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．

（1）求证：

四边形OCED是正方形．

（2）若AC＝

，则点E到边AB的距离为　　．

25．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4

，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．

（1）求证：

矩形DEFG是正方形；

（2）探究：

CE+CG的值是否为定值？

若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：

A、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故原命题错误，不符合题意；

B、菱形的对角线互相垂直，故原命题正确，符合题意；

C、菱形的对角相等，故原命题错误，不符合题意；

D、矩形的四个角都是直角，菱形不一定是，故原命题错误，不符合题意，

故选：

B．

2．解：

∵AC＝AD，BC＝BD，

∴AB垂直平分CD，

故选：

A．

3．解：

∵AB＝AD，点O是BD的中点，

∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，

∵∠ABD＝∠CDB，

∴AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠ACD，

∴AD＝CD，

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是菱形，

∵AB＝5，BO＝

BD＝4，

∴AO＝3，

∴AC＝2AO＝6，

∴四边形ABCD的面积＝

×6×8＝24，

故选：

B．

4．解：

∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，

∴AO＝OC，

∵过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，

∴AE＝CE，

∵矩形的周长为20，

∴AD+DC＝AB+BC＝10，

∴△CDE的周长为CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝10，

故选：

A．

5．解：

A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．

B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，

∴AB2+BC2＝62+82＝102，

∴∠ABC＝90°，

∴平行四边形ABCD为矩形．

C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，

D、正确，∵∠1＝∠2，

∴AO＝BO，

∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

故选：

C．

6．解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵OA＝OD，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

∵∠OAD＝55°，

∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°

故选：

A．

7．解：

过E作EF⊥AB于F，

由题意得，△BCE是等边三角形，

∴∠EBC＝60°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝30°，

∴EF＝

BE，

设正方形的边长为a，则AB＝BE＝BC＝a，

∴EF＝

a，

∴S△ABE＝

AB•EF＝

•a

a＝

a，S正方形ABCD＝a2，

∴△ABE与正方形ABCD的面积比为1：

4，

故选：

C．

8．解：

由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形，

因此再添加条件：

一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，

故选：

C．

9．解：

过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠A+∠BCD＝180°，

∵∠FCD+∠BCD＝180°，

∴∠A＝∠FCD，

又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，

∴△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF，

S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，

∴DE＝4．

故选：

C．

10．解：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD

∵AB的中点是坐标原点，

∴AO＝BO＝3，

∴DO＝

＝3

∴点C坐标（6，3

）

故选：

D．

二．填空题

11．解：

∵AF，BE是矩形的内角平分线．

∴∠ABF＝∠BAF﹣90°．

故∠1＝∠2＝90°．

同理可证四边形GMON四个内角都是90°，则四边形GMON为矩形．

又∵有矩形ABCD且AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD四角的平分线，

∴有等腰直角△DOC，等腰直角△AMD，等腰直角△BNC，AD＝BC．

∴OD＝OC，△AMD≌△BNC，

∴NC＝DM，

∴NC﹣OC＝DM﹣OD，

即OM＝ON，

∴矩形GMON为正方形，

故答案为：

正方．

12．解：

∵四边形ABCD为菱形，

∴BD平分∠ABC，

∵E为BD上的一点，EF＝4，

∴点E到AB的距离＝EF＝4，

故答案为：

4．

13．解：

如图，

∵四边形ABCD是菱形

∴AO＝CO＝6cm，BO＝DO，AC⊥BD

∵S菱形ABCD＝

×AC×BD＝96

∴BD＝16cm

∴BO＝DO＝8cm

∴AB＝

＝10cm

故答案为：

10cm

14．解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝OC，DO＝BO，AC＝BD，

∴DO＝CO＝AO＝BO，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝10，

∴AO＝OB＝DO＝10，

∵E、F分别为AO、AD的中点，

∴EF＝

DO＝

＝5，

故答案为：

5．

15．解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CAE＝45°＝∠ACB．

∵AE＝AC，

∴∠ACE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°．

∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．

故答案为22.5°．

16．解：

∵菱形ABCD的周长是20，

∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，

∴AO＝

＝4

∴AC＝8，BD＝6

∴菱形ABCD的面积＝

AC×BD＝24，

故答案为：

24

17．解：

因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝1，根据SAS证得△ABP≌△DCE，

由题意得：

BP＝2t＝1，

所以t＝0.5，

因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝1，根据SAS证得△BAP≌△DCE，

由题意得：

AP＝8﹣2t＝1，

解得t＝3.5．

所以，当t的值为0.5或3.5秒时．△ABP和△DCE全等．

故答案为：

0.5秒或3.5秒．

18．解：

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝

BC＝

，CF＝

CE＝3

，

∴∠ACF＝45°+45°＝90°，

在Rt△ACF中，由勾股定理得：

AF＝

＝

＝2

，

∵H是AF的中点，

∴CH＝

AF＝

．

故答案为：

．

三．解答题

19．解：

∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，

∴AD＝BD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝BA，

∴AB＝AD＝BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠DAB＝60°；

∵BD＝4，

∴DO＝2，AD＝4，

∴AO＝

＝2

，

∴AC＝4

；

∴AB＝

＝

＝4，

∴菱形ABCD的周长为4×4＝16；

菱形ABCD的面积为：

BD•AC＝

×4×4

＝8

．

20．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥DC

∴∠AEB＝∠AFD＝90°．

又∵BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF（AAS）

∴DA＝AB，

∴平行四边形ABCD是菱形．

21．解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，AO＝OC，OD＝OB，∠BAD＝90°，

∴OA＝OB，

∵∠BAD＝90°，∠DAE＝2∠BAE，

∴∠BAE＝30°，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝90°，

∴∠ABO＝90°﹣30°＝60°，

∵OA＝OB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠BAO＝60°，

∴∠EAC＝∠BAO﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°．

22．解：

（1）证明：

∵AD∥BC，EC＝AD，

∴四边形AECD是平行四边形．

又∵∠D＝90°，

∴四边形AECD是矩形．

（2）∵AC平分∠DAB．

∴∠BAC＝∠DAC．

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB．

∴∠BAC＝∠ACB．

∴BA＝BC＝5．

∵EC＝2，

∴BE＝3．

∴在Rt△ABE中，AE＝

＝

＝4．

23．解：

△BEF是直角三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠C＝∠D＝90°．

∵点E是CD的中点，

∴DE＝CE＝

CD＝6．

∵AF＝3DF，

∴DF＝

AD＝3．

∴AF＝3DF＝9．

在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF2＝AB2+AF2＝144+81＝225，

在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2＝CB2+CE2＝144+36＝180，

在Rt△DEF中，由勾股定理可得EF2＝DF2+DE2＝9+36＝45，

∵BE2+EF2＝180+45＝225，BF2＝225，

∴BE2+EF2＝BF2．

∴△BEF是直角三角形．

24．

（1）证明：

∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD＝OC，

∴∠COD＝90°，

∴四边形OCED是正方形．

（2）解：

如图，连接EO并延长，交AB于G，交CD于H，

由

（1）知：

四边形OCED是正方形，

∴CD⊥OE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴EG⊥AB，

∵AC＝

，

∴AB＝BC＝1＝GH，

Rt△DCE中，∵DE＝CE，EH⊥CD，

∴DH＝CH，

∴EH＝

CD＝0.5，

∴EG＝1+0.5＝1.5，

∴点E到边AB的距离为1.5；

故答案为：

1.5．

25．解：

（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，

∵正方形ABCD，

∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，

∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，

∴四边形EMCN为正方形，

∵四边形DEFG是矩形，

∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，

∴∠DEN＝∠MEF，

又∠DNE＝∠FME＝90°，

在△DEN和△FEM中，

，

∴△DEN≌△FEM（ASA），

∴ED＝EF，

∴矩形DEFG为正方形，

（2）CE+CG的值为定值，理由如下：

∵矩形DEFG为正方形，

∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDG，

在△ADE和△CDG中，

，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，

∴AC＝AE+CE＝

AB＝

×4

＝8，

∴CE+CG＝8是定值．