高考总复习基本初等函数1第二章 22.docx

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高考总复习基本初等函数1第二章22

§2.2　函数的单调性

1．函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f （x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1

当x1f （x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数y＝f （x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f （x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f （x）的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f （x）的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

（1）对于任意的x∈I，都有f （x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f （x0）＝M

（1）对于任意的x∈I，都有f （x）≥M；

（2）存在x0∈I，使得f （x0）＝M

结论

M为最大值

M为最小值

概念方法微思考

1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？

提示　对∀x1，x2∈D，x1≠x2，

>0⇔f （x）在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，（x1－x2）·[f （x1）－f （x2）]>0⇔f （x）在D上是增函数．减函数类似．

2．写出函数y＝x＋

（a>0）的增区间．

提示　（－∞，－

]和[

，＋∞）．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若定义在R上的函数f （x），有f （－1）

（2）函数y＝f （x）在[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）．（　×　）

（3）函数y＝

的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．（　×　）

（4）所有的单调函数都有最大值和最小值．（　×　）

题组二　教材改编

2.如图是函数y＝f （x），x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是（　　）

A．f （x）在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数

B．f （x）在区间（－1,3）上的最大值为3，最小值为－2

C．f （x）在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3

D．当直线y＝t与f （x）的图象有三个交点时－1

答案　C

3．函数y＝

在[2,3]上的最大值是______．

答案　2

4．若函数f （x）＝x2－2mx＋1在[2，＋∞）上是增函数，则实数m的取值范围是________．

答案　（－∞，2]

解析　由题意知，[2，＋∞）⊆[m，＋∞），∴m≤2.

题组三　易错自纠

5．函数f （x）＝

（－2x2＋x）的单调增区间是________；f （x）的值域是________．

答案　

　[3，＋∞）

6．函数y＝f （x）是定义在[－2,2]上的减函数，且f （a＋1）

答案　[－1,1）

解析　由条件知

解得－1≤a<1.

7．设函数f （x）＝

是单调函数．则a的取值范围是________；若f （x）的值域是R，则a＝________.

答案　（0,2]　2

解析　当x≥1时，f （x）＝

＝x＋

，则f′（x）＝1－

≥0恒成立，

∴f （x）在[1，＋∞）上单调递增，∴f （x）min＝f

（1）＝2，

当x<1时，f （x）＝ax，

由于f （x）是单调函数，

∴f （x）＝ax在（－∞，1）上也单调递增，且ax≤2恒成立，

∴

故a的取值范围为（0,2]，

∵当x≥1时，f （x）≥2，

由f （x）的值域是R，可得当x＝1时，ax＝2，

故a＝2.

确定函数的单调性

命题点1　求具体函数的单调区间

例1　

（1）（2019·郴州质检）函数f （x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，－2）B．（－∞，1）

C．（1，＋∞）D．（4，＋∞）

答案　D

解析　由x2－2x－8>0，得f （x）的定义域为{x|x>4或x<－2}．

设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．

要求函数f （x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间（定义域内）．

∵函数t＝x2－2x－8在（4，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减，

∴函数f （x）的单调递增区间为（4，＋∞）．

故选D.

（2）设函数f （x）＝

g（x）＝x2f（x－1），则函数g（x）的单调递减区间是__________．

答案　[0,1）

解析　由题意知g（x）＝

该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1）．

命题点2　判断或证明函数的单调性

例2　讨论函数f （x）＝

（a>0）在（－∞，1）上的单调性．

解　方法一　∀x1，x2∈（－∞，1），且x1

f （x）＝a

＝a

，

f （x1）－f （x2）＝a

－a

＝

，由于x1

∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

故当a>0时，f （x1）－f （x2）>0，

即f （x1）>f （x2），

∴函数f （x）在（－∞，1）上单调递减．

方法二　f′（x）＝

＝－

，

∵（x－1）2>0，a>0，∴f′（x）<0，

故a>0时，f （x）在（－∞，1）上是减函数．

思维升华　确定函数单调性的四种方法

（1）定义法：

利用定义判断．

（2）导数法：

适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．

（3）图象法：

由图象确定函数的单调区间需注意两点：

一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

（4）性质法：

利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．

跟踪训练1　

（1）（2019·北京）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）

A．y＝

B．y＝2－x

C．y＝

D．y＝

答案　A

解析　y＝

＝

，y＝2－x＝

x，

y＝

，y＝

的图象如图所示．

由图象知，只有y＝

在（0，＋∞）上单调递增．

（2）函数f （x）＝|x－2|x的单调递减区间是________．

答案　[1,2]

解析　f （x）＝

画出f （x）的大致图象（如图所示），

由图知f （x）的单调递减区间是[1,2]．

（3）函数f （x）＝

（6x2＋x－1）的单调增区间为________．

答案　

解析　由6x2＋x－1>0得，f （x）的定义域为

.

由复合函数单调性知f （x）的增区间即y＝6x2＋x－1的减区间（定义域内），

∴f（x）的单调增区间为

.

函数单调性的应用

命题点1　比较函数值的大小

例3　

（1）若函数f （x）＝x2，设a＝log54，b＝

，c＝

，则f （a），f （b），f （c）的大小关系是（　　）

A．f （a）>f （b）>f （c）B．f （b）>f （c）>f （a）

C．f （c）>f （b）>f （a）D．f （c）>f （a）>f （b）

答案　D

解析　因为函数f （x）＝x2在（0，＋∞）上单调递增，而0<

＝log53

，所以f （b）

（2）已知定义在R上的函数f （x）＝2|x－m|＋1（m∈R）为偶函数．记a＝f （log22），b＝f （log24），c＝f （2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a

C．a

答案　B

解析　∵定义在R上的函数f （x）＝2|x－m|＋1（m∈R）为偶函数，∴m＝0，∴f （x）＝2|x|＋1，∴当x∈（－∞，0）时，f （x）是减函数，当x∈（0，＋∞）时，f （x）是增函数．∵a＝f （log22）＝f 

（1），b＝f （log24）＝f 

（2），c＝f （2m）＝f （0），∴a，b，c的大小关系为c

命题点2　求函数的最值

例4　

（1）函数f （x）＝

x－log2（x＋2）在区间[－1,1]上的最大值为________．

答案　3

解析　由于y＝

x在R上单调递减，y＝log2（x＋2）在[－1,1]上单调递增，所以f （x）在[－1,1]上单调递减，故f （x）在[－1,1]上的最大值为f （－1）＝3.

（2）（2020·深圳模拟）函数y＝

的最大值为________．

答案　

解析　令

＝t，则t≥2，

∴x2＝t2－4，∴y＝

＝

，

设h（t）＝t＋

，则h（t）在[2，＋∞）上为增函数，

∴h（t）min＝h

（2）＝

，∴y≤

＝

（x＝0时取等号）．

即y最大值为

.

命题点3　解函数不等式

例5　

（1）已知函数f （x）＝

若f （2－x2）>f （x），则实数x的取值范围是________．

答案　（－2,1）

解析　根据函数f （x）的图象可知，f （x）是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2

（2）已知函数f （x）＝lnx＋2x，若f （x2－4）<2，则实数x的取值范围是______________．

答案　（－

，－2）∪（2，

）

解析　因为函数f （x）＝lnx＋2x在定义域（0，＋∞）上单调递增，且f 

（1）＝ln1＋2＝2，所以由f （x2－4）<2得，f （x2－4）

（1），所以0

.

命题点4　求参数的取值范围

例6　

（1）已知f （x）＝

是（－∞，＋∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,1）B.

C.

D.

答案　C

解析　由f （x）是减函数，得

∴

≤a＜

，∴实数a的取值范围是

.

（2）已知函数f （x）＝

若f （x）在（0，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为________．

答案　（1,2]

解析　由题意，得12＋

a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a（x>1）是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1

（3）已知函数y＝loga（2－ax）在[0,1]是减函数，则实数a的取值范围是________．

答案　（1,2）

解析　设u＝2－ax，

∵a>0且a≠1，

∴函数u在[0,1]上是减函数．

由题意可知函数y＝logau在[0,1]上是增函数，

∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，

∴

得a<2.

综上得1

思维升华　函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

（1）比较大小．

（2）求最值．

（3）解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．

（4）利用单调性求参数．

①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

跟踪训练2　

（1）（2019·唐山模拟）已知函数f （x）为R上的减函数，则满足f 

（1）的实数x的取值范围是________．

答案　（－1,0）∪（0,1）

解析　因为f （x）在R上为减函数，且f 

（1），所以

>1，即0<|x|<1，所以0

（2）函数f （x）＝

的最大值为________．

答案　2

解析　当x≥1时，函数f （x）＝

为减函数，所以f （x）在x＝1处取得最大值，为f 

（1）＝1；当x<1时，易知函数f （x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f （0）＝2.

故函数f （x）的最大值为2.

（3）已知函数y＝

（6－ax＋x2）在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．

答案　[4,5）

解析　设u＝6－ax＋x2，

∵y＝

u为减函数，

∴函数u在[1,2]上是减函数，

∵u＝6－ax＋x2，对称轴为x＝

，

∴

≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．

∴

解得4≤a<5，

∴实数a的取值范围是[4,5）．

1．下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．y＝ln（x＋2）B．y＝－

C．y＝

xD．y＝x＋

答案　A

解析　函数y＝ln（x＋2）的增区间为（－2，＋∞），所以在（0，＋∞）上一定是增函数．

2．函数f （x）＝1－

（　　）

A．在（－1，＋∞）上单调递增

B．在（1，＋∞）上单调递增

C．在（－1，＋∞）上单调递减

D．在（1，＋∞）上单调递减

答案　B

解析　f （x）图象可由y＝－

图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．

3．（2019·沧州七校联考）函数f （x）＝log0.5（x＋1）＋log0.5（x－3）的单调递减区间是（　　）

A．（3，＋∞）B．（1，＋∞）

C．（－∞，1）D．（－∞，－1）

答案　A

解析　由已知易得

即x>3，

f （x）＝log0.5（x＋1）＋log0.5（x－3）＝log0.5（x＋1）（x－3），x>3，

令t＝（x＋1）（x－3），则t在[3，＋∞）上单调递增，

又0<0.5<1，∴f （x）在（3，＋∞）上单调递减．

4．若f （x）＝－x2＋2ax与g（x）＝

在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）∪（0,1）B．（－1,0）∪（0,1]

C．（0,1）D．（0,1]

答案　D

解析　因为f （x）＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g（x）＝

在[1,2]上是减函数，所以a>0，所以0

5．已知函数f （x）＝x|x＋2|，则f （x）的单调递减区间为（　　）

A．[－2,0]B．[－2,1]

C．[－2，－1]D．[－2，＋∞）

答案　C

解析　由于f （x）＝x|x＋2|＝

当x≥－2时，y＝x2＋2x＝（x＋1）2－1，

显然，f （x）在[－2，－1]上单调递减；

当x<－2时，y＝－x2－2x＝－（x＋1）2＋1，

显然，f （x）在（－∞，－2）上单调递增．

综上可知，f（x）的单调递减区间是[－2，－1]．

6．（2020·青岛模拟）已知定义在R上的奇函数f （x）在[0，＋∞）上单调递减，若f （x2－2x＋a）

A.

B．（－∞，－3）

C．（－3，＋∞）D.

答案　D

解析　依题意得f （x）在R上是减函数，所以f （x2－2x＋a）x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈

[－1,2]恒成立．设g（x）＝－x2＋3x＋1（－1≤x≤2），则g（x）＝－

2＋

（－1≤x≤2），当x＝

时，g（x）取得最大值，且g（x）max＝g

＝

，因此a>

，故选D.

7．（多选）已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则（　　）

A．πe<3eB．3e－2π<3πe－2

C．logπe3logπe

答案　CD

解析　已知π为圆周率，e为自然对数的底数，

∴π>3>e>2，∴

e>1，πe>3e，故A错误；

∵0<

<1,0

∴

e－2>

，

∴3e－2π>3πe－2，故B错误；

∵π>3，∴logπe

由π>3，可得log3e>logπe，

则πlog3e>3logπe，故D正确．

8．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．

答案　（－∞，－1]和[0,1]　（－1,0）和（1，＋∞）

解析　由于y＝

即y＝

画出函数图象如图所示，

单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为（－1,0）和（1，＋∞）．

9．如果函数f （x）＝ax2＋2x－3在区间（－∞，4）上单调递增，则实数a的取值范围是______________．

答案　

解析　当a＝0时，f （x）＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在（－∞，4）上单调递增；当a≠0时，二次函数f （x）的对称轴为x＝－

，因为f （x）在（－∞，4）上单调递增，所以a<0，且－

≥4，解得－

≤a<0.

综上，实数a的取值范围是

.

10．（2019·福州质检）如果函数f （x）＝

满足对任意x1≠x2，都有

>0成立，那么实数a的取值范围是________．

答案　

解析　对任意x1≠x2，都有

>0，

所以y＝f （x）在R上是增函数．

所以

解得

≤a<2.

故实数a的取值范围是

.

11．试判断函数f（x）＝

在（0，＋∞）上的单调性，并加以证明．

证明　方法一　设0

＝x2－

，

f （x1）－f （x2）＝x

－x

－

＝（x1－x2）·

.∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，x1＋x2＋

>0.∴f （x1）－f （x2）<0，即f （x1）

故f （x）在（0，＋∞）上单调递增．

方法二　f′（x）＝2x＋

.

当x>0时，f′（x）>0，故f （x）在（0，＋∞）上为增函数．

12．已知函数f （x）对于任意x，y∈R，总有f （x）＋f （y）＝f （x＋y），且x>0时，f （x）<0.

（1）求证：

f （x）在R上是奇函数；

（2）求证：

f （x）在R上是减函数；

（3）若f 

（1）＝－

，求f （x）在区间[－3,3]上的最大值和最小值．

（1）证明　∵函数f （x）对于任意x，y∈R总有f （x）＋f （y）＝f （x＋y），

令x＝y＝0得f （0）＝0，

令y＝－x得f （－x）＝－f （x），

∴f （x）在R上是奇函数．

（2）证明　在R上任取x1>x2，

则x1－x2>0，f （x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）

＝f （x1－x2），

∵x>0时，f （x）<0，∴f （x1－x2）<0，

∴f （x1）

（3）解　∵f （x）是R上的减函数，

∴f （x）在[－3,3]上也是减函数，

∴f （x）在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f （－3）和f （3），

而f （3）＝3f 

（1）＝－2，f （－3）＝－f （3）＝2，

∴f （x）在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

13．若存在正数x使2x（x－a）<1成立，则实数a的取值范围是________．

答案　（－1，＋∞）

解析　由题意可得，存在正数x使a>x－

x成立．

令f （x）＝x－

x，该函数在（0，＋∞）上为增函数，可知f （x）的值域为（－1，＋∞），故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．

14．设函数f （x）＝

若函数y＝f （x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．

答案　（－∞，1]∪[4，＋∞）

解析　作函数f （x）的图象如图所示，

由图象可知f （x）在（a，a＋1）上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.

15．（2019·石家庄模拟）已知函数f （x）＝2021x－2021－x＋1，则不等式f （2x－1）＋f （2x）>2的解集为____________．

答案　

解析　由题意知，f （－x）＋f （x）＝2，

∴f （2x－1）＋f （2x）>2可化为f （2x－1）>f （－2x），

又由题意知函数f （x）在R上单调递增，

∴2x－1>－2x，∴x>

，

∴原不等式的解集为

.

16．已知函数f （x）＝lg

，其中a是大于0的常数．

（1）求函数f （x）的定义域；

（2）当a∈（1,4）时，求函数f （x）在[2，＋∞）上的最小值；

（3）若对任意x∈[2，＋∞）恒有f （x）>0，试确定实数a的取值范围．

解　

（1）由x＋

－2>0，得

>0.

①当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为（0，＋∞）；

②当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；

③当0

或x>1＋

}．

（2）设g（x）＝x＋

－2，当a∈（1,4），x∈[2，＋∞）时，g（x）＝x＋

－2在[2，＋∞）上是增函数．

∴f （x）＝lg

在[2，＋∞）上是增函数，

∴f （x）＝lg

在[2，＋∞）上的最小值为f 

（2）＝lg

.

（3）对任意x∈[2，＋∞）恒有f （x）>0，

即x＋

－2>1对x∈[2，＋∞）恒成立．

∴a>3x－x2，x∈[2，＋∞）．

设h（x）＝3x－x2，x∈[2，＋∞），

则h（x）＝3x－x2＝－

2＋

在[2，＋∞）上是减函数，

∴h（x）max＝h

（2）＝2.∴a>2.

即实数a的取值范围是（2，＋∞）．