秋季六年级数学同步课程第十讲 周期问题.docx
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秋季六年级数学同步课程第十讲周期问题
第十讲周期问题
课程目标
1．找几何图形的排列规律，通过排列规律，准确说出接下来的图形的排列情况。
2．找简单数列的排列周期，通过图形的规律，类推出数列的周期问题的解决方法。
3．熟悉年、月、日的循环规律，能够通过周期，推算出事情将要发生的时间。
4．通过简单的计算，掌握一些特殊结果的周期性，运用周期规律简化计算。
课程重点
找几何图形的排列规律，找简单数列的排列周期，熟悉年、月、日的循环规律，通过简单的计算，掌握一些特殊结果的周期性。
课程难点
通过排列规律，准确说出接下来的图形的排列情况，通过图形的规律，类推出数列的周期问题的解决方法，能够通过周期，推算出事情将要发生的时间，运用周期规律简化计算
教学方法建议
通过观察法、讨论法等让学生发现规律，并解决问题。
一、知识梳理
世间万物，千奇百怪；运动变化，千姿百态。
可这貌似“杂乱无章”的世界却受到各式各样的规律支配着。
在这些规律中，有一种最常见的规律就是从形形色色的周期现象中提炼出来的规律。
如果某一事物的变化具有周期性，那么，该事物在经历一段变化后，又会呈现原俩的状态。
我们把事物所经历的这一段，叫该事物变化的周期。
例如，在自然数列中，各位数字变化的周期是10；星期日出现的周期是7（天）；用动物记年的走器是12（年）等等。
在数学中，我们把与周期性有关的数学问题叫做周期问题。
二、方法归纳
一般解答思路：
（1）判断是否是周期现象（几个重复一次周期就是几）；
（2）用除法算式来表示周期现象：
总数÷周期＝组数……余数；
整周期部分非整周期部分
无余数：
本组的最后一个；
有余数：
下一组的第余数个。
（3）根据除法算式想象排列图；
（4）根据要求求解。
3、课堂精讲
（一）、图形中的周期问题
例1.两个小朋友比赛智力，一位小朋友画出了一组图形（排列如下），根据排列的规律。
请算出第60个图形是（），第121个图形是（）。
【规律方法】每3个图形为一组，称为一个周期。
没有余数，说明组合里刚好有完整的周期数。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
1.如图所示，黑珠、白珠共l26个，穿成一串，这串珠子中最后一个珠子是__________颜色的，这种颜色的珠子共有__________个．
2.如图，算出第20个图形是什么？
○△△□□□○△△□□□○△△……
3.观察图中图形的规律，第200个图形应该是下面A、B、C、D四个图形中的哪一个？
例2．如图，将下面的每一列上、下两个字组成一组,例如第一组为（我奥）,第二组为（最数）,那么第235组为什么数呢?
我
最
棒
我
最
棒
我
最
棒
…
奥
数
好
玩
奥
数
好
玩
奥
…
【规律方法】如果从表格上找规律，该题的周期是3、4的最小公倍数为12，且列出一个周期的项，比较繁。
我们可以分行找规律，求出该行第235组是什么，在将它们组合。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
4.下表中每列上下两个汉字和字母组成一组，例如，第一组是（我A），第二组是（们B），…
我
们
爱
数
学
我
们
爱
数
学
我
…
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
…
（1）第82组是什么？
（2）如果（爱C）代表1978年，（数D）代表1979年，…那么，2000年将对应哪一组？
5.如图，将下面的每一列上、中、下三个字组成一组,例如第一组为（学看广）,第二组为（好亚州）,请问第289组为什么呢?
学
好
数
学
学
好
数
学
学
…
看
亚
运
看
亚
运
看
亚
运
…
广
州
亚
运
会
广
州
亚
运
…
例3．如图，伸出左手，然后从大拇指开始数数。
当数到200的时候，正好数到哪根手指？
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
6.（2015年学而思）将非零自然数1、2、3·····2015按照一定规律排成数表如下图：
A列
B列
C列
D列
第1行
1
2
3
第2行
6
5
4
第3行
7
8
9
第4行
12
11
10
第5行
13
14
15
····
······
（1）2015排在第几行第几列？
请计算说明
（2）B列的前40个数字之和是多少？
7.有a、b、c、d四条直线（如图），从直线a上开始，按箭头方向从1开始依次在a、b、c、d上写自然数1，2，3，4，5，6，…
（1）106在哪条线上？
（2）直线a上第56个数是多少？
（二）、日期中的周期问题
例4．2013年的6月1号是星期五，再过80天是星期几呢？
那么明年的6月1是星期几呢？
那么2014年的6月1是星期几呢？
【规律方法】由于每个星期有7天，以今年的6月1日为周期的第1天，周期是星期五、星期六、星期日、星期一、星期二、星期三、星期四，根据周期问题的规律有：
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
8.如果今天是星期五，那么再过80天是星期几呢？
9.甲问乙：
今天是星期五，再过30天是星期几？
乙问甲：
假如16日是星期一，这个月的31日是星期几？
2011年的10月1日是星期六，那么这个月的28日是星期几？
（三）数字中的周期问题
例5．将
化成小数后，
（1）小数点后第200个数是几？
（2）小数点后300位的数字和是多少？
【规律方法】因为
=0.142857142857…，
是一个无限循环小数142857循环，周期是6。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
10.把
化成小数后，小数点后面100位数字之和是多少？
例6．
的尾数是多少？
【规律方法】像这种从有限到无限的研究，其思路肯定是先通过有限找出规律与周期，然后再进行最终处理。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
11.求
的个位数字为多少?
并说明理由。
12.71998表示1998个7连乘，它的结果末位上的数字是几？
例7．有一列数如下：
4、5、9、14、23……问这列数的第1999个数除以3，余数是几？
【规律方法】看看数列除以3的余数是多少，找规律。
余数分别是1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1……发现数列余数的周期是（1，2，0，2，2，1，0，1）。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
13.有一列数1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……从第三个数开始，每个数都是它前面两个数之和，那么前1000个数中，有（）奇数。
四、讲练结合题
1．有同样大小的红珠、白珠、黑株共有160个？
按4个红株，3个白株，2个黑株的顺序排列着。
黑株共有几个？
第101个株子是什么颜色？
2.国庆节，路旁挂起一排彩灯，小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿灯个一盏，那么，第80盏灯应是什么颜色的？
3.我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年号。
如果1940年是龙年，那么，1996年是什么年？
4.（2016年学而思）这个循环小数点后第2016位的数字是（）。
5.
用循环小数表示，小数点后第2012位上的数字是（）。
6.12415表示15个124连乘，所得积的末位数字是几？
7.（2015年天河省实）2000名学生排成一排，按1，2，3，4，5，6，7，6，5，4，3，2，1，1，2，3，4，5，6，7，6，5，4，3，2，1，……循环报数，则第2000名学生所报的数是。
8.（2016学而思）我国农历纪年方法是干支纪年法，十天干：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支为：
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
从天干的第一个字“甲”与地支的第一个字“子”开始配对，依次为：
甲子、乙丑、丙寅、……，天干或地支取完了就从头再取，直到“癸亥”，为一周期。
苏轼曾写下一篇《赤壁赋》，是中国文学史上的名著，开篇两句是这样的：
“壬戌之秋，七月既望。
”已知苏轼生于1037年，卒于1103，而且今年（2016年）是农历丙申年。
根据上述条件，请你推算一下《赤壁赋》写于哪一年。
9.（2016学而思）2015年的元旦是星期四，那么2015年的5月1日是星期（）。
A四B五C六D日
五．课后自测练习
1.（2014天河省实）有一列图形：
○○★□◆○○★□◆○○★□◆……，根据规律，第71个图形是。
2.（2013年广大附中）节日的大街上挂起一串串彩灯，从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，三盏绿灯，2盏蓝灯重复拍下去，请问：
第2013盏灯是______________颜色
3.（2017玉岩天健）观察图形▲●△△○▽○△△○▽○……的排列情况，第2017个图形是（）。
4.（2016年希望杯初试）将
化成小数，小数部分从左到右第2016个数字是。
5.（2015年广大附中）一串数:
1，9,9,1,4,1,4,1，9,1,9,4,1,4,1,9,9,1，4,4，……，共有2008个数.
（1）这串数中有多少个1,多少个9,多少个4?
（2）这些数的总和是多少?
6.（2015年广雅）2014年5月17日（星期六）是面试日期，则这天以后的第
天是星期（）。
7.甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取牛奶是星期一，那么甲第100次取牛奶是星期几？
8.把16把椅子摆成一个圆圈，依次编上1到16号。
现在有一个人从第一号椅子顺时针前进213把椅子，再逆时针前进285把椅子，又顺时针前进213把椅子，再逆时针前进285把椅子，又顺时针前进12把椅子，这时他到了第几号椅子？
9.自然数如下表的规则排列，求：
（1）上起第10行左起第13列的数
（2）数127应排在上起第几行左起第几列？
第十讲周期问题【答案】
例1根据题意，小朋友所画一组图形是3个图形的循环，第三个是三角形，第六个也是三角形，所以所有排列是3的倍数的图形都是三角形，比三的倍数多1的是正方形，比三的倍数多2的是圆形。
题中60是3的倍数，所以第60个图形是三角形；
121是3的倍数（120）多1，所以第121个图形是正方形。
【搭配课堂训练题】
1.因为这串珠总共有126个，（126-1）÷4=31…1，则最后一个珠子为白颜色．白颜色的珠子共有31+1=32个．
故这串珠子中最后一个珠子是白颜色的，共有32个．
2.20÷6=3……2。
故第20个图形是△。
3.根据观察及其分析:
一白两黑,3个一个周期,
所以第200个是黑色的;200÷10=20
因此，本题正确答案是:
A.
例2235÷3＝78…1（我）
235÷4＝58…3（好）
答：
所以第235组是（我好）
【搭配课堂训练题】
4.“我、们、爱、数、学”是5个一组进行循环，
82÷5=16……2
所以第82组对应的字是们；
“A、B、C、D”是4个一组进行循环的，
82÷4=20……2
所以第82组对应的字母是B；
答：
第82组是（们B）.
（2）如果（爱C）代表1978年，那么（我A）就代表1976年；
2006－1976+1=31
31÷5=6……1
所以2006年对应的字是我；
31÷4=7……3
所以2006年对应的字母是C；
答：
2006年将对应（我C）
5.“学、好、数、学”是4个一组进行循环，
289÷4=72……1
所以第289组对应的字是学；
“看、亚、运”是3个一组进行循环的，
289÷3=96……1
所以第289组对应的字母是看；
“广、州、亚、运、会”是5个一组进行循环，
289÷5=57……4
所以第289组对应的字是运；
答：
第289组是（学看运）
例3
能够整除,故数到25个周期结束的时候恰好到了200,
所以数到200正好到了食指上.
答:
当数到200的时候,正好数到食指上.
【搭配课堂训练题】
6.
7.106÷4=26……2
答：
106在第二条直线b上
4×（56－1）+1=221
答：
直线a上第56个数是221
故答案为：
直线b；221
例4（80＋1）÷7＝11……4
所以再过80天是星期一。
（365＋1）÷7＝52……2
所以明年的6月1日是星期六。
（365＋366＋365＋365＋1）÷7＝208……6
所以2014的6月1日是星期三。
【搭配课堂训练题】
8.再过80天是星期几，则，80÷7＝11……3，余3天，就是从星期五往后数3天，即是星期一.
9.30÷7=4……2，今天是星期五，再过30天是星期天，（31-16）÷7=2……1，这个月的31号是星期二，（28-1）÷7=3……6，所以这个月的28号是星期五.
故答案为：
星期天；星期二；星期五
例5
（1）200÷6＝33……2
所以
化成小数点后第200个数是4；
（2）300÷6＝50
（1＋4＋2＋8＋5＋7）×50＝1350
所以小数点后300位数字的和是1350。
【搭配课堂训练题】
10.循环节是012345679,9位0+1+2+3+4+5+6+7+9=37100÷9=11余1所以有11个循环节，在加上第一位的0所以是11×37+0=407
例621末尾数=2
22末尾数=4
23末尾数=8
24末尾数=6
25末尾数=2
26末尾数=4
所以
每四次一循环
2016÷4=504
所以
末尾数应为6
【搭配课堂训练题】
11.因为3，3×3=9，3×3×3=27，3×3×3×3=81，3×3×3×3×3=243，
积的个位数是3、9、7、1的循环，又因为1993÷4=498……1，
所以3×3×3×3×…×3（1993个3）的个位数是3.
12.可以先看一下7相乘得到的积的末位上的数字的变化规律，7，7×7＝49，7×7×7＝343，7×7×7×7＝2401，7×7×7×7×7＝16807……可以看出末位数字的变化呈现出7、9、3、1这样的变化规律，1998里面包含数字的组数是1998÷4＝499……2，所以末尾的数字是9.
例71999÷8＝249……7
答：
这个数列第1999个数除以3的余数是0，既能被3整除。
【搭配课堂训练题】
13.这个数列是按照“奇数、奇数、偶数”的顺序循环重复排列的;每一组循环中有2个奇数和1个偶数;
余数是1,余下的这个数是奇数;
所以奇数有:
答:
共有667个奇数.
四、讲练结合题
1.由题意可知，一组珠中含有4个红珠、3个白珠、2个黑珠，每9个珠循环一次.
160÷9＝17……7
黑珠的个数为：
17×2＝34（个）
101÷9=11……2，可以知道第101个珠子是红颜色的.
答：
黑珠共有34个，第101个珠子是红颜色的.
2.80÷4＝20（组）.所以第80盏灯是绿色.
3.
余数是8,龙年再过8年是鼠年.
答:
1996年是鼠年.
4.6
5.
用循环小数表示是
循环节是六位数;
；那么小数点后第2012位上的数字是循环节的第二位上的数字,也就是2。
6.由4×4×4＝64，可得每3个个位上是4的数相乘，个位上还是4；所以把12415中15个因数分成每3个一组，共5组，每组都是3个124相乘，而3个124相乘的积的个位上还是4，那么三组数相乘的积的个位上还是4，用这个结果再与剩下的另外两组积相乘，得出最后积的个位上仍是4.
答：
积的末位数字是4
7.提示1：
观察学生所报数的特点，知道按1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1、循环报数，即每13个数为一个循环，所以2000除以13，看余数对应的循环数中的几就是该名学生所报的数．
提示2：
关键是找出循环数，再找出余数对应的是循环数中的几．解：
2000÷13=153……11，
因为，在1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1这组循环数中，第11个数是3，
答：
第2000名学生报的数是：
3．
8.写于1082年
9.2015年是平年，所以从1月1日到5月1日一共有31＋28＋31＋30＋1=121（天）
121÷7=17（星期）……2（天）
因为元旦是星期四，所以17个星期的最后一天是星期三，所以5月1日是星期五。
五．课后自测练习
1.71÷5=14……1
余数是1，那么第71个图形就与第一个相同是○
2.5+4+3+2=14
2000÷14=142……12
余数为12，即是绿灯
答：
第2000盏灯是绿色的.
3.○4.5
5.这个数列以7个数字1,9,9,1,4,1,4不断循环构成
在这一节循环中,有3个1,2个9,2个4
然后
即有286个这样的循环并且最后剩6个数1,9,9,1,4,1
不妨最后再加上一个4,变成2009个数,然后凑成287个循环
由于287个循环中每个循环都有3个1,2个9,2个4
所以共
，
，
再减去之前自己加的那个4
答案为861个1,574个9,573个4
总和
6.星期五
7.300÷7=42……6
余数是6，他第100次取奶是星期日.
8.总共逆时针前进了285×2＝570，
总共顺时针前进了213×2+12＝438，
所以实际上此人是逆时针前进了570-438＝132，
132÷16＝8……4
因此,他到了第13号（如果椅子编号是顺时针的话）或者第5号（如果椅子编号是逆时针的话）.
9.求上起第10行,左起第13列的数是154数127应在上起第6行,左起第12列
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