绝对值的最值问题Word文档格式.docx

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当x<

-13时，x+11<

0，x-12<

0，x+13<

0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2） 

当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40

3） 

当-13<

x<

-11时，x+11<

0，x+13>

0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14

4） 

当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25

5） 

当-11<

12时，x+11>

0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36

6） 

当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48

7） 

当x>

0，x-12>

0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12

可知：

-13时， 

|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>

27

当x=-13时， 

|x+11|+|x-12|+|x+13|=40

-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14,25<

-x+14<

当x=-11时， 

|x+11|+|x-12|+|x+13|=25

12时， 

|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36 

25<

x+36<

48

当x=12时 

|x+11|+|x-12|+|x+13|=48

|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>

观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11

解：

将-11,12，-13从小到大排列为-13<

-11<

12

可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25

例题4：

求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

分析:

回顾化简过程如下

令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0

则零点值为x=1 

x=2,x=3,x=4

（1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10

（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8

（3）当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

（4）当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2

（5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10

根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值

根据绝对值的化简过程可以得出

当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10＞6

当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 

4＜2x+8≤6

当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 

4＜2x-2 

＜6

当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6

则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3

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