全国大学生数学建模比赛A题一等奖论文Word文档下载推荐.docx
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因此从视频中确定地理位置是一项有很大潜力应用空间的技术。
1.2问题描述
视频数据分析是视频处理过程中的重要环节，而如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面。
太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
试建立数学模型讨论下列问题：
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用所建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用此模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
2.问题分析
2.1问题一分析
问题一要求分析投影长度随各参数的变化规律，建立影子长度变化的数学模型。
首先对直杆建立空间三维坐标系，将地球简化成规则球体建立球面坐标系。
在这两个坐标系中，通过几何证明，运用向量知识可分析出影响影子长度的各种参数，得出地球上某日白天某时刻影子顶端在地平面上的具体位置，由此可以给出影子长度的变化规律。
2.2问题二分析
问题二要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据及日期数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
与第一问有相似之处，但分析附件所给数据，发现附件中只给出x、y坐标值，而并没有给出xy轴的准确方向，所以考虑将直角坐标转换成极坐标，来消除由于不同坐标系选取所造成的影响。
2.3问题三分析
问题三与问题二有相似处，区别是第三问附件没有提供日期，需要根据直杆影子端点坐标确定直杆所在地点的经纬度和日期。
具体的日期可以由太阳直射点纬度来确定，而根据问题二中的模型，xy坐标与太阳直射点纬度有关。
如果继续用第二问的模型来求解，需要不断改变太阳直射点纬度来拟合极坐标方程，这样做算法复杂度会很大。
所以考虑对问题二模型进行修改，不采用拟合，而直接建立与待求点经纬度以及日期有关的目标函数，通过约束经纬度范围来缩小待求点的可行域，从而简化算法复杂度。
2.4问题四分析
问题四中，直接以视频的方式给出了固定杆长的距离变化规律。
将图片形式的影长变化规律以坐标的形式进行转换，转换为现实的坐标形式。
这样就可以利用问题二的模型，整合现有的算法，求出拍摄地点。
3.模型假设与符号系统
3.1模型的假设
（1）假设地球为一个规则的球体。
（2）由于日地距离远大于地球半径，所以假设太阳光线为平行光。
（3）假设地球上某地的水平地面是地球球面上过该地的切面。
（4）假设不考虑太阳光线穿过大气层时所发生的折射。
（5）假设一天中太阳直射点的纬度不变。
（6）假设不考虑太阳的视面角、高山阻挡、海拔高度等因素的影响。
（7）假设不考虑阴天没有阳光的情况。
3.2符号系统
问题一符号系统
符号
意义
单位
直杆所在地纬度值
度
太阳直射点的纬度
A、B两地经度差
太阳光线与直杆的夹角
直杆长度
米
直杆影长
地方时
北京时间
直杆所在地的经度
时
问题二、三符号系统
附件1中第一组坐标的y值
极径
极角
度
问题四符号系统
固定杆长度
实际长度与灰度值坐标下的转换比例
投影系统
4.问题一的建模与求解
4.1问题分析
在问题一中，为了描述直杆影子长度变化的动态过程，首先以直杆为z轴，建立空间三维坐标对直杆影子的变化进行数学抽象。
再将地球作为规则球体建立球面坐标系，利用空间解析几何与平面解析几何的知识，对两个坐标系中的相关向量与角度进行分析，分析出影响影子长度的参数，得到影子端点在坐标系中的位置表达式。
由此可以求出影子长度随各个参数的变化规律。
建模流程图如下所示：
图4.1问题一建模流程图
4.2模型准备
为了建模的方便，先给出一些地理名词的解释和一些数据的预处理方法。
4.2.1名词解释[6]
地方时：
以一个地方太阳升到最高的地方时间为正午12时，将连续两个正午12时之间等分为24个小时，所成的时间系统。
它是观测者所在的子午线的时间。
北京时间：
是中国采用北京时区的区时作为标所在的东八准时间。
北京时间并不是北京（东经116.4°
）地方的时间，而是东经120°
地方的地方时间。
太阳赤纬：
是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。
太阳直射点：
地球表面太阳光射入角度（即太阳高度角）为90度的地点，它是地心与日心连线和地球球面的交点。
太阳高度角：
对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角；
专业上讲是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。
4.2.2数据预处理
（1）经纬度转换
在问题一中，天安门广场的坐标是用经纬度（度分秒）的形式给出的。
为了下面建模求解的方便，将其统一转换成以“度”为单位。
换算方法为：
分位数除以60，秒位数除以3600。
所以，天安门广场的纬度可以转换为：
经度可以转换为：
（2）北京时间与地方时的转换[9]
问题中所给出的时刻为北京时间，而北京时间指的是东经120°
地方的地方时，并不是问题中地点的地方时。
所以先要将所给的北京时间转换成相应的地方时。
转换规则为：
东经度<
120度地区，每减少1度，减4分钟；
东经度>
120度地区，每增加1度，加4分钟。
所以有转化公式：
其中，E表示直杆所在地点的经度，是北京时间，是直杆所在地方的地方时。
用此公式对问题一中的北京时间进行操作，得到直杆所在地的地方时，如下表所示：
表4.1天安门的地方时与北京时间的转换
9:
00
30
10:
11:
12:
8:
75
25
13:
14:
15:
4.3模型的建立
要研究影子的变化，需要建立空间三维坐标对直杆影子的变化进行数学抽象。
通过对直杆和地球分别建立了两个空间直角坐标系，用空间解析几何和向量知识，可以确定两个坐标系上各点之间的位置和角度关系。
4.3.1建立直杆处空间三维坐标系
根据假设，视太阳光线为平行光，以直杆所在地点的正东方向为轴，以正北方向为轴，以直杆直立即垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系，得到直杆在平面的投影与光线的位置关系，如下图所示：
图4.2直杆空间三维坐标系
其中，是与过A处的经线相切的方向向东的单位向量；
是A处地平面内方向向北的单位向量。
AH是A处垂直于平面的直杆，AF是该直杆在平面内的投影，HF是当天太阳光线的照射方向，照射方向与直杆所成角度。
4.3.2建立直杆在地球上的宏观空间球面坐标系
根据假设，可视地球为规则球体，过直杆底端A处的经线与赤道交于D点，B点为某日的太阳直射点，过B点的经线与赤道交于C点。
以O为原点，以OD所在直线为x轴，以地轴ON所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图4.3所示：
图4.3直杆在地球上的空间三维坐标系
4.3.3确定各点之间的位置和角度关系
设地球半径为R，，则有：
（1）为直杆所处位置的纬度数，并且。
若A地在北半球，则，若A地在北半球，则。
（2）为太阳直射点B地的纬度，亦即上面提到的赤纬，并且。
（3）为A地与B地的经度差，t是地方时。
对于某日A地白昼t时刻：
。
（4），证明过程如下：
由假设可知，太阳光线是一簇簇的平行线，所以，如图4.4，圆O’是过A,B两地的大圆，于是，证毕。
由以上分析可得：
图4.4过A、B两地，以地球中心为圆心的圆
4.3.4确定日影坐标及其长度
（1）确定影子端点的横坐标
如图4.4，在中，，其中h为直杆长度。
设与所成角为，则
如图4.2，对HF在AE上的正投影AJ，有，即F点在平面上投影端点的横坐标：
（4.1）
（2）确定影子端点的纵坐标
设与成角为，
，如图1，对HF在AK上的正投影AG，有，即点F在上投影端点的纵坐标：
（4.2）
（3）确定日影坐标的长度
已知直杆投影端点的横纵坐标，并且直杆底端即为坐标原点，所以可以得到直杆影长：
（4.3）
4.3.5影子长度变化的综合模型
根据上面的分析，太阳光下物体影子的长度变化综合模型为：
（4.4）
4.4模型的求解
4.4.1赤纬角求解
太阳赤纬角在每一年的任何时刻的值都是可求的，其计算公式为[7]：
（4.5）
其中式中为日角，即；
N为积日，即日期在年内的顺序号，如平年12月31日为365，闰年的12月31日是366。
year为计算时刻所在的年份，floor为向下取整函数。
根据问题一中的2015年10月22日，可知积日N=295，year=2015，所以可以求出：
，
根据上述所求结果，得到：
4.4.2直杆所在地与太阳直射点之间的纬度差的求解
纬度差计算公式有：
其中t为直杆所在地的地方时。
将4.2.2中由北京时间转换出的地方时t代入以上公式，可以得到不同时刻，直杆所在地点与太阳直射点的纬度差的变化值，如下所示：
表4.2随着时间变化纬度差变化值
/度
48.6
41.1
33.6
26.1
18.6
11.1
3.6
/度
-3.9
-11.4
-18.9
-26.4
-33.9
-41.4
4.4.3影长变化的求解结果
由于在很短时间内，影子不会出现大的变化，所以可以认为1分钟内，影子长度是近似不变的。
将这段时间分为361个时间段，每一分钟是一个小时刻，将这个时刻的影长作为这一分钟内的影子长度。
将上面计算出来的和代入影子端点的坐标和影子长度表达式，得到每一分钟，平面直角坐标系内影子端点的坐标变化值和影子长度变化值。
由于数据较多，这里只给出每隔30分钟的数据样点，结果如下表所示：
表4.3随着时间变化影子端点的x坐标变化
x坐标/米
-5.85667
-4.33428
-3.2181
-2.33252
-1.58425
-0.91719
-0.29316
0.317686
0.942828
1.612324
2.364838
3.257505
4.385764
表4.4随着时间变化影子端点的y坐标变化
y坐标/米
4.461538
4.157743
3.963101
3.83469
3.750897
3.70015
3.67634
3.676817
3.701635
3.753559
3.838868
3.969421
4.1674
表4.5随着时间变化影子长度的变化情况
影长/米
7.362464
6.006064
5.105126
4.488371
4.071741
3.812132
3.679733
3.690516
3.819821
4.085192
4.50881
5.134943
6.049971
由上表，可以作出天安门广场3米高的直杆在太阳下影子长度的变化曲线，如下所示：
图4.5直杆影子长度随时间的变化曲线
结论：
（1）直杆的影长从9时开始，先减小，减小至北京时间12:
09时，影长达到最短，为3.673731米，之后开始增大。
（2）10月22日北京正处于秋末，太阳直射点在赤道和南回归线之间，此时正午时分直杆的影长比其本身更长。
（3）北京时间12:
00的影长为3.679733米，比12:
09时稍长，这也进一步说明北京时间并不是指示北京的地方时。
4.5分析影子长度和各参数之间的变化规律
问题中要求分析影子随各参数的变化情况，首先，根据4.3.5中的模型，可以看出影长L和、、有关。
而赤纬是关于日期的函数，是关于地方时的函数，又是关于经度的函数。
所以综上可知，影响影子长度的参数有：
直杆所在地的经纬度、地方时、当前的日期。
以影子长度与纬度的变化关系为例，研究直杆同一时刻同一经线上不同纬度地点的影长变化，将，均视为定值，设：
，，
则影子端点的坐标为：
（4.6）
为了简明地表达二者之间的关系，取时刻为当地时间12点，即，取日期为问题所给10月22日时的太阳直射点赤纬，即，则：
所以影子端点的坐标为：
此时影子的长度为：
由此可以作出影子长度随纬度变化的变化趋势，如下所示：
图4.6东经120度上影子随纬度的变化规律图
（1）在东经120度上，直杆影子长度随着纬度的增加而逐渐增加，在纬度近似为N时，影长开始陡增，在北纬达到一个远大于正常情况的极大值，越过此极大值之后，影长又开始陡减，在纬度近似为N时减少速率逐渐平缓。
（2）如下图所示：
当太阳直射点纬度不是0度时即不直射赤道时，影子最长点会出现在小于北纬的某个纬度处，并且此时的影长接近无穷长，这就是图中在北纬出现一个极高峰值的原因。
图4.7日照光线示意图
其他因素以此为例，进行同样的分析，就可得到各因素与影长的变化关系，正午影长随日期的变化如下图所示：
图4.8天安门广场午时影长随日期变化规律图
（1）午时天安门广场的影长随日期的变化规律为：
一年中从第一天开始随着日期的变化，影子长度先减小，达到一个最小值，再增大。
（2）2015年天安门广场午时影长最短的一天是一年中的第173天。
4.5模型检验
将问题一模型运用到2015年的10月22日的其他城市。
在这里，取西藏（东经91.11，北纬29.97）和东京（东经138.6，北纬35.5）为检验的对象。
由上面的模型，计算出在西藏和东京，一根3m长的直杆在太阳下得到的影子长度随北京时间的变化曲线分别是：
图4.9西藏在北京时间9:
00的影子长度变化曲线
图4.10东京在北京时间9:
（1）西藏的地方时比东八区（东经120度）区时晚2小时左右，所以西藏的正午时间为北京时间14:
00左右，模型规律与实际的影长曲线规律是相符的。
（2）东京的地方时比东八区（东经120度）时间早1小时左右，所以东京的正午时间为北京时间11:
5.问题二的建模与求解
5.1问题分析
问题二中，附件给出的仅仅是直杆所处地平面上未知x轴方向和y轴方向的坐标值。
为了消除观测者在观测时任意选定坐标轴造成的影响，对题目所给的坐标数据进行平移处理，再将直角坐标转换成极坐标，给出影子端点轨迹的极坐标方程。
再根据附件中的数据，对含有参数的极坐标方程进行拟合，得出相关参数值。
对于每一个确定经纬度和日期的观测点，代入极坐标方程可以得到相应函数值。
以该函数值最接近0为目标，建立基于多层优化搜索算法的空间匹配优化模型。
图5.1问题二建模流程图
5.2模型的准备
由于附件中并没有给出直杆的原长，所以需要先对直杆的长度进行估算，下面直杆长度的计算需要用到正午太阳高度角的概念。
正午太阳高度角H指的是一天中最大的太阳高度角。
计算公式如下所示：
其中，为太阳直射点的纬度，为直杆所在地的纬度。
5.3模型的建立
通过第一问求得的影子端点坐标，得到影子端点的直角坐标系下的轨迹方程，再建立极坐标系，将处理过后的xy坐标转换成极坐标，给出极坐标下的轨迹方程。
5.3.1确定影子端点的轨迹方程
由模型一可知影子端点的横纵坐标表达式为：
移项代入化简得：
（5.1）
两边平方消去，可以得日影端点F在直杆底端所在平面上的轨迹方程为：
（5.2）
5.3.2将直角坐标转换为极坐标
为了消除不同地点观测者选取坐标轴方向的随机性对坐标产生的影响，将直角坐标转换成具有统一极点和极轴的极坐标系。
（1）对原先直角坐标进行预处理
对于附件1中21组xy坐标的数据，保持他们横坐标不变，纵坐标都减去附件1中第一组坐标的纵坐标值，即：
（5.3）
这样的处理相当于对投影端点轨迹曲线作了平移，将第一组数据平移到了x轴上，如下图所示：
图5.2对附件1中坐标进行预处理
（2）对影子端点建立极坐标系
以直杆所处位置底端为极点，以极点到第一组影子端点连线方向为极轴，建立极坐标系，如下图所示：
图5.3对影子端点建立的极坐标系
（3）将模型一中求得的轨迹方程转换成极坐标方程
应用上述规则，预处理之后的坐标为：
，其中代表原先的21组数据值。
为了将轨迹方程转换成极坐标方程，令，所以有：
，（5.4）
代入式（4.8），求得影子端点轨迹的极坐标方程：
为了便于观察，将极坐标中变量的系数用常数符号表示，得到了确定日期确定经纬度以及确定杆长的固定直杆的影子端点随时间变化轨迹的极坐标方程，如下：
（5.5）
其中：
（5.6）
5.3.3对已给数据进行极坐标二次曲线拟合
由以上推导，待求位置固定直杆在所在地平面上的投影的极坐标方程形式已知。
所以可以用极坐标系下的二次曲
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