企业养老金制度改革的数学模型国一Word文件下载.doc

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计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：

如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。

请给出你的理由。

二、模型假设

1、假设在2010～2035年山东省的经济不会出现较大的震荡，并维持相对稳定。

2、假设在问题2中各范围的工资部分相对稳定。

3、假设企业缴纳的基本养老保险基金与职工个人缴纳的个人账户养老基金按年度按时缴纳，不会出现中断。

4、假设在2011～2035年，山东省养老制度基本不变。

5、假设以2009年为参照水平，各年龄阶段职工工资与社会平均工资之比以及各年龄阶段平均工资与企业平均企业工资之比不变。

6、假设职工在退休时的个人账户存储额不再产生利息。

7、假设养老保险金不存在隐性债务危机。

三、符号说明

取分别表示对应年

表示按阻滞增长第年省平均工资

表示第个年龄段的平均工资与企业的平均工资之比，且

表示第个年龄段的平均工资与社会的平均工资之比，且

表示替代率，且

表示退休时的养老金

表示基础养老金

表示个人帐户养老金

表示退休前的工资

其他参数，文中另作说明

四、模型的建立与求解

4.1问题一

4.1.1问题的分析

从1978年开始，中国步入改革开放的新时代。

在相关政策的实施下，中国的经济处于蓬勃的发展。

问题一要求预测2011年到2035年山东省职工的年平均工资，而工资的增长由于经济增长相关。

所以，在预测2011年到2035年的职工年平均工资，就必须对经济发展和工资增长的形式作出合理的、简化的假设。

首先，应该对附件一的数据进行分析，画出经济增长的散点图。

根据工资增长的趋势，进行函数拟合。

然后，在对拟合出的函数进行检验，检验其是否符合经济变化的趋势。

如果不符合经济增长的规律，就必须对拟合的函数进行改进，直到拟合出的工资增长函数与经济变化和市场经济的客观规律相符合。

那么通过拟合出的函数预测2011年到2035年山东省职工年平均工资就符合市场经济变化趋势。

最后，还要用拟合的函数算出1978年到2010年的年平均工资，与已知数据对比，进行拟合度检验。

4.1.2模型一的分析与建立

由题目附件一给出的山东省1978年到2010年职工年平均工资数据作出如下表格（表一）：

表一山东省职工历年平均工资统计表

年份

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

平均

工资

566

632

745

755

769

789

985

1110

1313

1987

1988

1989

1900

1991

1992

1993

1994

1995

1428

1782

1920

2150

2292

2601

3149

4338

5145

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

5809

6241

6854

7656

8772

10007

11374

12567

14332

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

16614

19228

22844

26404

29688

32074

根据以上表格中的数据利用MATLAB数学软件画出年份与平均工资的散点图：

图1

由图1可以观察，职工年平均工资呈指数型增长，因此建立如下拟合函数

（1）

4.1.3模型的求解

将

（1）式进行线性化处理，等式两边同时取对数，得

令则该方程变为

利用MATLAB求解模型可得出，从而

则年份与平均工资的关系为：

（2）

由

（1）、

（2）式可以可以绘制出原图形与拟合图像：

图2

观察上图可以看出，模型拟合度比较好，在1978年到2010年间，用指数函数拟合的年平均工资与已知的年平均工资非常逼近。

但是，模型一存在着如下不足：

当年份时，职工年平均工资。

这明显与实际情况不相符，经济不可能达到无限增长。

此模型还存在不足，因此，模型还有待改善。

4.1.5模型一的改进

基于模型一的不足，考虑到人口老龄化而导致劳动力减弱，农村劳动力转移城镇等多种可能情况对经济增长的影响，借助“人口阻滞模型”的相关规律，在经济增长的规律中，经济不可能无限增长。

那么，可以认为在经济增长的过程中，也存在着类似“阻滞模型”变化的规律。

仍引用表一的数据，借助“人口阻滞模型”类似的可以得到如下“经济阻滞模型”

（3）

其中，表示职工年平均工资可能取到的最大值；

为1978年的职工年平均工资；

为经济自然增长率；

（分别表示年）。

元，年，利用MATLAB进行非线性拟合，编写程序（附录一）计算得出：

，

则函数表达式为：

（4）

用非线性拟合出图形为：

图3

由图3可以看出，此模型拟合度较高，随着时间的增加在某一点将会出现“拐点”；

之后，年平均工资增长将会趋于相对稳定。

而由公式（4）可知，随年份时，职工年平均工资将会最终趋于稳定。

这也和市场经济的客观规律相吻合，还符合中国经济发展的要求。

因为，在21世纪中叶中国的人均国民生产总值将会达到中等发到国家的水平，经济发展将会变缓。

由图3观察，“拐点”将出现在在二十一世纪中叶。

所以“经济阻滞增长”模型符合客观实际。

预测出年山东省平均工资（表二）：

表二年山东省平均工资

2011

2012

2013

2014

2015

年平均工资

35654.27

39904.18

44571.90

49677.16

55235.58

2016

2017

2018

2019

2020

61257.40

67746.28

74698.05

82099.66

89928.35

2021

2022

2023

2024

2025

98151.12

106724.68

115595.91

124702.80

133976.01

2026

2027

2028

2029

2030

143340.82

152719.49

162033.84

171207.79

180169.86

2031

2032

2033

2034

2035

188855.24

197207.52

205179.86

212735.62

219848.44

4.2问题二

4.2.1问题的分析

问题二需要解决的问题是养老金替代率，即是指劳动者退休时的养老金领取水平与退休前工资收入水平之间的比率。

它是衡量劳动者退休前后生活保障水平差异的基本指标之一。

从题目以及附件三中的相关信息可得：

故由上述关系式可建立数学模型计算出该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）为止的养老金替代率。

由于附表二中所给数据有限，未能找到2009年岁这一年龄阶段的职工工资范围，因此，首先需要根据2009年其他年龄段的平均工资拟合得出岁这一年龄阶段的职工平均工资。

再根据该企业各个年龄阶段的平均工资与山东省社会职工的平均工资之比以及该企业各个年龄阶段的平均工资与企业平均工资之比（缴费指数的参考值），综合可求解问题中六种情况的“替代率”。

4.2.2模型建立与求解

根据附表二给出的职工工资范围，本文将引入统计学中的“组中值”作为标准来取得此范围内的适合值。

表二各年龄段的平均工资

年龄段

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

各年龄段平均工资

1727

2077

2535.1

2752.2

3026

3268

3118.5

2980.2

为求得该企业2009年月平均工资，由此建立如下函数模型：

（5）

（其中：

表示第个年龄阶段第段工资范围内的人数，第个年龄阶段在第段工资范围内的所取工资的组中值，D为该企业09年的平均工资）

编制程序并计算得出：

D=2580.20元

由表二求出的数据，用最小二乘拟合，拟合出如下图形（图4）：

图4

观察图4，此散点图呈明显二次曲线变化趋势，运用MATLAB可求得岁年龄阶段的平均工资为：

2838.8元。

根据解出的该企业平均值可计算出该企业各个年龄阶段的平均工资与企业平均工资之比（缴费指数的参考值），并制作表格（表三）：

表三各个年龄阶段的平均工资与企业平均工资之比

（岁）

60-65

各年龄段平均工资（元）

2838.8

各年龄段平均工资与企业平均工资之比（）

0.6693

0.805

0.9825

1.0667

1.1728

1.2666

1.2086

1.155

1.1002

根据解出的该企业平均值可计算出该企业各个年龄阶段的平均工资与社会平均工资之比，并制作表格（表四）：

表四该企业各个年龄阶段的平均工资与社会平均工资之比

年龄段（岁）

54-59

2752

各年龄段平均工资与社会平均工资之比

0.6981

0.8395

1.0247

1.11

1.2231

1.321

1.2605

1.2046

1.1475

在求解“替代率”的时候，将30岁开始投保到55、60、65岁退休和40岁开始投保到55、60、65岁退休依次分为了六种情况，，并建立了养老金替代率函数模型：

养老金替代率：

职工刚退休时的养老金：

基础养老金：

个人账户养老金：

退休前一年的工资：

其中：

表五模型中个参数取值

1.1394

1.1420

1.1361

1.2160

1.2008

1.1806

170

139

101

注：

表示退休前一年的年份，表示平均缴费指数的参考值，表示各职工的投保年限，表示养老金计发月数.

用MATLAB编写程序（附录二）计算得出的值：

,,,,

根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，把此比值作为职工缴费指数的参考值，再求出平均缴费指数参考值。

分别计算出30、40岁投保，到55、60、65岁退休时的养老金替代率，很完整的解决了该问题。

4.3问题三

4.3.1问题分析

针对问题三的解决方案，将分两步进行。

第一步，该职工在2000年（即该职工30岁）参保，分别在该职工55岁，60岁，65岁退休领取养老保险金，直至75岁死亡，要求计算养老保险基金的缺口情况（设为不同阶段的缺口值），即分为三种情况（55岁、60岁、65岁退休），计算在三种情况下的养老保险金的缺口值。

=共计缴纳的养老保险基金额-退休后总共领取的养老金

第二步，当该职工在三种退休情况下，当达到其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时，该职工的年龄。

利用各年龄段平均工资与社会平均工资之比率来计算出各年里职工的平均工资，最终建立投保缴费金与退休领取金之间的等量关系：

共计缴纳的养老保险额=退休后总共领取的养老保险金

求解出达到收支平衡时该职工的年龄。

那么，对值进行讨论，当=0时，缴纳的养老保险额将等于职工退休后领取的养老保险金，则达到收支平衡；

当>

0时，缴纳的养老保险额将大于职工退休后领取的养老保险金，则此情况不会出现缺口；

当<

0时，缴纳的养老保险额将小于职工退休后领取的养老保险金，则该情况将会出现缺口（即入不敷出）。

4.3.2模型建立

因为，该职工的退休年龄分为三种情况（55岁、60岁、65岁），即该职工在2000年缴纳养老保险基金，分别在2025年、2030年、2035年退休。

那么，分为三种情况计算其缺口值.

（一）该职工2025年退休：

（1）：

该职工在2000年（第23年）到2004年（第27年），即从30～34岁

（2）：

该职工在2005年（第28年）到2009年（第32年），即从35～39岁

（3）：

该职工在2010年（第33年）到2014年（第37年），即从40～44岁

（4）：

该职工在2015年（第38年）到2019年（第42年），即从45～49岁

（5）：

该职工在2020年（第43年）到2024年（第47年），即从50～54岁

因此，

个人账户储存额：

本人指数化月平均缴费工资：

缺口值：

当收支平衡时，该人的年龄：

（二）该职工2030年退休：

（6）：

该职工在2025年（第48年）到2029年（第52年），即从55～59岁

（三）该职工2035年退休：

（7）：

该职工在2030年（第53年）到2034年（第57年），即从60～64岁

4.3.3模型的求解

利用MATLAB编写程序（见附录三）可解得：

根据上述求解可以得到：

（1）、当该员工从2000年（30岁）开始缴纳养老保险基金，当2025年（55岁）退休，那么他75岁死亡时，缺口值为20845元，其缴存的养老保险基金与领取的养老金收支平衡时，该员工年龄为74岁。

（2）、当2030年（60岁）退休，那么他75岁死亡时，缺口值为-90071元，其缴存的养老保险基金与领取的养老金收支平衡时，该员工年龄为78岁。

（3）、当2035年（65岁）退休，那么他75岁死亡时，缺口值为-377169元，其缴存的养老保险基金与领取的养老金收支平衡时，该员工年龄为84岁。

4.4问题四

4.4.1问题分析

问题四是对前三个问题的深化，对问题四的求解主要是对问题二和问题三的综合分析，既要求目标替代率达到58.5%，又要求其缴纳的养老保险基金与其领取的养老保险金之间达到收支平衡。

因此，既要对影响目标替代率的因素进行分析，又要对影响缴纳的养老保险基金与领取的养老保险金之间达到收支平衡的因素分析，综合两者分析，得出最佳的措施。

首先，应该对影响目标替代率的因素定性分析，找出提高目标替代率的措施，然后由问题二的求解结果判断提高目标替代率的措施是否合理，如果与问题二的求解结果相符合，则证明提高目标替代率的措施可行，而且值得推广。

然后，对影响缴纳的养老保险基金与领取的养老保险金之间达到收支平衡的因素分析，得出维持收支平衡的措施，然后结合问题三的求解判断措施的可行性与合理性。

最后，综合上述两者提出的措施，在既要维持收支平衡的条件下，又要达到目标替代率的最佳措施。

4.4.2达到目标替代率的措施

根据附件三给出养老金计算方法，我们对养老保险金的替代率进行如下细化：