最小二乘法采用C语言Word下载.doc

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根据一组给定的实验数据，求出自变量x与因变量y的函数关系，只要求在给定点上的误差的平方和最小.当时，即

（4.4.1）

这里是线性无关的函数族，假定在上给出一组数据，以及对应的一组权，这里为权系数，要求使最小，其中　（4.4.2）

（4.4.2）中实际上是关于的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得

　　　（4.4.3）

根据内积定义引入相应带权内积记号

（4.4.4）

则（4.4.3）可改写为

这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为

（4.4.5）

（4.4.5）称为法方程.当线性无关，且在点集上至多只有n个不同零点，则称在X上满足Haar条件，此时（4.4.5）的解存在唯一。

记（4.4.5）的解为

从而得到最小二乘拟合曲线

（4.4.6）

可以证明对，有

故（4.4.6）得到的即为所求的最小二乘解.它的平方误差为

（4.4.7）

均方误差为

　　在最小二乘逼近中，若取，则，表示为

　　（4.4.8）

此时关于系数的法方程（4.4.5）是病态方程，通常当n≥3时都不直接取作为基。

程序流程图：

开始

↓

输入已知点个数n

输入已知点的X坐标

↓

输入已知点的Y坐标

↓

输出结果

↓

程序：

#include<

math.h>

stdio.h>

stdlib.h>

#include<

malloc.h>

floataverage（intn,float*x）

{inti;

floatav;

av=0;

for（i=0;

i<

n;

i++）

av+=*（x+i）;

av=av/n;

return（av）;

}

//平方和

floatspfh（intn,float*x）

floata,b;

a=0;

a+=（*（x+i））*（*（x+i））;

return（a）;

//和平方

floatshpf（intn,float*x）

a=a+*（x+i）;

b=a*a/n;

return（b）;

//两数先相乘，再相加

floatdcj（intn,float*x,float*y）

floata;

a+=（*（x+i））*（*（y+i））;

//两数先相加，再相乘

floatdjc（intn,float*x,float*y）

floata=0,b=0;

{a=a+*（x+i）;

b=b+*（y+i）;

a=a*b/n;

//系数a

floatxsa（intn,float*x,float*y）

{floata,b,c,d,e;

a=spfh（n,x）;

b=shpf（n,x）;

c=dcj（n,x,y）;

d=djc（n,x,y）;

e=（c-d）/（a-b）;

//printf（"

%f%f%f%f"

a,b,c,d）;

return（e）;

floathe（intn,float*y）

a=a+*（y+i）;

floatxsb（intn,float*x,float*y,floata）

{floatb,c,d;

b=he（n,y）;

c=he（n,x）;

d=（b-a*c）/n;

return（d）;

voidmain（）

{intn,i;

float*x,*y,a,b;

printf（"

请输入将要输入的有效数值组数n的值:

"

）;

scanf（"

%d"

&

n）;

x=（float*）calloc（n,sizeof（float））;

if（x==NULL）

{printf（"

内存分配失败"

exit

（1）;

y=（float*）calloc（n,sizeof（float））;

if（y==NULL）

请输入x的值\n"

i++）scanf（"

%f"

x+i）;

请输入y的值,请注意与x的值一一对应:

\n"

y+i）;

{printf（"

x[%d]=%3.2f"

i,*（x+i））;

y[%d]=%3.2f\n"

i,*（y+i））;

a=xsa（n,x,y）;

b=xsb（n,x,y,a）;

经最小二乘法拟合得到的一元线性方程为:

f（x）=%3.2fx+%3.2f\n"

a,b）;