谈解析几何解题中的设而不求技术文档格式.doc

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（1）-

（2）：

（3）

由条件：

AB中点为（4，2），∴

∴

故所求直线方程为：

.

【评述】本解说明:

当直线与曲线相交,若已知弦的中点而求弦所在直线方程,可以对其交点实施“设而不求”.

【题2】已知直线（0<

b<

a且b∈Z）交于M、N两点，B是椭圆的上顶点，△BMN的重心恰为椭圆的右焦点，求椭圆C的方程.

【解析】设直线

且

但点M、N在直线

椭圆上顶点为B（0，b），且椭圆右焦点F（c，0）为△BMN的重心，

当直线与曲线相交,若已知直线方程（或其斜率）,而求曲线方程,可以对其交点实施“设而不求”.

【题3】长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.

【解析】设A（x1,y1）,B（x2,y2）为抛物线y=x2上两点，那么：

设AB中点为M（x,y）,那么：

∴|AB|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2=（1+4x2）（x1－x2）2=（1+4x2）[（x1+x2）2－4x1x2]

=（1+4x2）[4x2－4（2x2－y）]=4（1+4x2）（y－x2）

已知|AB|=2.∴（1+4x2）（y－x2）=1,所求点M的轨迹方程为：

y=x2+.

当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.

【小结】按理说,解数学题避免不了‘求’,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要‘求’出最后的结果的.这里说的‘不求’,专指可以简化的解题中间过程,用‘设’去代替‘求’.

以上各例说明:

在解析几何解题中,凡是与弦的中点或弦所在直线的斜率有关的问题,都可以实施“设而不求”.但是,“设而不求”的范围并不仅限于此,它还大量应用于求弦的长度等中间过程之中.因而,它在解高考解析几何大题中大有用武之地,请看：

考场精彩

【题4】

（高考题）P.Q.M.N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知且求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.

【分析】

（1）∵PQ⊥MN，S四边形PMQN=，故应先求椭圆的弦PQ与MN之长；

但是,求弦长不必先求交点,可以对交点实施“设而不求”.

（2）“设而不求”必须先设参数,而参数的个数应越少越好.选用直线的参数方程可以使参数的个数减半.又由于PQ⊥MN，弦PQ与MN之长的计算过程类似,又可以用“同理”的技术处之.

【解析】椭圆的上交点为F（1，0）.

设直线PQ的参数方程为：

α∈，t为参数.代入椭圆方程：

设此方程之二根为t1，t2,则|PQ|=|t1-t2|=

|MN|=于是

当α=0时，Smax=2；

当α=时，Smin=.

【评析】由于实施了“分析”中的两点措施,解这道解析几何大题所用的工夫仅相当于解一道小题.这说明:

只要方法对路,“大题”也是可以“小做”的.

【题5】

（高考题）设A、B是椭圆上两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点。

（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程;

（2）试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一圆上？

并说明理由.

（1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故

（1）可以实施“设而不求”；

（2）判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.

【解析】

（1）∵点在椭圆内，∴3·

12+32<

λ，即λ>

12，∴λ∈（12，+∝）.设AB两端为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：

3（x1-x2）（x1+x2）+（y1-y2）（y1+y2）=0（3）

∵是线段AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=6.代入（3）：

6（x1-x2）+6（y1-y2）=0，于是kAB==-1，故直线AB的方程为：

y-3=-（x-1），即x+y-4=0.

（2）解法1：

CD为AB的垂直平分线，且kAB=-1，∴kCD=1，直线CD：

y-3=1·

（x-1），即x-y+2=0.

直线AB的参数方程是：

代入椭圆方程得：

，

即.，（由

（1）知λ>

12），设此方程之二根为tA，tB，则

（4）

直线CD的参数方程方程是：

，即

.设此方程之二根为tC，tD，则tc·

td=（5）由（4），（5）知

|tA·

tB|=|tc·

td|，也就是│AN│·

│BN│=│CN│·

│DN│，这就是说，存在λ>

12，使得A、B、C、D四点总在同一个圆上.

【题6】

（2016年第一次全国联考浙江卷题19.解法为湖南曾维勇老师提供）

如图所示，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点，求证：

的周长是定值．

【分析】本题的解法要点是借助椭圆的关系式去分别表示

和.

（1）由已知得，椭圆的左、右焦点分别为，，则．

　∵点在椭圆上，∴，

则，，故椭圆的方程是．

（2）如解图,连OP,OM.则OM⊥PQ.设，，则有

．,

又

故.同理.故所求的周长为定值6．

评注：

本题在计算中，充分利用椭圆方程，其核心思想，还是“设而不求”。

【题7】 已知椭圆G：

过点（m,0）作圆的切线交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（II）将表示为m的函数，并求的最大值.

【分析】求与圆锥曲线有关的最值,常用办法是向三角函数寻根.

（I）椭圆G中，故其焦点为：

，离心率.

（II）根据圆与椭圆的对称性，不妨设m<

0.有两种情况

如解图1,m=-1,即直线AB切圆于M（-1，0）.在椭圆方程中，令x=-1,有，此时。

如解图2,m<

-1,再根据对称性不妨设直线的倾斜角α为锐角。

设直线切圆于N，连ON,则

直角三角形MON中，，

过点M（m,0）的直线参数方程为：

，代入椭圆方程：

化简得：

。

设此方程之2根为，有：

故.

已求，代入化简得：

故，综上，当且仅当时，之最大值为2，此时点M正是椭圆焦点。

由于是求最大值，故本题在实施“设而不求”的基础上，还运用了平均值不等式。

【题8】

（李景冉灿老师提供）如图,已知椭圆C：

的左右焦点分别为为椭圆上异于的点,若椭圆C的焦距为,且椭圆过点.

（1）求椭圆C的方程;

（2）若△OPQD面积为,A1R∥OP,求证OQ∥A2R.

（1）椭圆半焦距,

设椭圆方程为:

点代入:

所求椭圆方程为：

（2）由

（1）知有设

有:

已经有A1R∥OP,为证明OQ∥A2R.,只需证明.这有两种情况.

（1）如PQ与x轴垂直,如解图1设

已知

代入

（1）即得.

（2）如PQ与x轴不垂直,如解图2不妨设P在一象限,Q在二象限.

作PP1⊥x轴于P1,QQ1⊥x轴于Q1.

设

化简得:

不妨设.

于是.

所以在题设条件下,由A1R∥OP,必能推出OQ∥A2R..

评注:

解本题使用的是命题转换思想.

【小结】从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段.“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度的减少.因此需要做到:

（1）凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的,都尽可能实施“设而不求”;

（2）“设而不求”不可避免的要设参,消参.而设参的原则是宜少不宜多.（3）“设而不求”的思想还可以应用到三角、立几、代数等数学的其他领域中去,限于篇幅,这里不再多讲.有心的读者,不妨在解题中留心运用.

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