华数思维导引训练综合讲解.docx

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华数思维导引训练综合讲解

华数思维训练导引——计算问题（六）估算与比较 通分与裂项

《思维训练导引》五年级下学期第11讲

计算问题第06讲估算与比较通分与裂项

1.除式12345678910111213÷31211101987654321计算结果的小数点后前三位数字是多少？

解法一：

A大于1234÷3122=0.3952……，A小于1235÷3121=0.3957……，0.3952小于A小于0.3957

答：

计算结果的小数点后前三位数字是395。

解法二：

1234÷3121≈0.3953≈0.395

答：

计算结果的小数点后前三位数字是395。

2．计算下式的值，其中小数部分四舍五入，答案仅保留整数：

33.333^2-3.1415926÷0.618.

解：

33.333^2-3.1415926÷0.618≈（100/3）^2-5=10000/9-5≈1111-5=1106

答：

保留整数约等于1106。

3.在1,1/2,1/3,1/4,……。

1/99，1/100中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数？

解法一：

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10<1+（1/2+1/3+1/6）+（1/4+1/8）+（1/5+1/10）+2/7=2+3/8+3/10+2/7=2+269/280<3

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11

>1+（1/2+1/3+1/6）+（1/4+1/8）+（1/5+1/10）+1/8+（1/9+1/11）

=1+1+（3/8+1/8）+3/10+20/99

=2+4/8+3/10+20/99

>2+1/2+3/10+20/100

=3

答：

最少要选出11个数。

解法二：

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=1+（1/2+1/3+1/6）+1/4+1/5=2+1/4+1/5=2.45<3

1/7=0.142……,1/8=0.125，1/9=0.1（1循环），1/10=0.1，所以

1/7+1/8+1/9+1/10=0.478……，

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10=2.928<3

1/11=0.09（09循环），1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11=3.01……>3

答：

最少要选出11个数。

4．数1/（1/10+1/11+1/12+……+1/19）的整数部分是几？

解：

1/10+1/11+1/12+……+1/19<10*1/10=1，

1/10+1/11+1/12+……+1/19>10*1/20=1/2

所以1/1<1/（1/10+1/11+1/12+……+1/19）小于1/（1/2）

1小于1/（1/10+1/11+1/12+……+1/19）小于2

答：

整数部分是1。

5．8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少？

解：

8.03×1.22小于8.02×1.23小于8.01×1.24，

8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22小于8.01×1.24×3小于8×1.25×3=30

8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22大于8×（1.24+1.23+1.22）=83×3.69=29.52

答：

整数部分是29。

6．

（1）如果A=111111110/222222221，B=444444443/888888887，那么A与B中较大的数是哪一个？

（2）请把656/657，52/53，2679/2680，8/9这4个数从大到小排列。

解：

（1）A小于1/2，B小于1/2，1/2-A=1/（2×222222221），1/2-B=1/（2×888888887）

1/2-B小于1/2-A，B大于A

（2）656/657=1-1/657，52/53=1-1/53，2679/2680=1-1/2680,8/9=1-1/9

因为1/9大于1/53大于1/657大于1/2680，所以2679/2680大于656/657大于52/53大于8/9

答：

（1）A与B中较大的是B；

（2）2679/2680大于>656/657大于52/53大于8/9.

7．24/31小于80/□<7/9

在上式中的方框内填一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少？

解：

80=24+7×8，7/9=7×8/9×8=56/72，所以24/31小于80/□小于56/72

24/31小于（24+56）/（31+72）小于56/72，所以24/31小于80/103小于56/72

答：

要填的整数是103。

8．有8个数，0.51（2位循环），2/3，5/9，0.51（1位循环），24/47，13/25是其中的6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51（1位循环），那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？

解：

5/9=0.5（1位循环），13/25=13×4/25×4=0.52，24/47化成小数时小数点后前三位是0.510，这6个数从大到小排列是：

2/3，5/9，13/25，0.51（2位循环），24/47

0.51（2位循环）是8个数从小到大的第4个，说明另外2个数都比它小，所以8个数中第4大的是0.51（2位循环）。

答：

第4个数是0.51（2位循环）。

9.在下面9个分数算式中，

（1）3/5+5/20，

（2）3/6+6/20，（3）3/7+7/20，（4）3/8+8/20，（5）3/9+9/20），（6）3/10+10/20，（7）3/11+11/20，（8）3/12+12/20，（9）3/13+13/20，第几个算式的答数最小，这个答数是多少？

解：

（3/A+A/20）-（3/（A+1）+（A+1）/20）=3/（A×（A+1））-1/20

当A≤7时，差>0，所以（4）最小，3/8+8/20=31/40

答：

（4）式最小，（4）=31/40。

10.下面的4个算式中，哪个式子的得数最大？

（1）（1/17+1/19）×20，

（2）（1/24+1/29）×30，（3）（1/31+1/37）×40，（4）（1/41+1/47）×50。

解：

（1）式-2=3/17+1/19，

（2）式-2=6/24+1/29，（3）式-2=9/31+3/37，（4）式-2=9/41+3/47

因为9/31+3/37>9/41+3/47，9/31+3/37>9/36+3/89=6/24+1/29，9/31+3/37>9/51+3/57=3/17+1/19，所以（3）式最大。

答：

（3）式最大。

11.从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。

解：

分母小于10的真分数分母可以是1，2，3，4，5，6，7，8，9。

分母是1，最接近0.618的分数是1/1，1-0.618=0.382；

分母是2，最接近0.618的分数是1/2，0.618-1/2=0.118；

分母是3，最接近0.618的分数是2/3，2/3-0.618=0.049；

分母是4，最接近0.618的分数是3/4，3/4-0.618=0.132；

分母是5，最接近0.618的分数是3/5，0.618-3/5=0.018；

分母是6，最接近0.618的分数是4/6，4/6-0.618=0.049；

分母是7，最接近0.618的分数是4/7，0.618-4/7=0.047；

分母是8，最接近0.618的分数是5/8，5/8-0.618=0.007；

分母是9，最接近0.618的分数是6/9，6/9-0.618=0.049。

0.007最小，所以5/8最接近0.618。

答：

最接近0.618的是5/8。

12.计算：

（1+1/2）×（1-1/2）×（1+1/3）×（1-1/3）×……×（1+1/99）×（1-1/99）。

解：

（1+1/2）×（1-1/3）=3/2×2/3=1，（1+1/3）×（1-1/4）=4/3×3/4=1，……，（1+1/98）×（1-1/99）=99/98×98/99=1

所以，（1+1/2）×（1-1/2）×（1+1/3）×（1-1/3）×……×（1+1/99）×（1-1/99）

=（1-1/2）×（1+1/99）

=1/2×100/99=50/99

答：

计算结果是50/99。

13.计算：

1+3（1/6）+5（1/12）+7（1/20）+9（1/30）+11（1/42）+13（1/56）+15（1/72）+17（1/90）。

解：

1+3（1/6）+5（1/12）+7（1/20）+9（1/30）+11（1/42）+13（1/56）+15（1/72）+17（1/90）

=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90）

=81+[（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+（1/4-1/5）+（1/5-1/6）+（1/6-1/7）+（1/7-1/8）+（1/8-1/9）+（1/9-1/10）]

=81+1/2-1/10

=81（2/5）

此主题相关图片如下：

14．计算：

（1/8+1/24+1/48+1/80+1/120+1/168+1/224）×64。

解：

（1/8+1/24+1/48+1/80+1/120+1/168+1/224）×64

=（1/4-1/8+）+（1/8-1/12）+（1/12-1/16）+（1/16-1/20）+（1/20-1/24）+（1/24-1/28）+（1/28-1/32）×64

=（1/4-1/32）×64

=7/32×64

=14

答：

计算结果是14。

15.计算：

1-2/（1×（1+2））-3/（（1+2）×（1+2+3））-4/（（1+2+3）×（1+2+3+4））-……-10/（（1+2+……+9）×（1+2+……+9+10））

解：

1-2/（1×（1+2））-3/（（1+2）×（1+2+3））-4/（（1+2+3）×（1+2+3+4））-……-10/（（1+2+……+9）×（1+2+……+9+10））

=1-2/1×3-3/3×6-4/6×10-……-10/45×55

=1-（1-1/3）-（1/3-1/6）-（1/6-1/10）-……-（1/45-1/55）

=1-（1-1/3+1/3-1/6+1/6-1/10+……+1/45-1/55）

=1-（1-1/55）

=1/55

答：

计算结果是1/55。

此主题相关图片如下：

华数思维训练导引——行程问题（四）

5-12-01.有一座时钟现在显示10时整。

那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？

解：

10时整，分针与时针距离是10格，需要追击的距离是（60-10）格，分针走60格，时针走5格，即分针走1格，时针走5/60=1/12格。

第一次重合经过  （60-10）/（1-1/12）=54（6/11）（分）

第二次重合再经过  60/（1-1/12）=65（5/11）（分）

答：

经过54（6/11）分钟，分针与时针第一次重合；再经过65（5/11）分钟，分针与时针第二次重合。

5-12-02.  8时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等。

问这时是8时多少分？

解：

8时到9时之间，时针和分针在“8”的两边，并且距离相等，说明时针和分针走过的距离之和时40格，经过的时间是40/（1+1/12）=36（12/13）（分）

答：

这时是8时36（12/13）分。

03.某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°。

那么此人外出多少分钟？

解：

分针从时针后110°到时针前110°，追上了220°，220°/360°*60=110/3格，时间是110/3/（1-1/12）=40（分）

答：

此人外出40分钟。

04.甲、乙两车分别从A,B两地同时相向而行，6小时后相遇在C点。

如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米。

甲车原来每小时行多少千米？

解：

设一方加速后相遇时间是X小时，甲、乙如果都不加速距离将是（12+16）千米，这段距离是速度差5千米形成的。

X=28/5=28/5（小时），甲以原来的速度，用（6-28/5）小时行12千米，速度是每小时12/（2/5）=30（千米）

答：

甲车原来每小时行30千米。

05.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。

两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。

那么甲回到出发点共用多少小时？

解法一：

甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的1*1.5+1/2=2倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。

两人相遇时走了1小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了1小时，所以甲下山要用1/2小时。

甲一共走了1+1/2=1.5（小时）

答：

甲回到出发点共用1.5小时。

解法二：

相遇时甲已经下山600米，走这600米的时间，如果甲用上山速度只能走600/1.5=400米，所以上山速度一小时甲比乙多走600+400=1000米。

乙到山顶时甲下到半山腰，甲走1/2下山路的时间，如果用来上山，只能走1/2/1.5=1/3的上山路，所以乙走完上山路的时间里，甲可以走上山路的1+1/3=4/3倍，说明上山速度甲是乙的4/3倍。

甲上山速度是1000/（4/3-1）=4000（米），下山速度是4000*1.5=6000（米），上山路程是4000-400=3600（米），出发1小时后，甲还有下山路3600-600=3000（米），要走6000/3000=0.5（小时）

一共要走1+0.5=1.5（小时）

答：

甲回到出发点共用1.5小时。

06.男、女两名运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡顶为A，坡底为B）。

两人同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑。

已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米。

那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？

解：

男下到B点时，女离A点3/5

第一次迎面相遇时，两人离A点1-2/5*1/2=4/5

女下到B点时，男离A点4/5-1/5=3/5

男回到A点时，女离A点3/5

第二次迎面相遇时，两人离A点3/5*5/7=3/7

3/7*110=47（1/7）（米）

答：

两人第二次迎面相遇的地点离A点47（1/7）米。

07.某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。

假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。

解：

发车距离是1，12分钟追上行人，车和人速度差是1/12

车4分钟与行人迎面相遇，车和人速度和是1/4

车的速度是（1/12+1/4）/2=1/6

发车间隔时间=1/（1/6）=6（分）

答：

这个发车间隔是6分钟。

另一解法：

相同间隔，速度和行4分钟，速度差行12分钟，12/4=3倍，即从后面超过所行的路是迎面相遇所行路成的3倍，而从后面超过所行的路又是一个整间隔加上行人12分钟所走的路，因此，电车12-4=8分钟的行程等于行人12+4=16分钟所走的路，即电车速度是行人速度的16/8=2倍；

所以，电车间隔=4/[2/（2+1）]=6分钟。

补充说明一下：

“小汽车倒车通过狭路时间（9*4/5）/（50/5）+9/50=9/10（小时）”是指小车倒出狭路的同时，大车前进通过狭路，然后再小车通过狭路。

（9*4/5）/（50/5）为小车倒车时间，9/50为小车通过时间。

大车倒同理。

08.A，B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A，B两地同时出发，甲速度为每小时40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑。

在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙。

若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速快2千米的车速，两人同时分别从A，B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少？

解：

1小时45分钟=1.75小时

乙原来的速度为：

105/1.75-40=20千米/小时

甲、乙两人相遇时甲走的路程为：

40*1.75=70千米

3分钟=0.05小时

甲、丙相遇时甲离A地距离为：

40*（1.75+0.05）=72千米

甲、丙相遇时甲离乙的距离为：

（40+20）*0.05=3千米（用以下方法的话这一条没有什么用途）

甲、丙相遇时乙离A地为：

105-20*（1.75+0.05）=69千米

C点离A点的距离为：

20*[105/（20+20+2）]=50千米

乙从甲、丙相遇时到C地的时间为：

（69-50）/20=0.95小时

0.95小时也就是丙追上乙的时间

而丙追乙走的路程为=甲、丙相遇时甲离A地距离-C地离A地的距离

=72-50=22千米

丙的车速是：

22/0.95=23.16千米/小时

09.从甲市到乙市有一条公路，它分成三段。

在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米。

已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段从甲到乙方向的1/3处相遇。

那么，甲、乙两市相距多少千米？

解：

从乙市出发车走完第三段时，从甲市出发车走完第一段的1/2*40/50=2/5路程，第一段还剩3/5。

两车在第二段距离甲1/3地方相遇，说明甲走完第一段剩下的3/5路程，和乙走第二段1/3路程时间相同。

这段时间是80/（2/3+1+1）=30（分钟）

汽车走第一段时间是30*（2/3+1）=50（分钟）

汽车走第二段时间是30*3=90（分钟）

汽车走第三段时间是30*（2/3）=20（分钟）

甲、乙两市相距40*50/60+90*90/60+50*20/60=185（千米）

答：

甲、乙两市相距185千米。

10.甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛。

两人从起点同时出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米。

当甲每次追上乙后，甲的速度减少2米，乙的速度减少0.5米。

这样下去，直到甲发现乙第一次追上自己开始，两人都把速度每秒增加0.5米，直到终点。

那么领先者到达终点是，另一个人距终点多少米？

解：

甲第一次追上乙时跑的时间是400/（8-6）=200（秒），甲跑8*200=1600（米），乙跑6*200=1200（米）

甲第二次追上乙时又跑的时间是400/（6-5.5）=800（秒），甲又跑6*800=4800（米），乙又跑5.5*800=4400（米）

乙追上甲跑的时间是400/（5-4）=400（秒），甲又跑4*400=1600（米），乙又跑5*400=2000（米）

甲还剩10000-（1600+4800+1600）=2000（米），乙还剩10000-（1200+4400+2000）=2400（米）

甲到终点还要跑2000/4.5=444（4/9）（秒），乙还要跑2400/5.5=436（4/11）（秒）

乙比甲先到444（4/9）-436（4/11）=8（8/99）（秒）

乙到终点时甲距终点还有4.5*8（8/99）=36（4/11）（米）

答：

领先者到达终点是，另一个人距终点36（4/11）

11．龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米。

乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩它先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑了2分钟然后玩15分钟，再跑了3分钟然后玩15分钟，……，那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？

解：

兔子应跑的时间是5.2/20*60=15.6（分），1+2+3+4+5=15，兔子中间休息了5次，跑到终点实际用了15.6+15*5=90.6（分）

乌龟跑到终点用的时间是5.2/3*60=104（分）

兔子先到104-90.6=13.4（分）

答：

先到达终点的比后到达终点的快13.4分钟。

12．A，B两地相距125千米，甲、乙二人骑自行车分别从A，B两地同时出发，相向而行。

丙骑摩托车以每小时63千米的速度，与甲同时从A出发，在甲、乙二人间来回穿梭（与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回）。

若甲车速度为每小时9千米，且当丙第二次回到甲处时（甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处），甲、乙二人相距45千米。

问：

当甲、乙二人相距20千米时，甲与丙相距多少千米？

此主题相关图片如下：

解：

设甲丙第一次相遇时甲走了X，那么丙走了63/9=7X，7X分为2段：

甲走过的X，丙又向前走再回到X处共（7-1）=6X，所以丙比甲向前走了6X/2=3X的距离，在4X处与乙第一次相遇。

设乙速度是甲速度的V倍，那么甲丙第一次相遇时乙走了VX，VX分为2段：

丙走4X时与乙第一次相遇，乙走4/7VX；丙返回与甲第一次相遇，乙又走了3/7VX。

乙丙第一次相遇共走全程S（就是AB的距离），4X+4/7*VX=S，得X=7/（28+4V）S

假设甲丙第一次相遇时，甲乙的距离是M，3X-3/7VX=M，

得3*7/（28+4V）S-3/7V*7/（28+4V）S=M

所以M=（21-3V）/（28+4V）S，说明甲丙第一次相遇时，甲乙的距离是他们原来距离S的（21-3V）/（28+4V）倍

甲丙从距离A点X处继续向B走，乙从距离B点VX处继续向A走，也就是甲乙相距M，过程和上面类似，甲丙第二次相遇时，甲乙的距离N=（21-3V）/（28+4V）M=（21-3V）/（28+4V）*（21-3V）/（28+4V）S

题中给出N=45，S=125，所以45=（21-3V）/（28+4V）*（21-3V）/（28+4V）*125

得9/25=（21-3V）/（28+4V）*（21-3V）/（28+4V）

（21-3V）/（28+4V）=3/5，解得V=7/9

所以乙的速度是V*9=7

甲丙第三次相遇时甲乙距离是45*3/5=27，从这时到甲乙距离是20千米，还要走（27-20）/（9+7）=7/16小时

从甲丙第三次相遇到乙丙再次相遇需要时间=27/（63+7）=27/70小时<7/16小时，这时甲乙的距离=27-（9+7）*（27/70）=729/35千米>20千米，丙还得往回走一点，需要时间是（729/35-20）/（9+7）小时

所以，当甲乙距离是20千米时，甲丙的距离是甲丙第三次相遇时甲乙的距离减去这段时间里甲丙又走的距离：

729/35-（729/35-20）/（9+7）*（9+63）=171/10=17.1（千米）

答：

甲与丙相距17.1千米。

补充：

七，行程比较及分段处理（五年级）

  四年级的内容五年级依然要做一定的巩固。

  新增的内容是不仅考虑一个行程中三者的关系。

还要以行程过程本身为对象，比较多个行程的关联，比如以不同的方式完成同一段行程。

还要能对一个行程根据需要分段，比如上下坡。

  新增方法，参数法。

因为不同行程的比较，那每一个行程的三个因素不需要出齐，凭相互关系就