课堂教学设计抛物线.docx

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课堂教学设计抛物线

【课题】2.3.1抛物线及其标准方程（第1课时）

【教学目标】

1．设计轨迹探究活动，经历“由定义获得轨迹（抛物线）”的过程，理解抛物线的定义；

2．会推导抛物线的标准方程，提高观察、猜想、分析、对比、概括、转化等方面的能力，领会数形结合与转化思想；

3．经历“获得四种标准方程”的过程，掌握抛物线的标准方程，提高类比能力，学习数形结合的思维方法．

【重点】理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程．

【难点】形成“动点、轨迹、位置、方程”对应联系的能力,掌握抛物线位置特征与标准方程形式特点的联系．

【教学过程】

一.导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线．今天我们将学习圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：

同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：

在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向两种情形．

引导学生进一步思考：

如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从一般意义上来研究抛物线．

二．抛物线

1．引入问题：

到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的动点轨迹？

2．分类思考、问题转化：

若常数

，则动点M的轨迹是一个椭圆；

若常数

，则动点M的轨迹是一个双曲线；

若常数

，则动点M的轨迹是什么？

3．探究活动：

到定点的距离与到定直线的距离相等的动点轨迹

（1）尝试并讨论：

作轨迹上的一个点

参考：

特殊的一点：

从F到l的垂线段的中点；

一般的一点：

方法一：

在直线l上任取一点P，连PF，作PF的中垂线m，过点P作l的垂线交m于M，则M是轨迹上的一点；

（2）作多个点，归纳得到轨迹的示意图

在学生基本得到轨迹之后，教师借助于《几何画板》演示“动点轨迹”．

（3）简单实验

如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

4．学习抛物线的定义

提问：

这是什么曲线呢？

阅读教材P62：

抛物线的定义

“平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线”．

思考讨论：

定义中有内隐的条件要求吗？

隐含条件：

定点不在定直线上

说明：

若定点在定直线上，则轨迹是一条直线（过这个定点且垂直于这条定直线的直线）

（过程设计：

若学生没有发现隐含条件，则可以直接研究定点在定直线上的情况）

三．求抛物线的方程

1．引入问题：

我们原来知道“二次函数的图象是抛物线”，现在又知道了“平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线”．从“曲线与方程的思想”去考虑，我们如何说明前后说法没有矛盾？

思路一：

说明二次函数的图象满足抛物线的定义（即从二次函数研究图象的几何性质）；

思路二：

说明抛物线（在适当的条件下）可以用二次函数表示（即求抛物线的方程）．

2．已知抛物线，求方程

已知：

抛物线的焦点为F，准线为l，

求：

抛物线的方程．

思考提示：

（1）作为已知条件，焦点F到

准线l的距离可以假设为p（已知）；

（2）观察与猜想:

点M会在直线l的左侧吗?

抛物线的顶点会在什么地方?

从已知条件看，我们最好怎样取坐标系？

解：

过F作l的垂线FK（K为垂足），设

（焦参数），取FK的中点O，

以O为原点，射线OF为x正半轴，取坐标系如图，

则

，

，设抛物线上任意一点

，则

（同学们能看着此式说它的几何意义吗？

）

这就是“顶点在原点、焦点在x正半轴上”的抛物线的标准方程．

思考：

解析式反映的是二次函数吗？

（x是y的二次函数）．

四．抛物线的标准方程

1．引导问题：

（曲线的）标准方程其中“标准”的含义是什么？

理解：

所谓“标准方程”，主要是方程的“最简”，从而使曲线的几何性质（形状大小、位置特征）能从方程中显露出来．

认识：

对于一条确定的曲线，在坐标系中它的位置的“标准”，决定了其方程的“标准”．

2．抛物线的四种标准方程

阅读理解：

课本第63页汇总表．

让学生参照焦点在x正半轴上的情况

（启发学生如何记忆:

数形结合起来）

位置描述：

抛物线的顶点在原点，焦点在××半轴上；

或者说：

抛物线的顶点在原点，开口向××．

数量特征：

焦参数p（焦点到准线的距离），顶点是焦点到准线的垂线段的中点．

3．标准方程的直接运用

例1（课本第63页）

（1）已知抛物线的标准方程是

，求它的焦点坐标和准线方程

（2）已知抛物线的焦点坐标是

，求它的标准方程．

教学要点：

五．反馈与巩固

练习：

课本第64-65页，练习题：

1、2、3

练习1由三名学生演板，教师予以订正．答案是：

（1）y2=12x；

（2）y2=-x；（3）y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．

这时，教师小结一下：

由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．

六.小结：

本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．

反思：

二次函数的图象真是抛物线吗？

求y=4x2

的焦点坐标和准线方程.（本课已经从图形直观和曲线方程两个方面作了讨论）

七.作业:

习题：

课本第69页，习题2.3：

1,2,3,4

选做题:

1．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；

（2）顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p（-6，-3）．

2．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．

选做题答案：

1．

（1）y2=24x，y2=-2x

（2）x2=-12y（图略）

2．分别令x=0，y=0得两个焦点F1（0，-3），F2（4，0），从而可得抛物线方程为x2=-12y或y2=16x

【课题】2.3.1抛物线的定义标准方程以及应用（第2课时）

【教学目标】

1．使学生掌握抛物线的定义、标准方程，并能初步利用它们解决有关问题．

2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力．

3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题．

【教学重点与难点】

抛物线标准方程的有关应用既是教学重点，又是难点．

【教学过程】

一.复习提问:

1．定义：

（请一名同学回答）

平面内与一定点F和一定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点不在直线上）．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

2．标准方程、图象及性质：

由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况,请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由．

3.观察图形，分辨这些图形有何相同点和不同点．

共同点有：

①原点在抛物线上．②对称轴为坐标轴．③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一．

不同点：

①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py．②开口方向与x轴（y轴）正半轴同向时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程右端取正号．

开口方向与x轴（y轴）负半轴同向时，焦点在x轴（y轴）的负半轴上，方程右端取负号．（启发学生如何记忆:

数形结合起来）

二.课堂练习

1．抛物线的顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线的方程．

让学生练习，回答（y2=-12x）．

2．已知两抛物线的顶点在原点，而焦点分别在点F1（2，0）和F2（0，2），求它们的交点．

让学生演板并共同校正．

解：

顶点在坐标原点，焦点分别是F1（2，0）、F2（0，2）的抛物线的方程是：

所以它们的交点为A（0，0），B（8，8）．

三.例析计论

作为应用，请同学们看下面的例题．

例1.参阅教材P64例题2并讲评。

解答从略

例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2．求y1·y2的值．（图2-49）

故y1·y2=-p2．

【反思】能否根据抛物线的定义求解？

解析：

如图2-50，根据抛物线的定义，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．

【引申】上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样？

怎样求交点坐标？

如何建立直线方程？

（请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程．）

与抛物线方程联立，消去x可得：

四。

当堂练习

P65练习第4题

让二名学生板演并相互校正。

（启发学生一题多解）

答案：

|FM|=4

五。

小结

请同学小结这节课的内容．

（抛物线的定义；p的几何意义；标准方程的4种形式．）

六。

作业：

P69。

5，6

选做题：

p69B组题第1题

【课题】2.3.2抛物线的简单几何性质（第1课时）

【教学目标】

1．引导学生运用对比（同椭圆、双曲线）和类比（抛物线之间）的思想得到抛物线的几何性质．

2．使学生初步掌握有关抛物线问题的解题方法，培养学生严谨、周密的思考问题的能力及抽象概括能力．

3．通过对抛物线几何性质的探索，强化学生的注意力及新旧知识的联系，树立学生求真的勇气和自信心

【教学重点与难点】

抛物线几何性质，掌握运用抛物线的几何性质去解决问题的方法．

【教学过程】

一.当堂训练1

教材P68练习题第1题

让学生板演并相互订正.

二、复习提问

问题1:

我们已经学习了椭圆及双曲线的几何性质，请同学们回忆一下，是从哪几个方面研究的？

答:

研究了范围、对称性、顶点、离心率、渐近线几个问题．

问题2:

在研究几何性质时，对曲线的方程有无限制？

答:

是在曲线的标准方程条件下研究的． 

三、类比椭圆、双曲线得出抛物线的几何性质．

请学生阅读教材P65并相互讨论,作出对比研究,分析:

【提出问题】和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？

学生和教师共同小结：

（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．

（2）抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．

（3）抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．

（4）抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：

这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．

【说明】抛物线的其它标准方程y2=-2px，x2=2py，x2=-2py同样有类似的结论，它们的顶点都在坐标原点，一次项的变量如为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的系数的符号决定抛物线的开口方向，正号决定开口方向和对称轴所在坐标轴的方向相同，负号决定开口方向和对称轴所在坐标轴方向相反．

【练习】请同学们完成P68练习题第2题.

评注:

在抛物线方程中，参数p对图象的影响:

p值越大，抛物线开口也越大．理由，对于同一个x值，它们对应的y值不同，p值大，|y|也大．

四.例析讨论

例1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2,-2

）,求它的标准方程.

解析:

待定系数法.

思考与探究:

顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M（2,-2

）,这样的抛物线有几条?

并求出它们的标准方程.

例2 如图所示是抛物线y2=2px的图象，且有一条过焦点垂直于对称轴的弦（如图2-50）．求它的长度.

让学生一题多解:

解法一:

分别过点A、B作准线l的垂线，垂足分别为D、C．（可由计算机演示出，或在投影片中画出）．由抛物线定义知|AF|=|AD|=p，|BF|=|BC|=p，所以|AB|＝|AF|+|BF|＝2p．

解法二:

因为A、B两点在抛物线上，

又|AB|=|y1-y2|＝2p．

小结两种不同的方法，方法一用抛物线定义得出，较简捷．方法二由解析法得出，这种解题思想较好．

例3、斜率为1的直线经过抛物线

的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长。

解析：

本题有三种解法：

一是求出A、B两点坐标，再利用两点间距离公式求出AB的长；二是利用韦达定理找到x1与x2的关系，再利用弦长公式|AB|=

求得，这是设而不求,整体代入的思想方法；三是把过焦点的弦分解转化为到准线的距离。

五.当堂训练2

1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．

2.证明：

与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．

六.小结

1．抛物线的几何性质；

2．抛物线的应用．

七、布置作业

P69习题A组5,6

选做题:

1．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标．

2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一顶点在原点，求这个三角形的边长．

3．求证：

以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．

【课题】2.3.2抛物线的简单几何性质（第2课时）

【教学目标】

1.使学生进一步理解抛物线的定义、掌握抛物线的标准方程和几何性质．

2.通过对抛物线定义、标准方程和几何性质的进一步研究，培养学生综合运用抛物线的各方面知识的能力．

3.抛物线的定义、标准方程以及几何性质是来源于实践的理论，同时服务于实践，通过本次课可进行辩证唯物主义思想教育．

【重点】会运用坐标法解决抛物线的有关证明与计算问题.

【重点】抛物线的标准方程的有关应用。

【教学过程】

一.复习：

1、抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

2、抛物线的标准方程和几何性质：

，

，

二.当堂训练1

1、点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：

x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。

解析：

坐标法直接求或者用定义求.（让学生深刻理解曲线方程的意义）

2、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。

解析:

让学生一题多解.

解法一：

设抛物线方程为y2=-2px（p＞0），则准线方

因为抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得p=4．

因此，所求抛物线方程为y2=-8x．

又点M（-3，m）在此抛物线上，故m2=-8（-3）．

解法二：

由题设列两个方程，可求得p和m．由题意

在抛物线上且|MF|=5，故

涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．

三.例析讨论

例1.教材p67例5

师生共同讨论完成,解答从略.

例2.顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线，被直线y=2x+1截得的

分析：

方程可能有两种形式，故用一般形式y2=2ax较好，求a的值正、负均可，否则在y2=2px中，易出现p＜0的误解．

解：

设抛物线方程为y2=2ax．

∵△=[2（2-a）]2-4×4×1=4a2-16a＞0，

∴a＞4或a＜0。

设直线与抛物线交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）．

∴|a-2|=4，∴a=6或a=-2．

故所求抛物线方程为y2=12x或y2=-4x．

四.当堂训练2

1.物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：

直线MQ平行于抛物线的对称轴．

2.教材P68练习题第3题

解析:

运用函数求解.

五.小结:

本课主要研究了抛物线的定义、标准方程以及几何性质的应用，着重分析了定义、直线与抛物线相交等问题，一些方法带有一般性，请同学们注意掌握好．

六.作业:

P69B组题1,2,3

选做题:

求证：

以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切（图2-37）．

则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切．

证明：

作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，M为AB的中点，作MM1⊥l于M1，则由抛物线的定义可知：

|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|．

又在直角梯形BB1A1A中

故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．