立体几何中的轨迹问题.docx

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立体几何中的轨迹问题

例析空间中点的轨迹问题的转化

求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。

一．轨迹为点

例1已知平面，直线，点P，平面之间的距离为8，则在内到P点的距离为10且到直线的距离为9的点的轨迹是（）

A．一个圆B.两条直线

C.两个点D.四个点

解析:

设Q为内一动点，点P在内射影为O，过O,的平面与的交线为，PQ=10，OQ=6点Q在以O为圆心6为半径圆上，过Q作QM于M，又点Q到直线的距离为9QM=则点Q在以平行距离为的两条平行线上两条平行线与圆有四个交点这样的点Q有四个，故答案选D。

点评:

本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。

二．轨迹为线段

例2．如图，正方体中，点P在侧面及其边界上运动，并且总保持，则动点P的轨迹是（）。

A.线段B.线段C.中点与中点连成的线段D.中点与中点连成的线段

解：

连结，xx所以，所以面，若P，则平面，于是，因此动点P的轨迹是线段。

评注：

本题是由线面垂直的性质从而求出点P的轨迹。

例3已知圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若，则点P的轨迹是________。

形成的轨迹的xx为__________。

解析:

在平面SABxx，过M作AM的垂线交AB于C，在底面上，过C作AB的垂线分别交底面圆于D,E两点，则AM面MDE,DE即为点P的轨迹，又AO=1,MO=,AM=,从而AC=,OC=,所以DE=.所以填上线段；.

三．轨迹为直线

例4（xx高考题）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，过点B作直线与AB垂直，则直线与平面交点的轨迹是（）

A．圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线

解析:

由题意可知直线的轨迹应是过点B且与AB垂直的平面，该平面与平面交点为一条直线，故答案选C.

四.轨迹为圆弧

例5如图，P是棱长为1的正方体表面上的动点，且AP=，则动点P的轨迹的xx为__________。

解析:

由已知AC=AB1=AD1=,在面BC1,面A1,面DC1内分别有BP=A1P=DP=1，所以动点P的轨迹是在面BC1,面A1,面DC1内分别以B,D,A1为圆心，1为半径的三段圆弧，且xx相等，故轨迹xx和为。

五.轨迹为平面

例6.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面个数为（）

Ａ.３　　Ｂ.４　　　Ｃ.６　　　Ｄ.７

解析：

以不共面的四个定点为顶点构造四面体，则满足条件的平面可分两类。

第一类是中截面所在的平面有４个；第二类是和一组对棱平行且经过其它各棱中点的平面有３个，故满足条件的平面个数为４＋３＝７.故答案选Ｄ.

评注：

本题关键在于构造空间四边形，利用四面体的性质去求解。

六.轨迹为圆

例7，如图，三角形PAB所在的平面和四边形ABCD所在的平面垂直，且，AD=4，BC=8，AB=6，，则点P在平面内的轨迹是（）

A．圆的一部分B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

解析:

由条件易得AD||BC，且，AD=4，BC=8，可得=即，在平面PAB内以AB所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则

A（-3，0）,B（3，0），设P（x,y）,则有，整理可得一个圆的方程即。

由于点P不在直线ABxx，故此轨迹为圆的一部分故答案选A.

点评:

本题主要考查空间轨迹问题，是在立体几何与解析几何的交汇处命制的创新题，既考查了空间想象能力，又考查了代数方法（坐标法）研究几何轨迹的基本思想。

七.轨迹为抛物线

例8.如图，正方体的棱长为1，点M在棱ABxx，且AM=，点P是平面ABCDxx的动点，且动点P到直线的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）.

A.圆B.抛物线

C.双曲线D.直线

分析：

动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题，因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的知识将问题解决。

解：

设于点F，过点P作于点E，连结EF，则平面PEF，，即。

因为，且，所以。

由抛物线定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，故应选B.

评注：

从立体转化到平面，从平面到直线，显然是在逐级降维，平面比立体简单，直线又比平面简单，这是复杂向简单的转化。

八.轨迹为椭圆

例9，（xx高考题）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得的面积为定值，则动点P的轨迹是（）

A．圆B.椭圆

C.一条直线D.两条平行直线

解析:

由题意可知的面积为定值点P到AB的距离也为定值，点P在空间中的轨迹应是以AB为旋转轴的圆柱面，又点P在平面内运动，所以动点P的轨迹应该是圆柱面被平面所截出的椭圆。

故答案选B。

点评:

本题主要考查轨迹问题，注意交轨法的应用。

九.轨迹为双曲线

例10.（2010年xx高考题）到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）

A.椭圆B.抛物线

C.双曲线D.直线

解析:

构造正方体模型，在边长为a的正方体中，DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA,DC为x轴,y轴建立平面直角坐标系，设点P（x,y）在平面ABCD内且到DC与A1D1之间的距离相等，所以，。

故答案选C

点评:

本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用解析几何法求解，实现从立体几何到解析几何的过渡，这里用解析几何的知识解决立体几何中的计算问题，恰好是当今高考的命题方向。

本题考查立体几何，解析几何知识，考查学生的空间想象能力，灵活运用知识解决问题的能力和创新意识，构造正方体模型，简化了思维难度。

十.轨迹为球

例11.如图，在棱长为6的正方体中，xx为4的线段MN的一个端点N在DD1xx运动，另一个端点M在底面ABCDxx运动，则MN的中点P的轨迹与其顶点D的正方体的三个面所围成的几何体的体积是____________。

解析:

由ND平面ABCD

在xx，P为斜边MN的xx点，

则故点P的轨迹是以D为球心，2为半径的球面，与其顶点D的正方体的三个面所围成的几何体是八分之一球体。

因此.

点评:

本题主要考查空间想象能力和推理能力以及球的体积计算，确定点P的轨迹是关键。

含两个变量的不等式化归和构造策略

近几年在高考试题的函数压轴题中，经常出现含有两个变量的不等式证明问题，面对两个变量学生会感觉无从下手，造成找不到解题的突破点；下边通过几道例题，让大家感受化归和构造的策略。

策略一：

当两个变量可以分离时，根据其两边结构构造函数，利用单调性证明不等式。

例1（2010年xx文科21）已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；K^S*5U.C#

（Ⅱ）设，证明：

对任意，。

解：

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0,+），.

当a≥0时，＞0，故f（x）在（0,+）单调增加；

当a≤－1时，＜0,故f（x）在（0,+）单调减少；

当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈（0,）时,＞0；x∈（，+）时，＜0,故f（x）在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.

（Ⅱ）不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f（x）在（0，+）单调减少.

所以等价于≥4x1－4x2,即f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1.令g（x）=f（x）+4x,则+4＝.于是≤＝≤0.

从而g（x）在（0，+）单调减少，故g（x1）≤g（x2），

即　f（x1）+4x1≤f（x2）+4x2，故对任意x1,x2∈（0,+），.

当e

例2（2009年xx理科21）

已知函数f（x）=x－ax+（a－1），。

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：

若，则对任意x，x，xx，有。

解：

（1）的定义域为。

2分

（i）若即,则

.故在单调增加。

（ii）若,而,故,则当时，;

当及时，

故在单调减少，在单调增加。

（iii）若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.

（II）考虑函数

则

由于1

练习1已知函数f（x）＝ax－1－lnx（a∈R）．

①讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；

②若函数f（x）在x＝1处取得极值，∀x∈（0，＋∞），f（x）≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围；

③当0

解　①f′（x）＝a－＝，当a≤0时，

f′（x）<0在（0，＋∞）上恒成立，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，

∴f（x）在（0，＋∞）上没有极值点；

当a>0时，f′（x）<0得00得x>，

∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，

即f（x）在x＝处有极小值．

∴当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上没有极值点；

当a>0时，f（x）在（0，＋∞）上有一个极值点．

②∵函数f（x）在x＝1处取得极值，∴a＝1，

∴f（x）≥bx－2⇔1＋－≥b，

令g（x）＝1＋－，

则g′（x）＝－＋，

∴g′（e2）＝0，从而可得g（x）在（0，e2]上单调递减，在[e2，＋∞）上单调递增，

∴g（x）min＝g（e2）＝1－，即b≤1－.

③由②知g（x）＝1＋在（0，e2）上单调递减，

∴0g（y），

即>.

当00，

∴>；

∴<.

策略二、当两个变量分离不开时通过作差或作商等策略略将两个变量划归为一个变量，再构造函数利用函数单调性进行证明。

例3、已知函数．

（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点

（1，f

（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；

（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：

．

（I）根据x=2是函数f（x）的极值点，则f′

（2）=0可求出a的值，然后求出切线的斜率和切点，从而可求出切线方程；

（II）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，通分后根据函数

f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，得到分子大于0恒成立，解出2a﹣2小于等于一个函数关系式，利用基本不等式求出这个函数的最小值，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围；

（III）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证ln

﹣

＞0，根据（II）得到h（x）在x大于等于1时单调递增，且

大于1，利用函数的单调性可得证．

解：

（I）f′（x）=

﹣

=

，

由题意知f′

（2）=0，解得a=

，经检验符合题意．

从而切线的斜率为k=f′

（1）=﹣

，切点为（1，0）

切线方程为x+8y﹣1=0

（II）f′（x）=

，

因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立

即x2+（2﹣2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，

当x∈（0，+∞）时，由x2+（2﹣2a）x+1≥0，

得：

2a﹣2≤x+

，

设g（x）=x+

，x∈（0，+∞），

则g（x）=x+

≥2

=2，当且仅当x=

即x=1时，g（x）有最小值2，

所以2a﹣2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（﹣∞，2]；

（III）要证

，只需证

＜

，

即ln

＞

，即ln

﹣

＞0，

设h（x）=lnx﹣

，

由（II）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又

＞1，

所以h（

）＞h

（1）=0，即ln

﹣

＞0成立，

得到

．

本题主要考查了学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．

例4（2013年xx）已知函数.

（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上图象上点（1,0）处的切线方程;

（Ⅱ）证明:

曲线y=f（x）与曲线有唯一公共点.

（Ⅲ）设a

【答案】解:

（Ⅰ）f（x）的反函数,则y=g（x）过点（1,0）的切线斜率k=.

.过点（1,0）的切线方程为:

y=x+1

（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与曲线有唯一公共点,过程如下.

因此，

所以,曲线y=f（x）与曲线只有唯一公共点（0,1）.（证毕）

（Ⅲ）设

令.

且

.

所以

练习2（2006年xx理科22）已知函数，的导数是。

对任意两个不等的正数、，证明：

（Ⅰ）当时，；

（Ⅱ）当时，。

本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力。

证明：

（Ⅰ）由，得

.

而，①

又，

∴.②

∵，∴。

∵，∴.③

由①、②、③，得

，

即。

（Ⅱ）证法一：

由，得，

。

下面证明对任意两个正数、，有xx成立，

即证成立。

∵

设，，则。

令，得。

列表如下：

极小值

。

∴

∴对任意两个不等的正数、，xx有。

证法二：

由，得，

。

∵、是两个不等的正数

∴.

设，，则，列表：

极小值

∴，即.

∴.