《机械制图教案》第二章.docx

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《机械制图教案》第二章

第七讲§2—1投影法的基本知识

§2—2三视图的形成与投影规律

课题：

1、投影法的基本知识

2、三视图的形成与投影规律

课堂类型：

讲授

教学目的：

1、介绍投影法的概念、种类、应用

2、讲解正投影法的基本性质

3、介绍三投影面体系和三视图的形成、投影规律

教学要求：

1、掌握正投影法的基本性质

2、理解并掌握三视图的形成和投影规律

教学重点：

1、正投影法的基本性质

2、三视图的投影规律

教学难点：

三视图与物体方位的对应关系

教具：

自制的三投影面体系模型、简单几何体模型

教学方法：

讲授与课堂演示、举例相结合。

教学过程：

一、复习旧课

简要复习平面图形的作图方法和步骤。

二、引入新课题

在工程技术中，人们常用到各种图样，如机械图样、建筑图样等。

这些图样都是按照不同的投影方法绘制出来的，而机械图样是用正投影法绘制的。

三、教学内容

（一）投影法的基本知识

1、投影法的概念

举例：

在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的

影子，这就是一种投影现象。

我们把光线称为投射线（或叫投影线），地面或墙壁称为投影面，影子称为物体在投影面上的投影。

下面进一步从几何观点来分析投影的形成。

设空间有一定点S和任一点A，以及不通过点S和点A的平面P，如图2－1所示，从点S经过点A作直线SA，直线SA必然与平面P相交于一点a，则称点a为空间任一点A在平面P上的投影，称定点S为投影中心，称平面P为投影面，称直线SA为投影线。

据此，要作出空间物体在投影面上的投影，其实质就是通过物体上的点、线、面作出一系列的投影线与投影面的交点，并根据物体上的线、面关系，

对交点进行恰当的连线。

图2－1投影法的概念图2－2中心投影法

如图2－2所示，作△ABC在投影面P上的投影。

先自点S过点A、B、C分别作直线SA、SB、SC与投影面P的交点a、b、c，再过点a、b、c作直线，连成△abc，△abc即为空间的△ABC在投影面P上的投影。

上述这种用投射线（投影线）通过物体，向选定的面投影，并在该面上得到图形的方法称为投影法。

2、投影法的种类及应用

（1）中心投影法

投影中心距离投影面在有限远的地方，投影时投影线汇交于投影中心的投影法称为中心投影法，如图2－2所示。

缺点：

中心投影不能真实地反映物体的形状和大小，不适用于绘制机械图样。

优点：

有立体感，工程上常用这种方法绘制建筑物的透视图。

（2）平行投影法

投影中心距离投影面在无限远的地方，投影时投影线都相互平行的投影法称为平行投影法，如图2－3所示。

根据投影线与投影面是否垂直，平行投影法又可以分为两种：

1）斜投影法——投影线与投影面相倾斜的平行投影法，如图2－3（a）所示。

2）正投影法——投影线与投影面相垂直的平行投影法，如图2－3（b）所示。

（a）斜投影法（b）正投影法

图2－3平行投影法

正投影法优点：

能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制机械图样。

（二）三视图的形成与投影规律

在机械制图中，通常假设人的视线为一组平行的，且垂至于投影面的投影线，这样在投影面上所得到的正投影称为视图。

一般情况下，一个视图不能确定物体的形状。

如图2－6所示，两个形状不同的物体，它们在投影面上的投影都相同。

因此，要反映物体的完整形状，必须增加由不同投影方向所

得到的几个视图，互相补充，才能将物体表达清楚。

工程上常用的是三视图。

图2－6一个视图不能确定物体的形状

1、三投影面体系与三视图的形成

（1）三投影面体系的建立

三投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成，如图2－7所示。

在三投影面体系中，三个投影面分别为：

正立投影面：

简称为正面，用V表示；

水平投影面：

简称为水平面，用H表示；

侧立投影面：

简称为侧面，用W表示。

三个投影面的相互交线，称为投影轴。

它们分别是：

OX轴：

是V面和H面的交线，它代表长度方向；

OY轴：

是H面和W面的交线，它代表宽度方向；

OZ轴：

是V面和W面的交线，它代表高度方向；

三个投影轴垂直相交的交点O，称为原点。

图2－7三投影面体系

（2）三视图的形成

将物体放在三投影面体系中，物体的位置处在人与投影面之间，然后将物体对各个投影面进行投影，得到三个视图，这样才能把物体的长、宽、高三个方向，上下、左右、前后六个方位的形状表达出来，如图2－8（a）所示。

三个视图分别为：

主视图：

从前往后进行投影，在正立投影面（V面）上所得到的视图。

俯视图：

从上往下进行投影，在水平投影面（H面）上所得到的视图。

主视图：

从前往后进行投影，在侧立投影面（W面）上所得到的视图。

（a）（b）

（c）（d）

图2－8三视图的形成遇展开

（3）三投影面体系的展开

在实际作图中，为了画图方便，需要将三个投影面在一个平面（纸面）上表示出来，规定：

使V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合，W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合，这样就得到了在同一平面上的三视图，如图2－8（b）所示。

可以看出，俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方。

在这里应特别注意的是：

同一条OY轴旋转后出现了两个位置，因为OY是H面和W面的交线，也就是两投影面的共有线，所以OY轴随着H面旋转到OYH的位置，同时又随着W面旋转到OYW的位置。

为了作图简便，投影图中不必画出投影面的边框，如图2－8（c）所示。

由于画三视图时主要依据投影规律，所以投影轴也可以进一步省略，如图2－8（d）所示。

2、三视图的投影规律

从图2－9可以看出，一个视图只能反映两个方向的尺寸，主视图反映了物体的长度和高度，俯视图反映了物体的长度和宽度，左视图反映了物体的宽度和高度。

由此可以归纳出三视图的投影规律：

主、俯视图“长对正”（即等长）；

主、左视图“高平齐”（即等高）；

俯、左视图“宽相等”（即等宽）；

三视图的投影规律反映了三视图的重要特性，也是画图和读图的依据。

无论是整个物体还是物体的局部，其三面投影都必须符合这一规律。

图2－9视图间的“三等”关系

3、三视图与物体方位的对应关系

物体有长、宽、高三个方向的尺寸，有上下、左右、前后六个方位关系，如图2－10（a）所示。

六个方位在三视图中的对应关系如图2－10（b）所示。

主视图反映了物体的上下、左右四个方位关系；

俯视图反映了物体的前后、左右四个方位关系；

左视图反映了物体的上下、前后四个方位关系。

（要求学生必须熟记。

）

（a）立体图（b）投影图

图2－10三视图的方位关系

注意：

以主视图为中心，俯视图、左视图靠近主视图的一侧为物体的后面，远离主视图的一侧为物体的前面。

四、小结

1、概念：

投影法、中心投影法、平行投影法、斜投影、正投影。

2、正投影法的基本性质

3、三视图的投影规律

4、三视图与物体方位的对应关系

第八讲§2—3点的投影

课题：

1、点的投影及其标记

2、点的三面投影规律

3、点的三面投影与直角坐标

4、特殊位置点的投影

5、两点的相对位置

课堂类型：

讲授

教学目的：

1、介绍空间点及其投影的标记标记符号

2、讲解点的三面投影规律

3、讲解特殊位置点的投影

4、讲解两点的相对位置和重影点

教学要求：

1、理解并掌握在两面和三面投影图中点的投影规律

2、熟练掌握点的投影与与其直角坐标的关系以及由点的两个投影求作第三投影的方法

3、掌握由点的轴测图作投影图和由点的投影图作轴测图的方法

4、根据两个点的投影，能够理解并判别该两点在空间的相对位置

5、掌握重影点的概念及其可见性的判别方法

教学重点：

1、在两面和三面投影图中点的投影规律

2、重影点的概念和两点的相对位置

教学难点：

1、点的三面投影与直角坐标的关系

2、特殊位置点的投影

教具：

自制的三投影面体系模型

教学方法：

课堂教学中要加强三等关系和六方位关系的基本训练，着重突出空间概念的培养，这是树立空间概念，搭起空间架子的起步。

这部分教学要突出空间位置的判断。

运用直观教具，采用讲授和演示教学法，讲情三投影面体系的有关内容和展开方法。

注意以下几个要点：

投影面展开前：

（1）空间点对投影面的距离及对应坐标的关系。

（2）空间点的投影与其对应坐标的关系。

投影面展开后：

要演示两投影连线与投影轴的关系，从而引出投影规律。

教学过程：

一、复习旧课

简要复习有关投影法的几个基本概念。

重点复习三视图的形成、投影规律和方位关系。

二、引入新课题

任何物体都是由点、线、面等几何元素构成的，只有学习和掌握了几何元素的投影规律和特征，才能透彻理解机械图样所表示物体的具体结构形状。

本次课先来学习点的投影。

三、教学内容

（一）点的投影及其标记

当投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个投影。

如图2－11（a）所示，假设空间有一点A，过点A分别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a′、a″，便是点A在三个投影面上的投影。

规定用大写字母（如A）表示空间点，它的水平投影、正面投影和侧面投影，分别用相应的小写字母（如a、a′和a″）表示。

根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图2－11（b）所示的带边框的三面投影图，即得到点A两面投影；省略投影面的边框线，就得到如图2－11（c）所示的A点的三面投影图，（注意：

要与平面直角坐标系相区别。

）

（a）（b）

（c）

图2－11点的两面投影

（二）点的三面投影规律

1、点的投影与点的空间位置的关系

从图2－11（a）、（b）可以看出，Aa、Aa′、Aa″分别为点A到H、V、W面的距离，即：

Aa=a′ax=a″ay（即a″aYW），反映空间点A到H面的距离；

Aa′=aax=a″az，反映空间点A到V面的距离；

Aa″=a′az=aay（即aYH），反映空间点A到W面的距离；

上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。

反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。

2、点的三面投影规律

由图2－11中还可以看出：

aaYH=a′az即a′a⊥OX

a′ax=a″aYW即a′a″⊥OZ

aax=a″az

这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。

而且这个关系不因空间点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律：

（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a′a⊥OX；

（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″⊥OZ；

（3）点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″到OZ轴的距离，即aax=a″az。

（可以用45°辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系）

根据上述投影规律，若已知点的任何两个投影，就可求出它的第三个投影。

3、讲解例题（例2－1）已知点A的正面投影a′和侧面投影a″（图2－12），求作其水平投影a。

（a）题目（b）解答

图2－12已知点的两个投影求第三个投影

强调：

一般在作图过程中，应自点O作辅助线（与水平方向夹角为45°），以表明aax=a″az的关系。

（三）点的三面投影与直角坐标

1、点的三面投影与直角坐标的关系

三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置。

投影面H、V、W作为坐标面，三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴，三轴的交点O作为坐标原点。

由图2－13可以看出A点的直角坐标与其三个投影的关系：

点A到W面的距离=Oax=a′az=aaYH=x坐标；

点A到V面的距离=OaYH=aax=a″az=y坐标；

点A到H面的距离=Oaz=a′ax=a″aYW=z坐标。

图2－13点的三面投影与直角坐标

用坐标来表示空间点位置比较简单，可以写成A（x，y，z）的形式。

由图2－13（b）可知，坐标x和z决定点的正面投影a′，坐标x和y决定点的水平投影a，坐标y和z决定点的侧面投影a″，若用坐标表示，则为a（x，y，0），a′（x，0，z），

a″（0，y，z）。

因此，已知一点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；相反地，已知一点的三个坐标，就可以量出该点的三面投影。

2、讲解例题（例2－2）已知点A的坐标（20，10，18），作出点的三面投影，并画出其立体图。

其作图方法与步骤如图2－14所示：

（a）（b）（c）

图2－14由点的坐标作点的三面投影

立体图的作图步骤如图2－15所示；

（a）（b）（c）

图2－15由点的坐标作立体图

（四）特殊位置点的投影

1、在投影面上的点（有一个坐标为0）

有两个投影在投影轴上，另一个投影和其空间点本身重合。

例如在V面上的点A，如图2－16（a）所示；

2、在投影轴上的点（有两个坐标为0）

有一个投影在原点上，另两个投影和其空间点本身重合。

例如在OZ轴上的点B，如图2－16（b）所示；

3、在原点上的空间点（有三个坐标都为0）

它的三个投影必定都在原点上。

如图2－16（c）所示。

（a）（b）（c）

图2－16特殊位置点的投影

（五）两点的相对位置

1、两点的相对位置

设已知空间点A，由原来的位置向上（或向下）移动，则z坐标随着改变，也就是A点对H面的距离改变；

如果点A，由原来的位置向前（或向后）移动，则y坐标随着改变，也就是A点对V面的距离改变；

如果点A，由原来的位置向左（或向右）移动，则x坐标随着改变，也就是A点对W面的距离改变.

综上所述，对于空间两点A、B的相对位置

（1）距W面远者在左（x坐标大）；近者在左（x坐标小）；

（2）距V面远者在前（y坐标大）；近者在后（y坐标小）；

（3）距H面远者在左（z坐标大）；近者在左（z坐标小）。

2、举例

如图2－17所示，若已知空间两点的投影，即点A的三个投影a、a′、a″和点B的三个投影b、b′、b″，用A、B两点同面投影坐标差就可判别A、B两点的相对位置。

由于xA>xB，表示B点在A点的右方；zB>zA，表示B点在A点的上方；yA>yB，表示B点在点的A后方。

总起来说，就是B点在A点的右、后、上方。

图2－17两点的相对位置

3、重影点

若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。

这时，空间两点的某两坐标相同，并在同一投射线上。

当两点的投影重合时，就需要判别其可见性，应注意：

对H面的重影点，从上向下观察，z坐标值大者可见；对W面的重影点，从左向右观察，x坐标值大者可见；对V面的重影点，从前向后观察，y坐标值大者可见。

在投影图上不可见的投影加括号表示，如（a′）。

4、举例

如图2－18中，C、D位于垂直H面的投射线上，c、d重影为一点，则C、D为对H面的重影点，z坐标值大者为可见，图中zC>zD，故c为可见，d为不可见，用c（d）表示。

四、小结

1、空间点及其投影的标记标记符号

2、点的投影与与其直角坐标的关系

3、点的三面投影规律

4、特殊位置点的投影

5、两点的相对位置和重影点

五、布置作业

习题集2－1

（1）～（8）

第九讲§2—4直线的投影

课题：

1、直线的投影图

2、直线对于一个投影面的投影特性

3、各种位置直线的投影特性

4、一般位置直线的实长和对投影面的倾角

课堂类型：

讲授

教学目的：

1、讲解三种投影面平行线和三种投影面垂直线的投影特性

2、讲解用直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角

教学要求：

1、理解并掌握各种位置直线的投影特性，并能根据投影特性判别直线对投影面的相对位置

2、熟练掌握求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的直角三角形法

教学重点：

1、各种位置直线的投影特性

2、直角三角形法

教学难点：

直角三角形法

教具：

自制的三投影面体系模型；

挂图：

“投影面平行线的投影特性”、“投影面垂直线的投影特性”

教学方法：

直线投影的实质，就是线段两个端点的同面投影的连线；尤其是投影面垂直线，实质就是重影点。

为了进一步加强空间思维的训练，要用一定量的例题作演示性讲解，并布置适当的练习加以巩固。

教学过程：

一、复习旧课

1、讲评上次作业。

2、复习点的投影与与其直角坐标的关系

3、复习点的三面投影规律

4、复习特殊位置点的投影

5、复习两点的相对位置和重影点

二、引入新课题

空间两点确定一条空间直线段，空间直线的投影一般也是直线。

直线段投影的实质，就是线段两个端点的同面投影的连线；所以学习直线的投影，必须于点的投影联系起来。

三、教学内容

（一）直线的投影图

空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定。

如图2－19所示的直线AB，求作它的三面投影图时，可分别作出A、B两端点的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图（ab、a′b′、a″b″）。

（a）（b）（c）

图2－19直线的投影

（二）直线对于一个投影面的投影特性

空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。

1、真实性当直线与投影面平行时，则直线的投影为实长。

如图2－20（a）所示。

2、积聚性当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点。

如图2－20（b）所示。

3、收缩性当直线与投影面倾斜时，则直线的投影小于直线的实长。

如图2－20（c）所示。

（a）（b）（c）

图2－20直线的投影

（三）各种位置直线的投影特性

根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类。

前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。

1、投影面平行线

平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。

平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。

直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。

α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。

举例说明：

正平线的投影特性

强调：

（1）斜线反映实长；

（2）直线的倾角α、γ。

总结投影面平行线的投影特性：

两平一斜。

要求学生必须掌握表2－1中的图例。

对于投影面平行线的辨认：

当直线的投影有两个平行于投影轴，第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。

讲解例题（例2－3）如图2－21所示，已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角α＝30°（只需一解）。

（a）题目（b）解答

图2－21作正平线AB

2、投影面垂直线

垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。

垂直于V面的称为正垂线；垂直于H面的称为铅垂线；垂直于W面的称为侧垂线。

举例说明：

侧垂线的投影特性

强调：

（1）两个投影反映实长；

（2）一个投影积聚为一点。

总结投影面平行线的投影特性：

两线一点。

要求学生必须掌握表2－2中的图例。

对于投影面垂直线的辨认：

直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则该直线一定是投影面垂直线，且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面。

讲解例题（例2－4）如图2－22所示，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影（只需一解）。

（a）题目（b）解答

图2－22作正垂线AB

3、一般位置直线

与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。

举例：

如图2－23（a）所示，直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。

其投影如图2－23（b）所示。

（a）（b）

一般位置直线的投影特征可归纳为：

（1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；

（2）任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。

对于一般位置直线的辨认：

直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。

（四）一般位置直线的实长和对投影面的倾角

1、直角三角形法的作图原理

如图2－24所示，AB为一般位置直线，过端点A作直线平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。

在直角三角形ABC中，斜边AB就是线段本身，底边AC等于线段AB的水平投影ab，对边BC等于线段AB的两端点到H面的距离差（Z坐标差），也即等于a′b′两端点到投影轴OX的距离差，而AB与底边AC的夹角即为线段AB对H面的倾角α。

图2－24直角三角形法的原理

2、直角三角形法的作图方法和步骤

根据上述分析，只要用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。

此直角三角形的斜边就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。

这就是直角三角形法。

作图方法与步骤如图2－25所示，用线段的任一投影为底边均可用直角三角形法求出空间线段的实长，其长度是相同的，但所得倾角不同。

在直角三角形法中，直角三角形包含四个图2－25直角三角形法

因素：

投影长、坐标差、实长、倾角。

只要知道两个因素，就可以将其余两个求出来。

3、讲解例题（例2－5）如图2－26（a）所示，已知直线AB的实长L=15mm，及直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a′，试用直角三角形法求出直线AB的正面投影a′b′。

（a）题目（b）解答

图2—26直角三角形法应用示例

四、小结

1、三种位置直线（包括七种类型）的投影特性。

尤其注意：

实长和倾角的判断。

2、用直角三角形法求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的方法和步骤。

五、布置作业

习题集2－2

（1）、

（2）、（7）

第十讲§2—4直线的投影

课题：

1、直线上点的投影

2、两直线的相对位置

3、直角投影定理

课堂类型：

讲授

教学目的：

1、讲解直线上点的投影特性

2、讲解两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特点

3、讲解用直角投影定理

教学要求：

1、理解并掌握直线投影的定比性的解题方法

2、会根据两直线的投影判断它们的相对位置，并熟练掌握两直线平行、相交的作图问题

3、理解并掌握直角投影定理的特点和解题思路

教学重点：

1、两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特点

2、直角投影定理

教学难点：

利用直角投影定理图解空间几何问题

教具：

自制的三投影面体系模型

教学方法：

例题辅助讲解

教学过程：

一、复习旧课

1、三种位置直线（包括七种类型）的投影特性。

尤其注意：

实长和倾角的判断。

2、用直角三角形法求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的方法和步骤。

二、引入新课题

上次课我们学习了三种位置直线的投影特性，本次课我们继续学习空间直线的其他投影特性。

三、教学内容

（一）直线上点的投影

1、直线上点的投影

点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。

举例：

如图2－27所示直线AB上有一点C，则C点的三面投影c、