高考数学理必刷试题+参考答案+评分标准 53Word格式.docx
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12.定义在R上的奇函数满足,且当时,不等式
恒成立,则函数的零点的个数为
A.1B.2C.3D.4
二、填空题(本大题共4小题)
13.曲线在点处的切线方程为______.
14.已知,则______.
15.若抛物线上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则的面积为______.
16.已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直,,,若点P、A、B、C、D都在同一球面上,则此球的表面积等于______.
三、解答题(本大题共7小题)
17.商品的销售价格与销售量密切相关,为更精准地为商品确定最终售价,商家对商品A按以下单价进行试售,得到部分的数据如下:
单价元
15
16
17
18
19
销量件
60
58
55
53
49
Ⅰ求销量y关于x的线性回归方程;
Ⅱ预计今后的销售中,销量与单价服从中的线性回归方程,已知每件商品A的成本是10元,为了获得最大利润,商品A的单价应定为多少元?
结果保留整数
参考数据:
,,
参考公式:
,
18.在中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知.
求角C的大小;
Ⅱ若,求周长的取值范围.
19.
如图所示,四棱锥中,底面ABCD;
,,,,,.
Ⅰ求证:
平面SAD;
Ⅱ求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.
20.设椭圆,离心率,短轴,抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点为,
求椭圆和抛物线的方程;
设坐标原点为O,A为抛物线上第一象限内的点,B为椭圆一点,且有,当线段AB的中点在y轴上时,求直线AB的方程.
21.已知函数.
求函数的单调区间;
若恒成立,求a的值.
22.在直角坐标系xOy中,曲线为参数,以坐标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
求曲线的极坐标方程;
已知点,直线l的极坐标方程为,它与曲线的交点为O,P,与曲线的交点为Q,求的面积.
23.已知.
当时,求不等式的解集;
若时不等式成立,求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:
,;
.
故选:
B.
可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.
考查描述法表示集合的定义,对数函数的单调性,以及交集的运算.
2.【答案】A
故,
A.
根据复数的基本运算法则进行化简即可.
本题主要考查复数模长的计算,比较基础.
3.【答案】B
根据题意,分3步进行分析:
,语文、数学、外语三门必考科目,有1种选法;
,在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门,有种选法;
,在物理、历史两门科目中必选一门,有种选法;
则这名学生的不同选科组合有种;
根据题意,分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目,由分步计数原理计算可得答案.
本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.
4.【答案】B
对于,,,时,
根据两个平面互相垂直的判定定理,不能得出,错误;
对于,,,,,
根据两个平面互相平行的判定定理,不能得出,错误;
对于,,,,
根据两个平面互相垂直的判定定理,得出,正确;
对于,,,
根据直线与平面平行的判定定理,不能得出,错误.
综上,正确的命题是,只有1个.
根据空间中的直线与平面,平面与平面之间的平行与垂直关系,判定正误即可.
本题考查了几何符号语言以及空间中的平行与垂直关系的应用问题,是基础题.
5.【答案】C
由,,成等比数列,得到,
又公差,得到,即,
解得:
则
C.
由,,成等比数列,根据等比数列的性质及通项公式,由列出关于的方程,求出方程的解即可得到的值,由求出的首项和公差,根据等差数列的通项公式求出和的值,即可求出结果.
此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题.
6.【答案】C
的展开式的通项为
展开式的第5项是常数
故答案为C.
利用二项展开式的通项公式求得第项,求出第五项,令x的指数为0求得n.
二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.
7.【答案】C
非零向量,,满足,
所以;
又,
所以,
即;
又,所以,
即与的夹角为.
由平面向量的数量积与夹角公式,结合特殊角的余弦函数,即可求出与的夹角.
本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题,是基础题.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的性质和赋值法的应用,属于中档题.
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果.
【解答】
解:
根据函数的解析式,
得到函数为奇函数,其图象关于原点对称,
故排除A和B.
当时,函数的值为0,故排除C.
故选D.
9.【答案】D
由题意可得,,
,即为偶函数,
当时,由是增函数可知单调递增,
根据偶函数的对称性可知,在上单调递减,距对称轴越远,函数值越大,
,,,,
则.
D.
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论.
本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.
10.【答案】D
将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,
故为偶函数,,,函数单调递减,故A不正确;
再根据的周期为,最大值为1,当时,,故B错误;
,,函数没有单调性,故C错误;
当时,函数,为最小值,故的图象关于直线对称,故D正确,
由题意利用函数的图象变换规律,再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性,得出结论.
本题主要考查函数的图象变换规律,余弦函数的单调性以及图象的对称性,属于基础题.
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的渐近线方程,考查双曲线的定义和三角形的中位线定理,考查运算能力,属于中档题.
设切点为N,连接ON,作作,垂足为A,运用中位线定理和勾股定理,结合双曲线的定义,即可得到a,b的关系,进而得到所求渐近线方程.
设切点为N,连接ON,作作,垂足为A,
由,且ON为的中位线,可得
即有,
在直角三角形中,可得,
由双曲线的定义可得,
可得,
则双曲线的渐近线方程为
故选A.
12.【答案】C
本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题,也考查了函数零点个数的判断问题,是中档题目.
由不等式在上恒成立,得到函数在时是增函数,
再由函数是定义在R上的奇函数得到为偶函数,
结合,作出两个函数与的大致图象,即可得出答案.
定义在R的奇函数满足:
且,
又时,,即,
0'
/>
,函数在时是增函数,
又,是偶函数;
时,是减函数,结合函数的定义域为R,且,
可得函数与的大致图象如图所示,
由图象知,函数的零点的个数为3个.
13.【答案】
依题解:
依题意得,
因此曲线在处的切线的斜率等于1,
所以函数在点处的切线方程为
故答案为:
利用导数求出在处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决.
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
14.【答案】
利用二倍角公式即可算出结果.
本题主要考查了二倍角公式,是基础题.
15.【答案】
由抛物线定义,,所以,,
所以,的面积.
利用抛物线的定义,求出P的坐标,然后求出三角形的面积.
本题考查抛物线的简单性质的应用,三角形的面积的求法,考查计算能力.
16.【答案】
设球心为O,如图.
由,,可求得
在矩形ABCD中,可求得对角线,故BE
由于点P、A、B、C、D都在同一球面上,
设,在直角三角形BOE中,
过O作线段OH垂直平面PAD于H点,H是垂足,由于O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等,故
在直角三角形POH中,
,解得,
球的半径
则此球的表面积等于.
设球心为O,如图.由于点P、A、B、C、D都在同一球面上,,设,分别在直角三角形BOE中,和在直角三角形POH中,列出球的半径的式子,通过解方程求得此球的半径,从而得出表面积.
本题是基础题,考查球的体积和表面积,解题的根据是点P、A、B、C、D都在同一球面上,考查计算能力,空间想象能力.
17.【答案】解:
Ⅰ,,
销量y关于x的线性回归方程为;
Ⅱ设商品A的单价应定为x元,
则利润,
当时,获得的利润最大.
【解析】Ⅰ由已知求得与的值,则线性回归方程可求;
Ⅱ设商品A的单价应定为x元,则利润,再由二次函数求最值.
本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是中档题.
18.【答案】解:
又,.
Ⅱ,,,
则的周长,
周长的取值范围是.
【解析】由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出;
利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出.
熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键.
19.【答案】Ⅰ证明:
在中,
,,,则,
在中,由,,得,
,又,
平面SAD,平面SAD,
Ⅱ解:
由底面ABCD,,
可以A为坐标原点,分别以AB,AD,AS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
,,,得
0,,1,,0,,2,,
,,,
设平面SBC的一个法向量为,
由,取,得,
设直线SD与平面SBC所成角为,
【解析】Ⅰ由已知求解三角形证明,再由,可得,由线面平行的判定可得平面SAD;
Ⅱ以A为坐标原点,分别以AB,AD,AS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出平面SBC的一个法向量,利用空间向量求解直线SD与平面SBC所成角的正弦值.
本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,是中档题.
20.【答案】解:
由得,又有,代入,解得,
所以椭圆方程为,
由抛物线的焦点为得抛物线的方程为:
由题意点A位于第一象限,可知直线OA的斜率一定存在且大于0,
设直线OA方程为:
得:
,可知点A的横坐标,即,
因为,可设直线OB方程为:
联立可得得:
,从而得,
若线段AB的中点在y轴上,可知,即,
且有,且,解得,
从而得,,
直线AB的方程:
【解析】通过离心率以及短轴长,求出b,a得到椭圆方程,通过抛物线的焦点坐标求解抛物线方程即可.
可知直线OA的斜率一定存在且大于0,设直线OA方程为:
,,联立得,求出点A的坐标x,然后求解B的坐标,即可求解直线AB的方程.
本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用,方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力.
21.【答案】解:
的定义域是,
令,解得:
故在递减,在递增;
恒成立,即恒成立,
时,即在恒成立,
令,,
令,则,
故在递增,
由,
时,显然成立,
综上,.
【解析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
通过讨论x的范围,得到在恒成立或在恒成立,根据函数的单调性求出a的值即可.
本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道中档题.
22.【答案】解:
其普通方程为,化为极坐标方程为:
联立与l的极坐标方程:
,解得P点极坐标为
,解得Q点极坐标为,所以,
又点M到直线l的距离,
故的面积.
【解析】先利用平方关系式消去参数t可得普通方程,再利用互化公式可得曲线的极坐标方程;
将直线l的极坐标方程分别代入曲线和的极坐标方程,得到P、Q的极坐标,利用极坐标的几何意义可得PQ,再求出M到l的距离,代入面积公式可得.
本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.
23.【答案】解:
当时,,
或,
解得,
故不等式的解集为,
当时不等式成立,
即,
故a的取值范围为.
【解析】去绝对值,化为分段函数,即可求出不等式的解集,
当时不等式成立,转化为即,即,转化为,且,即可求出a的范围.
本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围,考查了运算能力和转化能力,属于中档题.