43 协方差 相关系数和矩.docx

43 协方差 相关系数和矩.docx

《43 协方差 相关系数和矩.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《43 协方差 相关系数和矩.docx（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

43协方差相关系数和矩

现将上式中中刮号内的式子写成矩阵，为此引入现将上式中中刮号内的式子写成矩阵，下列的列矩阵xX=1,x2→→µµ=1.µ2（X1,X2）的协方差阵为c11c12σ12ρσ1σ2C==2c21c22ρσ1σ2σ2

它的行列式C−12detC=σ12σ2（1−ρ2）,C的逆阵为1=detCσ12−ρσσ12−ρ1σ1σ21σ12−ρσ1σ2=21σ21−ρ2−ρ2σ1σ2σ2→→→→经过计算可知（这里矩阵（X−µ）′是（X−µ）的转置矩阵）经过计算可知（的转置矩阵）1（X−µ）′C（X−µ）=（x1−µ1detC−1→→→→2σ2−ρσ1σ2x1−µ1x2−µ2）−ρσ1σ2σ12x2−µ21（x1−µ1）2（x1−µ1）（x2−µ2）（x2−µ2）2=−2ρ+222σ1σ2σ21−ρσ1于是，于是，（X1,X2）的概率密度可写成f（x1,x2）=1（2π）22（detC）1e2→→1→→−1−（X−µ）′C（X−µ）2

上式容易推广到n维随机变量引入列矩阵（X1,X2,L,Xn）的情况.的情况.x1µ1E（X1）→x2→µ2E（X2）X=和µ==MMMxµE（X）nnn（X1,X2,L,Xn）n维正态随机变量f（x1,x2,L,xn）=的概率密度定义为1→→−1→→−（X−µ）′C（X−µ）e21（2π）n12（detC）2其中C是（X1,X2,L,Xn）的协方差阵.的协方差阵.

n维正态随机变量具有以下四条重要性质（证略）：

维正态随机变量具有以下四条重要性质（证略）：

（1）n维正态随机变量（X1,X2,L,Xn）的每一个分量Xi,i=1,2,L.n都是正态变量；反之，若都是正态变量；反之，X1,X2,L,Xn都是正态变量，且相互独立，则都是正态变量，且相互独立，（X1,X2,L,Xn）是n维正态变量.维正态变量.

（2）n维随机变量（X1,X2,L,Xn）服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,L,Xn的任意线性组合：

l1X1+l2X2+LlnXn服从一维正态分布（不全为零）服从一维正态分布（其中l1,l2,L,ln不全为零）.

（3）若（X1,X2,L,Xn）服从n维正态分布，设维正态分布，Y1,Y2,L,Yk是Xj,j=1,2,L.n的线性函数，的线性函数，也服从多维正态分布.则（Y1,Y2,L,Yk）也服从多维正态分布.这一性质称为正态变量的线性变换不变性.这一性质称为正态变量的线性变换不变性.（4）设（X1,X2,L,Xn）服从n维正态分布，则“维正态分布，X1,X2,L,Xn相互独立”与“1,X2,L,Xn相互独立”两X两不相关”是等价的.两不相关”是等价的.维正态分布在随机过程和数理统计中常会遇到.n维正态分布在随机过程和数理统计中常会遇到.