协方差和相关系数.doc

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二维随机变量的期望与方差

对于二维随机变量，如果存在，则

称为二维随机变量的数学期望。

1、当（X，Y）为二维离散型随机变量时

2、当（X，Y）为二维连续型随机变量时

例题2.39　设，求。

与一维随机变量函数的期望一样，可求出二维随机变量函数的期望。

对二维离散型随机变量（X，Y），其函数的期望为

对二维连续型随机变量（X，Y），其函数的期望为

例题2.40　设，求

2.41　设（X，Y）服从区域A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线围成的三角形区域，如图2-10所示。

求函数的数学期望。

随机变量的数学期望和方差的三个重要性质：

1、

推广：

2、　设X与Y相互独立，则

推广：

设相互独立，则

3、　设X与Y相互独立，则

推广：

设相互独立，则

仅对性质3就连续型随机变量加以证明

证明3

由于X与Y相互独立，所以与相互独立，利用性质2、知道

从而有，

可以证明：

相互独立的随机变量其各自的函数间，仍然相互独立。

例题2.42　某学校流行某种传染病，患者约占，为此学校决定对全校1000名师生进行抽血化验。

现有两个方案：

①逐个化验；②按四个人一组分组，并把四个人抽到的血混合在一起化验，若发现有问题再对四个人逐个化验。

问那种方案好？

2.10.2协方差与相关系数

分析协方差与相关系数反映随机变量各分量间的关系；结合上面性质3的证明，可以得到以下结论：

若X与Y相互独立，则

可以用来刻划X与Y之间的某种关系。

定义　设（X，Y）为二维随机变量，若

存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记作或，即

特别地

故方差，是协方差的特例。

计算协方差通常采用如下公式：

例题2.43　设二维随机变量（X，Y）的分布密度

求

定义　若存在，且大于零，则称

为X与Y的相关系数，记作，即

或

若，则称X与Y不相关。

由上述讨论知，当X与Y相互独立时，协方差，从而。

即X与Y相互独立时，X与Y一定不相关。

但X与Y不相关时，X与Y未必独立。

例题2.44　设，即X的分布函数

又。

试证明X与Y不相关，也不相互独立。

上例说明，若，则与不相关。

但，说明Y与X间确实存在某种关系。

实质上，所刻划的只是随机变量X与Y之间的线性相关程度。

若为随机变量X与Y之间的相关系数，则有

1、　

2、　的充要条件是：

，其中a，b为常数，且a≠0。

从上述结论看出，的值域为[-1,1]，当时，表明X与Y之间几乎成线性相关关系：

。

当时，X与Y不相关。

注意，这里所讲的不相关，仅指不线性相关，虽然不线性相关，可能有其它的（如二次函数）非线性的相关关系。

对于二维正态分布，我们已经证明了二维正态变量的两个分量X与Y独立的充要条件是。

还可以证明：

恰好是两个正态分量X与Y的相关系数。

对于二维正态变量，X与Y相互独立与不相关是等价的。

2.10.3矩　协方差矩阵

定义　设X是随机变量，若

，　

存在，则称为X的k阶原点矩，称为X的k阶中心矩。

矩是随机变量的重要数字特征，数学期望和方差是它们的特例。

当X是离散型随机变量时

，　

当X是连续型随机变量时

例题2.45　设，求。

定义　设（X，Y）为二维随机变量，若

，　

存在，则分别称为二维随机变量（X，Y）的阶混合原点矩和阶混合中心矩。

显然，协方差是（X，Y）的二阶混合中心矩，简称为二阶中心矩。

若二维随机变量（X，Y）的四个二阶中心矩都存在，分别记为

将它们排成矩阵形式

称为二维随机变量的协方差矩阵。