北京东城区高考二模数学理科试题word版含解析.doc
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北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习
（二）
高三数学 （理科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知复数，若是纯虚数，则实数等于（B）
A． B．C． D．
2.对于非零向量，，“”是“”的（A）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.执行如图所示的程序框图,输出的等于（C）
A.
B.
C.
D.
4.右图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,计算该几何
体的表面积为（D）
A．
B．
C．
D．
5.已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是（A）
A.B.C.D.
6.已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（C）
A.B.C.D.
7.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（D）
A.B.C.D.
8.已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，.设是的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（A）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置的横线上．
9.命题“”的否定是．
10.如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知
，，圆的半径为，则圆心到的距离
为．
11.已知一个样本容量为的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在内的样本频数为，样本数据落在内的频率为．
12.在平面直角坐标系中，已知圆
（为参数）和直线（为参数），则直线与圆相交所得的弦长等于．
13.在函数的一个周期内，当时有最大值，当时有最小值，若，则函数解析式=．
14.已知数列中，是其前项和，若，，，
且，则_______________，_______________．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）
在中，角，，所对的边分别为，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的值．
16．（本小题满分13分）
袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和均值．
17．（本小题满分14分）
如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，，，是线段的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求四棱锥的体积；
（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分13分）
已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上一点到准线的距离是，过点的直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求证：
是和的等比中项．
19．（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，，，设．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）数列满足，设，若对一切不等式恒成立，求实数的取值范围．
20.（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）若函数在上为单调增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）设，，且，求证：
．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习
（二）
高三数学参考答案（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B2．A3．C 4．D5．A 6．C 7．D 8．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．，10．11．，
12．13．14．，
注：
两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）因为，又，
所以．…………………………………3分
所以．………………………………………7分
（Ⅱ）由余弦定理，
得．…………………………………………………………11分
解得．…………………………………………………………………13分
16.（本小题满分13分）
解：
（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则．…………………………………………………5分
（II）由题意所有可能的取值为：
，，，.…………………………………6分
；
；
；
．
所以随机变量的分布列为
1
2
3
4
……………………………………………………………10分
随机变量的均值为
．………………………………13分
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
因为侧面，平面，
所以．……………………………………………………………2分
又因为△是等边三角形，是线段的中点，
所以．
因为，
所以平面．…………………………………………………4分
而平面，
所以．……………………………………………………………5分
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）知：
平面，所以是四棱锥的高．
由，，可得．
因为△是等边三角形，
可求得．
所以．………………9分
（Ⅲ）解：
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
，，．
设为平面的法向量．
由即
令，可得．………………………12分
设与平面所成的角为．
．
所以与平面所成角的正弦值为．…………………………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
由题意可设抛物线的方程为．
因为点在抛物线上，所以．
又点到抛物线准线的距离是，所以，可得．
所以抛物线的标准方程为．………………………………………………3分
（Ⅱ）解：
点为抛物线的焦点，则．
依题意可知直线不与轴垂直，所以设直线的方程为．
由得．
因为过焦点，所以判别式大于零．
设，．
则，．……………………………………………………6分
．
由于，所以．
切线的方程为，①
切线的方程为．②
由①，②，得．…………………………………8分
则．
所以．………………………10分
（Ⅲ）证明：
．
由抛物线的定义知，．
则
．
所以．
即是和的等比中项．…………………………………………………13分
19．（本小题满分13分）
证明：
（Ⅰ）由于，①
当时，．②
①②得．
所以．…………………………………………………2分
又，
所以．
因为，且，
所以．
所以．
故数列是首项为，公比为的等比数列．…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则（）．
．……………………………………………………………………9分
由，得．
即．
所以．
所以．……………………………………11分
设，．
可知在为减函数，又，
则当时，有．
所以．
故当时，恒成立．…………………………………13分
20.（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）
．………………………………………3分
因为在上为单调增函数，
所以在上恒成立．
即在上恒成立．
当时，由，
得．
设，．
．
所以当且仅当，即时，有最小值．
所以．
所以．
所以的取值范围是．…………………………………………………………7分
（Ⅱ）不妨设，则．
要证，
只需证，
即证．
只需证．……………………………………………………………11分
设．
由（Ⅰ）知在上是单调增函数，又，
所以．
即成立．
所以．………………………………………………………………14分
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