导数综合练习题(详细解答).doc

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导数练习题（B）

1．（本题满分12分）

已知函数的图象如图所示．

（I）求的值；

（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；

（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．

2．（本小题满分12分）

已知函数．

（I）求函数的单调区间；

（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

3．（本小题满分14分）

已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．

（I）求实数的取值范围；

（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；

（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：

．

4．（本小题满分12分）

已知常数，为自然对数的底数，函数，．

（I）写出的单调递增区间，并证明；

（II）讨论函数在区间上零点的个数．

5．（本小题满分14分）

已知函数．

（I）当时，求函数的最大值；

（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；

6．（本小题满分12分）

已知是函数的一个极值点（）．

（I）求实数的值；

（II）求函数在的最大值和最小值．

7．（本小题满分14分）

已知函数

（I）当a=18时，求函数的单调区间；

（II）求函数在区间上的最小值．

8．（本小题满分12分）

已知函数在上不具有单调性．

（I）求实数的取值范围；

（II）若是的导函数，设，试证明：

对任意两个不相等正数，不等式恒成立．

9．（本小题满分12分）

已知函数

（I）讨论函数的单调性；

（II）证明：

若

10．（本小题满分14分）

已知函数．

（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；

（II）若，设，求证：

当时，不等式成立．

11．（本小题满分12分）

设曲线：

（），表示导函数．

（I）求函数的极值；

（II）对于曲线上的不同两点，，，求证：

存在唯一的，使直线的斜率等于．

12．（本小题满分14分）

定义，

（I）令函数，写出函数的定义域；

（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；

（III）当且时，求证．

导数练习题（B）答案

1．（本题满分12分）

已知函数的图象如图所示．

（I）求的值；

（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；

（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．

解：

函数的导函数为…………（2分）

（I）由图可知函数的图象过点（0，3），且

得…………（4分）

（II）依题意且

解得

所以…………（8分）

（III）．可转化为：

有三个不等实根，即：

与轴有三个交点；

，

+

0

-

0

+

增

极大值

减

极小值

增

．…………（10分）

当且仅当时，有三个交点，

故而，为所求．…………（12分）

2．（本小题满分12分）

已知函数．

（I）求函数的单调区间；

（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

解：

（I） （2分）

当

当

当a=1时，不是单调函数 （5分）

（II）

（6分）

（8分）（10分） （12分）

3．（本小题满分14分）

已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．

（I）求实数的取值范围；

（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；

（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：

．

解：

（I）

由，因为当时取得极大值，

所以，所以；

…………（4分）

（II）由下表：

+

0

-

0

-

递增

极大值

递减

极小值

递增

依题意得：

，解得：

所以函数的解析式是：

…………（10分）

（III）对任意的实数都有

在区间[-2，2]有：

函数上的最大值与最小值的差等于81，

所以．

…………（14分）

4．（本小题满分12分）

已知常数，为自然对数的底数，函数，．

（I）写出的单调递增区间，并证明；

（II）讨论函数在区间上零点的个数．

解：

（I），得的单调递增区间是，…………（2分）

∵，∴，∴，即．…………（4分）

（II），由，得，列表

-

0

+

单调递减

极小值

单调递增

当时，函数取极小值，无极大值．

…………（6分）

由（I），∵，∴，∴

，…………（8分）

（i）当，即时，函数在区间不存在零点

（ii）当，即时

若，即时，函数在区间不存在零点

若，即时，函数在区间存在一个零点；

若，即时，函数在区间存在两个零点；

综上所述，在上，我们有结论：

当时，函数无零点；

当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点．

…………（12分）

5．（本小题满分14分）

已知函数．

（I）当时，求函数的最大值；

（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；

解：

（I）当时，

定义域为（1，+），令，………………（2分）

∵当，当，

∴内是增函数，上是减函数

∴当时，取最大值………………（4分）

（II）①当，函数图象与函数图象有公共点，

∴函数有零点，不合要求；………………（8分）

②当，………………（6分）

令，∵，

∴内是增函数，上是减函数，

∴的最大值是，

∵函数没有零点，∴，，

因此，若函数没有零点，则实数的取值范围．………………（10分）

6．（本小题满分12分）

已知是函数的一个极值点（）．

（I）求实数的值；

（II）求函数在的最大值和最小值．

解：

（I）由可得

……（4分）

∵是函数的一个极值点，∴

∴，解得……………（6分）

（II）由，得在递增，在递增，

由，得在在递减

∴是在的最小值；……………（8分）

，∵

∴在的最大值是．……………（12分）

7．（本小题满分14分）

已知函数

（I）当a=18时，求函数的单调区间；

（II）求函数在区间上的最小值．

解：

（Ⅰ），

2分

由得，解得或

注意到，所以函数的单调递增区间是（4，+∞）

由得，解得-2＜＜4，

注意到，所以函数的单调递减区间是.

综上所述，函数的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是 6分

（Ⅱ）在时，

所以，

设

当时，有△=16+4×2，

此时，所以，在上单调递增，

所以 8分

当时，△=，

令，即，解得或；

令，即， 解得.

①若≥，即≥时，

在区间单调递减，所以.

②若，即时间，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以.

③若≤，即≤2时，在区间单调递增，

所以

综上所述，当≥2时，；

当时，；

当≤时， 14分

8．（本小题满分12分）

已知函数在上不具有单调性．

（I）求实数的取值范围；

（II）若是的导函数，设，试证明：

对任意两个不相等正数，不等式恒成立．

解：

（I），………………（2分）

∵在上不具有单调性，∴在上有正也有负也有0，

即二次函数在上有零点………………（4分）

∵是对称轴是，开口向上的抛物线，∴

的实数的取值范围………………（6分）

（II）由（I），

方法1：

，

∵，∴，…………（8分）

设，

在是减函数，在增函数，当时，取最小值

∴从而，∴，函数是增函数，

是两个不相等正数，不妨设，则

∴，∵，∴

∴，即………………（12分）

方法2：

、是曲线上任意两相异点，

，，

………（8分）

设，令，，

由，得由得

在上是减函数，在上是增函数，

在处取极小值，，∴所以

即………………（12分）

9．（本小题满分12分）

已知函数

（I）讨论函数的单调性；

（II）证明：

若

（1）的定义域为，

2分

（i）若，则故在单调增加．

（ii）若

单调减少，在（0，a-1），

单调增加．

（iii）若

单调增加．

（II）考虑函数

由

由于，从而当时有

故，当时，有

10．（本小题满分14分）

已知函数．

（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；

（II）若，设，求证：

当时，不等式成立．

解：

（I），……………（2分）

∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，

∴当时，恒成立，……………（4分）

即恒成立，

∴在时恒成立，或在时恒成立，

∵，∴或………………（6分）

（II），

∵定义域是，，即

∴在是增函数，在实际减函数，在是增函数

∴当时，取极大值，

当时，取极小值，………………（8分）

∵，∴………………（10分）

设，则，

∴，∵，∴

∴在是增函数，∴

∴在也是增函数………………（12分）

∴，即，

而，∴

∴当时，不等式成立．………………（14分）

11．（本小题满分12分）

设曲线：

（），表示导函数．

（I）求函数的极值；

（II）对于曲线上的不同两点，，，求证：

存在唯一的，使直线的斜率等于．

解：

（I），得

当变化时，与变化情况如下表：

＋

0

－

单调递增

极大值

单调递减

∴当时，取得极大值，没有极小值；…………（4分）

（II）（方法1）∵，∴，∴

即，设

，，是的增函数，

∵，∴；

，，是的增函数，

∵，∴，

∴函数在内有零点，…………（10分）

又∵，函数在是增函数，

∴函数在内有唯一零点，命题成立…………（12分）

（方法2）∵，∴，

即，，且唯一

设，则，

再设，，∴

∴在是增函数

∴，同理

∴方程在有解…………（10分）

∵一次函数在是增函数

∴方程在有唯一解，命题成立………（12分）

注：

仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分．

12．（本小题满分14分）

定义，

（I）令函数，写出函数的定义域；

（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；

（III）当且时，求证．

解：

（I），即……………………（2分）

得函数的定义域是，……………………（4分）

（II）

设曲线处有斜率为－8的切线，

又由题设

①②③

∴存在实数b使得有解，……………………（6分）

由①得代入③得，

有解，……………………（8分）

方法1：

，因为，所以，

当时，存在实数，使得曲线C在处有斜率为－8的切线

………………（10分）

方法2：

得，

………………（10分）

方法3：

是的补集，即………………（10分）

（III）令

又令，

单调递减.……………………（12）分

单调递减，

，

………………（14分）