高考广东省数学试卷理科含详细答案.doc
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绝密★启用前试卷类型：
A
2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则集合
A．B．C．D．
2．若复数，，则
A．4B．2+iC．2+2iD．3
3．若函数与的定义域均为R，则
A．与均为偶函数B．为奇函数，为偶函数
C．与均为奇函数D．为偶函数．为奇函数
4．已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则
A．35B．33C．3lD．29
5．“”是“一元二次方程有实数解”的
A．充分非必要条件B．充分必要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
6．如图1，为正三角形，，，
，则多面体的正视图（也称主视图）是
7．已知随机变量服从正态分布，且，则
A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585
8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。
每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。
在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。
如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒
二、填空题：
本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分
（一）必做题（9～13题）
9．函数，的定义域是．
10．若向量，，，满足条件，则．
11．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=．
12．若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是．
13．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中位居民的月均用水量分别为（单位：
吨）．根据图2所示的程序框图，若，且，分别为1，，则输出的结果为．
图3
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图3，是半径为的
圆的两条弦，他们相交于AB的中点P，，
，则＝_________．
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）
（）中，曲线与的交点
的极坐标为______________．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分l4分）
已知函数在时取得最大值4。
（1）求的最小正周期；
（2）求的解析式；
（3）若，求。
17．（本小题满分12分）
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：
克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505
克的产品数量。
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，
设Y为重量超过505克的产品数量，
求Y的分布列。
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2
件产品合格的重量超过505克的概率。
18．（本小题满分14分）
如图5，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，。
（1）证明：
；
（2已知点为线段上的点，
，，求平面与平面所成二面角的正弦值。
19.（本小题满分12分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。
已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素。
另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素。
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
20.（本小题满分14分）
已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线与交点的轨迹的方程；
（2若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值。
21.（本小题满分14分）
设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为
对于平面上给定的不同的两点，,
（1）若点是平面上的点，试证明
（2）在平面上是否存在点，同时满足
①②
若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。
2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1．D．【解析】．
2．A．【解析】
3．B．【解析】．
4．C．【解析】设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。
由与2的等差中项为知，，．
∴，即．，，.
5．A．【解析】由知，．
（或由得，。
），反之不成立，故选A。
6．D．
7．B．【解析】
8．C．【解析】共有5！
=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。
那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9．．【解析】由，得，所以函数的定义域为．
10．2．【解析】，，解得．
11．．【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，，
即．由知，，则，
于是．
12．．【解析】设圆心为，则，解得．
13．．14．．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，.
在中，.
由相交弦定理知，，
即，所以．
15．．【解法1】两条曲线的普通方程分别为．解得
由得点的极坐标为．
【解法2】由得，，
或，或（舍），从而，交点坐标为。
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
，，，，．
17．
（1）重量超过505克的产品数量是
件；
（2）Y的所有可能取值为0，1，2；
，，，
Y的分布列为
（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为
。
18．
（1）证明：
连结，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以。
在中，。
在中，，为等腰三角形，且点是底边的中点，故。
在中，，所以为，且
。
因为，，且，所以平面，
而平面，。
因为，，且，所以平面，
而平面，。
（2）设平面与平面RQD的交线为.
由，，知.
而平面，∴平面，
而平面平面=，
∴.
由
（1）知，平面，∴平面，
而平面，∴，，
∴是平面与平面所成二面角的平面角．
在中，，
，．
在中，由知，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，，即，
。
故平面与平面所成二面角的正弦值为。
3x+2y=16
x+y=7
3x+5y=27
A
B
C
2.5x+4y=0
O
y
9．解：
设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则，且满足以下条件
即
作直线，平移直线至，
x
当经过C点时，可使达到最小值。
由即，
此时，
答:
午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元。
20．
（1）解：
由为双曲线的左右顶点知，
，，两式相乘，
因为点在双曲线上，所以，即，故，
所以，即直线与交点的轨迹的方程为.
（2）解法1：
设，则由知，。
将代入得
，即，
由与E只有一个交点知，，即。
同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，
从而[来，又，。
解法2：
由题意知直线和都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为和，设其方程为，代入椭圆E的方程得
，即
由得，即，
，
21．
（1）证明：
由绝对值不等式知，
当且仅当且时等号成立。
（2）解：
由得
且（Ⅰ）
由得（Ⅱ）
因为，是不同的两点，则：
若且，不妨设，
由（Ⅰ）得且，
由（Ⅱ）得，
此时，点是线段的中点，即只有点满足条件；
若且，同理可得：
只有的中点满足条件；
若且，不妨设且，
由（Ⅰ）得且，
由（Ⅱ）得，
此时，所有符合条件的点的轨迹是一条线段，即：
过的中点，斜率为的直线夹在矩形之间的部分，其中，，，。
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