高中数学基础知识梳理(共十章)(精编版).doc
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高中数学基础知识梳理(共十章)(精编版)
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第一章集合与简易逻辑基础知识梳理
一、集合
⒈集合的概念:
某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集;集合中的每一
个对象叫集合的元素.
元素a在集合M内的表示法,元素a不在集合M内的表示法.
⒉集合中的元素必须具备“三性”:
、、.
⒊空集的意义及记号:
不含任何元素的集合叫空集,空集记作Ø;
⒋常用数集及记号:
⑴非负整数集(零和正整数的全体)——N;
⑵正整数集——N*或N+;
⑶整数集——Z;⑷有理数集——Q;⑸实数集——R.⑹无理数集——CRQ
⒌集合的分类(按集合中的元素个数来分):
⑴有限集——
⑵无限集——
⒍集合的表示法:
⑴列举法——把集合中元素一一列举出来写在大括号内;
⑵描述法——把集合中元素的公共熟性用语言或式子描述出来写在大括号内,其基
本模式是{x|p(x)}.
⒎集合的形象表示法——韦恩图,即用一条封闭的曲线围成的图形(内部)表示集合.
⒏子集、交集、并集、补集:
Ⅰ子集
⑴子集、真子集的意义:
对于两个集合A、B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集
合A叫做集合B的子集,记作AÍB;如果A是B的子集,并且B中至少有一
个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作AB.
⑵子集的性质:
(用Í、填空)
①AA,ØA,若A≠Ø,则ØA;
②若AÍB,BÍC,则AC;③若AB,BÍC,则AC;
④若AÍB,BC,则AC;④若AB,BC,则AC.
⑶子集的个数:
若集合A中有n个元素,则①集合A的子集个数是2n;②集合A的真子集
个数是2n−1;③集合A的非空真子集个数是2n−2.
⑷集合相等的意义:
若集合A与B含有相同的元素,称它们相等,记作A=B;
集合相等的充要条件:
A=BÛAÍB且BÍA.
Ⅱ交集
⑴交集的意义:
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A、B的交集,
A
B
记作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B}
请根据右面的韦恩图打出A∩B的阴影.
⑵交集的性质:
①A∩A=;②A∩Ø=;③A∩B=B∩A;
④若A∩BÍA,则A∩BÍB;⑤若A∩BÍA,则AÍB.
Ⅲ并集
⑴并集的意义:
由所有属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A、B的并
A
B
集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}
请根据右面的韦恩图打出A∪B的阴影.
⑵并集的性质:
①A∪A=;②A∪Ø=;③A∪B=B∪A;
④A∪BÊA;⑤A∪BÊB;⑥A∪B=AÛBÍA
Ⅳ补集
⑴全集、补集的意义:
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合叫做全集,全
集通常用U表示;
设S是一个集合,A是S的一个子集(即AÍS),由S中所有不属于A的元素组
成的集合,叫做集合A的补集(或余集),记作CSA,即CSA={x|x∈S且xÏA}.
S
A
请根据右面的韦恩图打出CSA的阴影.
⑵补集的性质:
①A∪CUA=;②A∩CUA=;③CUU=;
④CUØ=;⑤CU(CUA)=;
⑥CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB);⑦CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB).
⒐集合的元素的个数:
⑴“集合A的元素的个数”可用符号记作;
⑵对任意两个有限集合A,B,有
card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B).
二、简易逻辑
⒈命题概念:
可以判断真假的语句叫做命题.
⒉逻辑联结词:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
⒊简单命题:
不含逻辑联结词的命题叫做简单命题.
⒋复合命题:
由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
⒌真值表:
表示命题的真假的表叫真值表.
⑴非p形式复合命题的真值表(填“真”或“假”)
p
非p
真
假
⑵p且q形式复合命题的真值表(填“真”或“假”)
p
q
P且q
对p且q形式的复合命题,只要p和q中有一个是假即为.
真
真
真
假
假
真
假
假
⑶p或q形式复合命题的真值表(填“真”或“假”)
p
q
P或q
对p或q形式的复合命题,只要p和q中有一个是真即为.
真
真
真
假
假
真
假
假
⒍四种命题:
⑴互逆命题及逆命题的概念:
在两个命题中,如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一
个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题;如果把第一
个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题.
⑵互否命题及否命题的概念:
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的条件的否定
和结论的否定,那么这样的两个命题叫做互否命题;把其中一个命题叫做原命
题,另一个就叫做原命题的否命题.
⑶互为逆否命题及逆否命题的概念:
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的结论的否定
和条件的否定,那么这样的两个命题叫做互为逆否命题;把其中一个命题叫做
原命题,另一个就叫做原命题的逆否命题.
⑷四种命题的一般形式:
(用符号“┐”表示否定)
①原命题:
若p则q;②逆命题:
;
③否命题:
;④逆否命题:
.
⑸四种命题之间的关系:
在下列双箭头符号旁填上相应的文字)
原命题
逆命题
逆否命题
否命题
⑹一个命题的真假与其他三个命题的真假关系:
①原命题为真,它的逆命题;
②原命题为真,它的否命题;
③原命题为真,它的逆否命题.
⑺用反证法证明命题的一般步骤:
①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;
②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
③由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
⒎充分条件和必要条件:
⑴充分条件和必要条件的概念:
若p则q,即pÞq,我们说,p是q的条件,q是p的条件.
⑵充要条件的概念:
若p则q,且若q则p,即pÛq,我们说p是q的条件,
q是p的条件.
第二章函数基础知识梳理
一、映射:
⒈映射的定义:
设A、B是两个集合,按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:
A→B.
⒉象与原象的概念:
给定一个集合A到B的映射,且a∈A,b∈B.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.
⒊一一映射的定义:
设A、B是两个集合,f:
A→B是集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对于集合A中的不同元素,在集合B中都有不同的象,而且B中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B上的一一映射.
二、函数:
⒈函数的传统定义:
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
⒉函数的近代定义:
如果A、B都是非空数集,那么A到B的映射f:
A→B就叫做A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象集合C(CÍB)叫做函数y=f(x)的值域.
函数的三要素是:
、、.
⒊函数的表示法:
解析法、列表法、图象法.
⒋关于区间的概念:
⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为;
⑵满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为;
⑶满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为
或.
以上的实数a与b都叫做相应区间的端点.
⒌函数解析式的求法:
⑴换元法;⑵待定系数法.
⒍求函数定义域的主要依据:
⑴分式中的分母不为0;⑵偶次根式的被开方数不小于零;⑶对数的真数大于零;
⑷零指数幂的底数不等于零;⑸指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;
⑹对于应用问题,要注意自变量所受实际意义的限制.
⒎求函数值域的方法有:
⑴配方法;⑵换元法;⑶判别式法;⑷单调性法;
⑸基本不等式法;⑹数形结合法;⑺反函数法.
三、函数的单调性:
⒈函数单调性的定义:
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.这个区间叫增区间.
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),
那么就说f(x)在这个区间上是减函数.这个区间叫减区间.
注意:
函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集;函数的定义域不一定是函数的单调
区间.
⒉函数单调性的判别方法:
⑴图象法.若函数f(x)的图象在区间D上从左至右是上升(下降)的,则f(x)在区间D上是增(减)函
数;
⑵定义法.其一般步骤是:
①取值.在所给区间上任取x1<x2;
②作差f(x1)−f(x2);
③变形.分解因式或配方等;
④定号.看f(x1)−f(x2)的符号;
⑤下结论.
⑶利用复合函数的单调性:
设y=f(u),u=g(x),已知g(x)在[a,b]上单调递增(或递减),y=f(u)在[g(a),g(b)](或[g(b),g(a)])上单
调,那么复合函数y=f[g(x)]在[a,b]上一定单调,并且有如下结论:
当f(u)与g(x)的单调性相同时,f[g(x)]在[a,b]上为;增(增)=增;减(减)=增.
当f(u)与g(x)的单调性相反时,f[g(x)]在[a,b]上为.增(减)=减;减(增)=减.
⑷利用函数单调性的判定定理:
用定义可直接证出.
①函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性;
②当c>0时,函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性;当c<0时,函数f(x)与cf(x)具有相反的单调
性;
③若f(x)≠0,则函数f(x)与具有相反的单调性;
④若f(x)≥0,则函数f(x)与具有相同的单调性;
⑤若函数f(x),g(x)都是增函数,则f(x)+g(x)也是增函数;(增+增=增)
⑥若函数f(x),g(x)都是减函数,则f(x)+g(x)也是减函数;(减+减=减)
⑦若函数f(x)是增函数,g(x)是减函数,则f(x)−g(x)也是增函数;(增−减=增)
⑧若函数f(x)是减函数,g(x)是增函数,则f(x)−g(x)也是减函数;(减−增=减)
另外还有以下几个重要结论:
(用定义可直接证出)
⑼*两个恒正的增函数的积还是增函数;
⑽*两个恒正的减函数的积还是减函数;
⑾*两个恒负的增函数的积是减函数;
⑿*两个恒负的减函数的积是增函数;
⒊一些特殊函数的单调性:
⑴一次函数y=kx+b,当k>0时,在R上是;当k<0时,在R上是.
⑵二次函数y=ax2+bx+c,
当a>0时,在(−∞,]上为,在[,+∞)上为;
当a<0时,在(−∞,]上为,在[,+∞)上为.
⑶反比例函数y=,当k>0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是;
当k<0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是.
⑷指数函数y=ax,当a>1时,在R上是,当0<a<1时,在R上是.
⑸对数函数y=logax,当a>1时,在(0,+∞)是,当0<a<1时,在(0,+∞)是.
⑹*记住重要函数y=x+的单调性,并会证明:
当x>0时,函数在(0,)上单调递减,在[,+∞]上单调递增;
当x<0时,函数在上单调递减,在上单调递增.
四、函数的奇偶性:
⒈函数奇偶性的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(−x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(−x)=−f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.
注意:
⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于对称.
⑵函数的奇偶性可分为四类:
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数
具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性).
注意:
设函数f(x)的定义域关于原点对称,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条
件是f(x)恒等于0.
例:
f(x)=0,x∈(−1,1);f(x)=0,x∈[−2,2];f(x)=等等.
⒉具有奇偶性函数的图象特征:
⑴奇函数Û图象关于对称;⑵偶函数Û图象关于对称.
⒊判断函数奇偶性的方法:
⑴图象法;
⑵定义法.其一般步骤是:
①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性;
若对称,再进行第二步;
②判断f(−x)与f(x)的关系,并下结论.
若f(−x)=−f(x)且f(x)不恒等于0,则此函数为奇函数;
若f(−x)=f(x)且f(x)不恒等于0,则此函数为偶函数;
若f(−x)=−f(x)且f(−x)=f(x),则此函数为既是奇函数又是偶函数;
若f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数.
⒋函数奇偶性的性质:
⑴两个奇函数的和(或差)仍是奇函数;即:
奇±奇=奇.
⑵两个偶函数的和(或差)仍是偶函数;即:
偶±偶=偶.
⑶奇偶性相同的两个函数的积(或商,分母不为0)为;
即:
奇×奇=偶;偶×偶-偶;奇/奇=偶;偶/偶=偶.
⑷奇偶性相反的两个函数的积(或商,分母不为0)为;
即奇×偶=奇;偶×奇=奇;奇/偶=奇;偶/奇=奇.
⑸奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有
相反的单调性;
⑹定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,即
f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)=,h(x)=.
⑺若f(x)是奇函数,且f(0)有意义,则必有f(0)=.
f(0)=0是f(x)是奇函数的条件.
五、反函数:
⒈定义:
函数y=f(x)(x∈A),设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系,用y的式子表示x,得
到x=φ(y).如果对于C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应那么,
x=φ(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)
的反函数,记作x=f−1(y),习惯上一般用x表示自变量,用y表示函数,所以y=f(x)的反函数
通常写为y=f−1(x).由反函数的定义知
⑴函数y=f(x)与它的反函数y=f−1(x)互为反函数;⑵f[f−1(x)]=x;⑶f−1[f(x)]=x.
⒉函数x=f−1(y)(y∈C,x∈A)、函数y=f−1(x)(x∈C,y∈A)与函数y=f(x)(x∈A,y∈C)的区别与联系:
⑴函数x=f−1(y)与函数y=f−1(x)都是y=f(x)的反函数;
⑵在y=f(x)与x=f−1(y)中,x,y所处的地位不同:
在y=f(x)中,x是自变量,y是x的函数;
在x=f−1(y)中,y是自变量,x是y的函数.
在同一坐标系中y=f(x)与x=f−1(y)的图象;
⑶在y=f(x)与y=f−1(x)中,x,y所处的地位相同,但取值的范围不同:
在y=f(x)中,x∈A,y∈C,而在
y=f−1(x)中,x∈C,y∈A.在同一坐标系中y=f(x)与y=f−1(x)的图象关于直线对称;⒊求函数y=f(x)的反函数的步骤:
⑴求原函数的值域,即反函数y=f−1(x)的定义域;
⑵将y=f(x)看成方程,在其定义域内解出x=f−1(y);
⑶将x,y互换得y=f(x),并注明其定义域.
注意:
求分段函数的反函数,先分别在各段中求出其反函数,然后用大刮号联立.
⒋关于反函数的有关结论:
⑴函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f−1(x)的,函数y=f(x)的值域是它的
反函数y=f−1(x)的;
⑵定义域上的单调函数必有反函数;
⑶互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
⑷若奇函数有反函数,则其反函数也是奇函数;
(注意:
并不是每个奇函数都有反函数,例如:
y=sinx(x∈R).
⑸定义域为非零的偶函数不存在反函数;
注意:
函数f(x)=1,(x∈{0})是不是偶函数(为什么?
)它有没有反函数?
若有,则它的反函数
是.反函数的奇偶性是什么?
答:
.
⑹f[f−1(x)]=,f[f−1(y)]=;
⑺互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.
六、函数图象的变换:
⒈平移变换:
⑴y=f(x)的图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位得到y=f(x−a)的图象;
⑵y=f(x)的图象沿x轴向左平移a(a>0)个单位得到y=f(x+a)的图象;
⑶y=f(x)的图象沿y轴向上平移a(a>0)个单位得到y=f(x)+a的图象;
⑷y=f(x)的图象沿y轴向下平移a(a>0)个单位得到y=f(x)−a的图象.
⒉伸缩变换:
⑴把y=f(x)的图象上所有的点的横坐标变为原来的(a>0)倍,纵坐标不变,可得到y=f(ax)的图象;
⑵把y=f(x)的图象上所有的点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍,横坐标不变,可得到y=Af(x)的
图象;
⒊对称变换:
(一)两个函数图象的对称关系:
⑴y=f(x)与y=−f(x)的图象关于x轴对称;
⑵y=f(x)