高考数学题分类汇编立体几何.doc
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2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编
第8部分:
立体几何
一、选择题:
1．（2010年高考山东卷理科3）在空间，下列命题正确的是
（A）平行直线的平行投影重合
（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行
（D）垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。
【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。
2．（2010年高考全国卷I理科7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为
ABCD
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
2.D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
【解析】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,
则,.
所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.
3．（2010年高考全国卷I理科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
（A）（B）（C）（D）
3.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.
4．（2010年高考福建卷理科6）如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（）
A.∥B.四边形是矩形C.是棱柱D.是棱台
【答案】D
【解析】因为∥，∥，所以∥，又平面，
所以∥平面，又平面，平面平面=，
所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，
∥，所以平面，又平面，故，所以选项B也正确，故选D。
【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。
5．（2010年高考安徽卷理科8）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
A、280 B、292 C、360 D、372
8.C
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
.
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
6．（2010年高考广东卷理科6）如图1，△ABC为三角形，// // , ⊥平面ABC 且3===AB,则多面体△ABC-的正视图（也称主视图）是
【答案】D
7．（2010年高考四川卷理科11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，
是平面内边长为的正三角形，线段、分别
与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是
（A）（B）w_w_w.k*s5*u.co*m
（C）（D）
解析：
由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝w_w_w.k*s5*u.co*m
cos∠BAC＝
连结OM，则△OAM为等腰三角形
AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CDw_w_w.k*s5*u.co*m
而AC＝R,CD＝R
故MN：
CD＝AN:
ACw_w_w.k*s5*u.co*m
ÞMN＝，
连结OM、ON，有OM＝ON＝R
于是cos∠MON＝
所以M、N两点间的球面距离是w_w_w.k*s5*u.co*m
答案：
A
8.（2010年全国高考宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
解析：
如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知
，所以球的半径满足：
，故．
9．（2010年高考陕西卷理科7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【】
1
主视图
左视图
俯视图
（第7小题图）
【答案】C
【解析】由所给三视图知，对应的几何体为一倒放的直三棱柱（如下图所示），其高为，底面满足：
.
故该几何体的体积为.故选.
B
A
C
10．（2010年高考北京卷理科3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
【答案】C
解析：
很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。
11．（2010年高考北京卷理科8）如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积
（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关
（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关
（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关
（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
【答案】D
解析：
这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，的面积永远不变，为面面积的，而当点变化时，它到面的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。
12．（2010年高考江西卷理科10）过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，所成的角都相等，这样的直线可以作
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
13．（2010年高考浙江卷6）设m,l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
【答案】B
14．（2010年高考全国2卷理数9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
（A）1（B）（C）2（D）3
15．（2010年高考全国2卷理数11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点
（A）有且只有1个（B）有且只有2个
（C）有且只有3个（D）有无数个
16.（2010年高考重庆市理科10）到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
（A）直线 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线
【答案】D
解析：
排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B
17.14．（2010年高考辽宁卷理科12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是
（A）（0,）（B）（1,）
（C）（,）（D）（0,）
【答案】A
二、填空题：
1．（2010年高考福建卷理科12）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于.
【答案】
【解析】由正视图知：
三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
，侧面积为，所以其表面积为。
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
2.（2010年高考天津卷理科12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为。
【答案】
【解析】由三视图知：
该几何体是一个底面边长为1、高为2的正四棱柱与一个底面边长为2、高为1的正四棱锥组成的组合体.因为正四棱柱的体积为2,正四棱锥的体积为,故该几何体的体积为.
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图以及棱柱与棱锥体积的求解,考查空间想象能力、识图能力。
3.（2010年高考数学湖北卷理科13）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．
【答案】4
【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.
4．（2010年高考四川卷理科15）如图，二面角的大小是60°，线段.，
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是.
解析：
过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D
连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，
C
D
故∠ADC为二面角的平面角，为60°
又由已知，∠ABD＝30°
连结CB，则∠ABC为与平面所成的角w_w_w.k*s5*u.co*m
设AD＝2，则AC＝，CD＝1
AB＝＝4
∴sin∠ABC＝
答案：
5.（2010年全国高考宁夏卷14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
【解析】三棱锥、三棱柱、圆锥等．
6．（2010年高考江西卷理科16）如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，
且，分别经过三条棱，，作一个截面平
分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的
大小关系为．
【答案】
7．（2010年高考浙江卷12）若某几何体的正视图（单位：
cm）如图所示，
则此几何体的体积是_______cm3.
【答案】144
8．（2010年高考辽宁卷理科15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.
【答案】
9．（2010年高考全国2卷理数16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离．
【答案】3
【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.
【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，
10．（2010年高考上海市理科12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为。
【答案】
11．（2010年上海市春季高考10）各棱长都为1的正四棱锥的体积。
答案：
解析：
由题知斜高，则，故。
12．（2010年上海市春季高考13）
答案：
解析：
将侧面展开可得。
三、解答题：
1．（2010年高考山东卷理科19）（本小题满分12分）
如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：
平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．
【解析】（Ⅰ）证明：
因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：
，解得，
所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，
又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为
，所以平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则
，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以
四棱锥P—ACDE的体积为=。
【命题意图】本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。
2．（2010年高考福建卷理科18）（本小题满分13分）
如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。
（Ⅰ）证明：
平面平面；
（Ⅱ）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。
（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；
（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。
【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。
【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，
而平面，所以平面平面。
（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为
=，又因为，
所以=，当且仅当时等号成立，
从而，而圆柱的体积，
故=当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是。
（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量，由，故，
取得平面的一个法向量为，因为，
所以。
3.（2010年高考天津卷理科19）（本小题满分12分）
如图，在长方体中，分别是棱，上的点，，。
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值：
（Ⅱ）证明⊥平面：
（Ⅲ）求二面角的正弦值。
【命题意图】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
【解析】方法一：
如图所示，建立空间直角坐标系，
点A为坐标原点，设,依题意得,
,
（1）解：
易得,
于是
所以异面直线与所成角的余弦值为
（2）证明：
已知,,
于是·=0，·=0.因此，,,又
所以平面
（3）解：
设平面的法向量，则,即
不妨令X=1,可得。
由
（2）可知，为平面的一个法向量。
于是，从而
所以二面角的正弦值为
方法二：
（1）解：
设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=
链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为
（2）证明：
连接AC，设AC与DE交点N因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.
连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED
（3）解：
连接A1N.FN,由
（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角
易知，所以，又所以，在
连接A1C1,A1F在
。
所以
所以二面角A1-DE-F正弦值为。
4.（2010年高考数学湖北卷理科18）（本小题满分12分）
如图,在四面体ABOC中，OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.
（Ⅰ）设P为AC的中点.证明：
在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算=的值；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
[来源:
学科网ZXXK]
5.（2010年高考湖南卷理科18）（本小题满分12分）
如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。
（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？
证明你的结论。
AD
BC
A1D1
B1C1
E
图5
【解析】
所以，取n.
设F是棱C1D1上的点，则F（t,1,1）（0≤t≤1），又B1（1，0，1），所以
n
这说明在在棱C1D1上是否存在一点F（），使B1F//平面A1BE
解法2如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM//AD。
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中。
AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝，于是
在RT△BEM中，
6.（2010年高考安徽卷理科18）（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。
（Ⅰ）求证：
∥平面；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求二面角的大小。
7．（2010年高考广东卷理科18）（本小题满分14分）
如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a．
图5
（1）证明：
EB⊥FD；
（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值．
【解析】
（2）设平面与平面RQD的交线为.
由BQ=FE,FR=FB知,.
而平面，∴平面，
而平面平面=，
∴.
由
（1）知，平面，∴平面，
而平面，平面，
∴，
∴是平面与平面所成二面角的平面角．
在中，，
，．
．
故平面与平面所成二面角的正弦值是．
8.（2010年高考全国卷I理科19）（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.
（Ⅰ）证明：
SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.
【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.
（19）【解析】解法一：
（Ⅰ）连接BD,取DC的中点G，连接BG,
由此知即为直角三角形，故.
又,
所以，.
作，
（Ⅱ）由知
.
故为等腰三角形.
取中点F,连接,则.
连接，则.
所以，是二面角的平面角.
连接AG,AG=,,
所以，二面角的大小为120°.
解法二：
以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，
由,得
，
故.
令，则.
9．（2010年高考四川卷理科18）（本小题满分12分）w_ww.k#s5_u.co*m
已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：
OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.
10．（2010年高考江苏卷试题16）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
（1）求证：
PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离。
[解析]本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
满分14分。
（1）证明：
因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由
（1）知：
BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。
（方法二）体积法：
连结AC。
设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得的面积。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以。
由PC⊥BC，BC=1，得的面积。
由，，得，
故点A到平面PBC的距离等于。
11.（2010年全国高考宁夏卷18）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（1）证明：
PEBC
（2）若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值
（18）解：
以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则
（Ⅰ）设
则
可得
因为
所以
（Ⅱ）由已知条件可得
设为平面的法向量
则即
因此可以取，
由，
可得
所以直线与平面所成角的正弦值为
12．（2010年高考陕西卷理科18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √ 2，E，F分别是AD，PC的重点
（Ⅰ）证明：
PC ⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
解法一（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。
∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形。
∴A，B，C，D的坐标为A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2 √ 2,0），D（0，2 √ 2，0），P（0,0,2）
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E（0，√ 2，0）,F（1，√ 2，1）。
∴=（2，2 √ 2，-2）=（-1，√ 2，1）=（1,0,1），
∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,[来源:
Z
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