广东省高州市2006年“缅茄杯”学科竞赛数学试题.doc
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高州市2006年“缅茄杯”学科竞赛
数学试卷
【温馨提示】亲爱的同学，全卷在120分钟内完成，满分150分。
题次
一
二
三
21
22
23
24
25
总分
得分
一、选择题：
（每小题给出的四个供选答案中只有一个正确的，把你认为正确答案的代号填放表格内，每小题4分，共40分，）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1．计算的结果是
A． B． C．1 D．
2．已知点P关于轴的对称点的坐标是（2，3），则点关于原点的对称点的坐标是
A． B． C． D．
3．某商品提价后出现滞销现象，故又降价20%欲恢复原价搞热销，则原提价的百分数是
A．20% B．18% C．25% D．30%
4．如图，在Rt中，的值为
A． B． C． D．
5．小刚想打电话约小明星期六下午到羽毛球馆打羽毛球，但电话号码（七位数）中有一个数字记不起来了，只记得66*1689，他随意拨了一个数码补上，恰好是小明家电话的概率为
A． B． C． D．
6．已知五个互不相等的自然数的平均数是13，中位数是15，则这五个数的极差的最大值是
A．4 B．16 C．33 D．38
7．已知二次函数的图象如图所示，则、、满足
A． B．
C． D．
8．初三
（1）班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树（）棵[来源:
学科网]
A．9 B．10 C．12 D．14
9．已知实数、、满足++=0，=8，那么的值
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定
10．设直线（为非零自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为
A．1 B． C． D．
二、填空题：
（每小题4分，共20分）
11．已知,则=，=，=，=。
12．如果方程的一根是另一根的2倍，那么、所满足的关系是。
13．已知函数是是反比例函数，则n的值是。
[来源:
Z*xx*k.Com]
14．E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，
如果△BEG的面积是1，则平行四边形ABCD的面积是。
15．从下图的规律中推算得第6个图的小圆圈是个，第n个图中的小圆圈是个。
……
三、解答下列各题：
（每小题8分，共40分）
16．已知的值。
17．测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角是，沿着倾斜角的山坡前进1000米到D处，再测得山顶B的仰角是，你能根据以上数据求出山高BC吗？
若能，写出解答过程；若不能，请说明理由。
18．小强利用星期天通过骑自行车运动来锻炼身体和意志毅力。
上午吃完早餐，从9时离家出发，至15时回到家中，他的行程如图所示。
（1）、请你根据图示提供的信息，凭你的想象力，用语言叙述出小强的整个行程；
（2）、分别求出小强在整个行程中的最高时速、最低时速和平均速度（停车时间不计）。
（结果保留两位有效数字）
19．佳惠平价商场为庆祝“三八”妇女节，对顾客的购物实行优惠，规定：
（1）、一次购物不超过100元不优惠；
（2）、一次购物超过100元，但不超过300元，按标价的九折优惠；（3）、超过300元，300元内（含）的部分按
（2）优惠，超过300元的部分按八折优惠。
教英语的李老师去购物享受了九折优惠。
与李老师一起去购物的张老师享受了部分八节优惠。
如果两位老师把要购买的东西由一人前去柜台交款，则还可少花19元；如果不打折，两位老师所购商品共比现在多花67元钱，问两位老师此次购物各用了多少钱？
·B
·A
L
20．在上级领导的关怀和支持下，洛湛铁路确定经过高州市，香蕉之乡曹江镇（A）和荔枝之乡根子镇（B）都在铁路（L）的同一侧。
（1）、现要在铁路旁建一铁路货运站，使两个镇距货运站的距离之和最短，请你在图中确定建货运站的地点C；
（2）、但有人认为货运站应建在距两镇等距离的地方，能否确定符合要求的建站地点C1？
若能，请确定符合要求的建站地点C1，若不能，请说明理由。
（均用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹。
）
四、解答题：
（每小题10分，共50分）
21．A、B两校举行初中数学联赛，各校从初三学生中挑选50人参加，成绩统计如下表：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
A
2
5
10
13
14
6
B
4
4
16
2
12
12
请你根据所学知识和表中数据，判断这两校学生在这次联赛中成绩谁优谁次？
并说明理由。
22．如图，四边形ABCD与BEFG均为正方形。
（1）、图中（指原图）是否有三角形全等？
若有，请证明你的结论；若没有，请说明理由。
（2）、求AG：
DF：
CE的值。
A
D
G
F
C
B
E
23．水果商李老板在高州市收购有香蕉120吨，在海口市收购有香蕉60吨，现要销往北京100吨，沈阳80吨（全部用汽车运输）。
已知从高州运一吨香蕉到北京和沈阳分别需800元和1000元；从海口运一吨香蕉到北京和沈阳分别需1000元和1300元。
（1）、设从海口运往北京吨，求总运费y（元）关于（吨）的函数关系式；
（2）、李老板计划用17万元开支运费，够用吗？
（3）、若每辆车装10吨，且不能浪费车力。
李老板要把总运费控制在不超过17.5万元，有多少种调运方案可实现？
（4）请根据前面的要求画出这一函数的图象。
·
·
·
O
C
F
E
O1
A
B
24．相交于A、B，R、r分别为的半径，且。
（1）、C在上，且是相交所得劣弧的中点，过C作的切线交于E、F，求证：
为定值；
（2）、如果按前面的条件不变，而是过劣弧上任一点G作的切线与相交（A、B、C三点除外），
（1）中的结论仍成立吗？
请画出图形，并证明你的结论。
·
O
P
C
F
D
E
A
B
25．如图，ABCD为平行四边形，以BC为直径的经过点A，，BC=2，一动点P在AD上移动，过点P作直线AB的垂线，分别交直线AB、CD于E、F，设点O到EF的距离为t，若B、P、F三点能构成三角形，设此时△BPF的面积为S。
（1）计算平行四边形ABCD的面积；
（2）、求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）、△BPF的面积存在最大值吗？
若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由。
高州市2006年“缅茄杯”学科竞赛
数学答案
一、选择题：
（每小题4分，共40分，）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
D
D
C
A
B
B
C
二、填空题：
（每小题4分，共20分）
11、1，3，， 12、（形式可以不同，如、等）13、2 14、12 15、21，
三、解答下列问题：
（每小题8分，共40分）
16、解：
由………………（1分）
…………（3分）
……………………………………………（5分）
……………………………………………（7分）
………………………………………（8分）
17．解：
能。
…………………………………………………………（1分）
过D作DFAC于F，…………………………………（2分）
………………………………（3分）
……………（4分）
………（5分）
………………………（6分）
…………………………………（7分）
答：
山高为…………………………（8分）
18．解：
（1）小强对健身运动很有经验，开始是慢速热身运动半小时，然后提速走了1.5小时，停下休息进餐用了1小时，便开始返回，走了1.5小时，觉得体能下降，比较累了，停下休息了半小时，再以中速走1小时回到家中；…………（4分）
（2）最高时速是：
（公里/时）……………………………（5分）
最低时速是：
（公里/时）……………………………（6分）
平均速度是：
（公里/时）……………………………（7分）
答：
最高时速约是33公里/时，最低时速是10公里/时，平均速度约是24公里/时。
……（8分）
19．解：
设李老师购物按原标价共用元，则实际支付0.9元；张老师购物按原标价共用y元，实际支付了，依题意得…………………（2分）
……②
……①
………（4分）
由①得，代入②得……………………………（6分）
…………（7分）
答：
实际李老师购物用了171元，张老师购物用了342元。
……………（8分）
20．
（1）按要求作图正确得4分；
（2）能。
按要求作图正确4分，累计
（1）共8分。
四、解答题
21．解：
（1）从众数看，A校成绩的众数为90，B校成绩的众数为70，A校较优…（2分）
（2）从方差看，A校学生的成绩较稳定……（5分）
（3）从中位数、平均数上看，两校成绩的中位数、平均数都80分，但A较80以上人数为33人，B校只有26人，A校的成绩总体好些。
…………（8分）
（4）A校90分以上有20人，B校有24，且A校100分只有6人，B校有12人，即是说B校的尖子较突出。
…………………………………………………（10分）
22．解：
（1）………………………………（2分）
证明：
均为正方形，BF为BEFG的对角线,
……………………………（3分）
…………（4分）
AB=BC,BG=BE……………………………（5分）
（2）连结BD,ABCD为正方形得
由
（1）知…………（6分）
由ABCD与BEFG为正方形可知,
∽………………………………………（7分）
……………………………（8分）
由…………………………………（9分）
……………………………（10分）
23．解：
（1）依题意，知从海口运往沈阳的香蕉为（60）吨，从高州运往北京的香蕉为（100）吨，从高州运往沈阳的香蕉为[120（100）]吨，……得y=1000+1300（60）+800（100）+1000[120（100）]……化简整理得…（3分）
（2）由y=可知y的最小值为：
，李老板计划用17万元开支运费不够用；………（5分）
运往地方
数量
产地
（3）总运费控制在不超过17.5万元，得，解得，依题意知可以取30、40、50、60，即有四种调运方案，具体安排见下表
北京
沈阳
高州
70
60
50
40
50
60
70
80
海口
30
40
50
60
30
20
10
0
………………………（8分）
（4）由函数、10、20、30、40、50、60）知x、y的对应值如下表。
x（吨）
0
10
20
30
40
50
60
y（万元）
17.8
17.7
17.6
17.5
17.4
17.3
17.2
………………………（9分）
图象为直线
24．
（1）证明：
如图
（1）过作直径交于，连结DE、O1A、O1B、OA、OB…………………………………………………………………………………（1分）
由OA=OB，，……………（2分）
又……（3分）
，
∽…………（5分）
由垂径定理知………（6分）
（1）中的结论仍成立。
……………………………………（7分）
证明：
如图
（2），作、，…（8分）
则EF是的切线，
∽…………………（9分）
。
………（10分）
25．解：
（1）连结AC，
在平行四边形ABCD中，
……（3分）
（2）作OA
在矩形ACFE中，CF=AE，AC=EF=，，
在平行四边形ABCD中，CD=AB=1，，
，
·
O
P
C
F
D
E
A
B
……（8分）
（3）存在，由
得……（10分）
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