广州市高二数学竞赛题及答案.doc
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学校姓名考号
学校
2008年广州市高二数学竞赛试卷
题号
一
二
三
合计
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
得分
评卷员
考生注意:
⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答;
⒉不准使用计算器;
⒊考试用时120分钟,全卷满分150分.
一、选择题:
本大题共4小题,每小题6分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内.
1.若集合有4个子集,则实数的取值范围是()
A.B.R
C.RD.且R
2.已知函数则等于()
A.B.C.D.
3.在空间直角坐标系中,点的坐标分别为、、、,则三棱锥的体积是()
A.2B.3C.6D.10
4.已知直线与圆R有交点,则
的最小值是()
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题6分,共36分.把答案填在题中横线上.
5.△的三个内角所对的边分别为,若,
则.
6.已知直角梯形的顶点坐标分别为,
则实数的值是.
7.在数列中,=2,N,设为数列的前n项和,则
的值为.
8.已知三点在同一条直线上,为直线外一点,若0,
R,则.
9.一个非负整数的有序数对,如果在做的加法时不用进位,则称为“奥运数对”,称为“奥运数对”的和,则和为的“奥运数对”的个数有___________个.
10.如图1所示,函数的图象是圆心在点,半径为1的两段
圆弧,则不等式的解集是.
三、解答题:
本大题共5小题,共90分.要求写出解答过程.图1
11.(本小题满分15分)
已知函数(R,)的部分图象如图2所示.
(1)求的值;
(2)若关于的方程在内有解,求实数m的取值范围.
图2
12.(本小题满分15分)
如图3所示,在三棱柱中,底面,
.
(1)若点分别为棱的中点,求证:
平面;
(2)请根据下列要求设计切割和拼接方法:
要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体.简单地写出一种切割和拼接方法,
并写出拼接后的长方体的表面积(不必计算过程).
图3
13.(本小题满分20分)
已知点,是椭圆:
上不同的两点,线段的中点为.
(1)求直线的方程;
(2)若线段的垂直平分线与椭圆交于点、,试问四点、、、是否在同一个圆
上,若是,求出该圆的方程;若不是,请说明理由.
学校姓名考号
学校
14.(本小题满分20分)
已知在数列中,,(ÎR,ÎR且¹0,N).
(1)若数列是等比数列,求与满足的条件;
(2)当,时,一个质点在平面直角坐标系内运动,从坐标原点出发,第1次向右运动,第2次向上运动,第3次向左运动,第4次向下运动,以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动,设第次运动的位移是,第次运动后,质点到达点,求数列的前项和.
15.(本小题满分20分)
已知函数R,且.
(1)当时,若函数存在单调递减区间,求的取值范围;
(2)当且时,讨论函数的零点个数.
2008年广州市高二数学竞赛参考答案
一、选择题:
本大题共4小题,每小题6分,共24分.
1.D2.C3.A4.B
二、填空题:
本大题共6小题,每小题6分,共36分.
5.6.7.8.09.2710.
三、解答题:
本大题共5小题,共90分.要求写出解答过程.
11.(本小题满分15分)
解:
(1)由图象可知函数的周期为()=,
∴.
函数的图象过点,
∴且.
∴
解得:
.
∴.
(2)由
(1)得.
当时,,得.
令,则.
故关于的方程在内有解等价于关于的方程
在上有解.
由,得.
,
∴.
∴实数m的取值范围是.
12.(本小题满分15分)
(1)证法一:
以点为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,依题意得、
.
∴,,.
∴.
∴.
平面,平面,.
∴平面.
证法二:
连结,
底面,平面,
∴.
,分别为棱的中点,
∴.
,
∴Rt△Rt△.
∴.
∴.
∴.
∴
,
∴平面.
∴.
,
∴平面.
平面,
∴.
同理可证.
,
∴平面.
(2)切割拼接方法一:
如图甲所示,分别以的中点所确定的平面为截面,把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体(该长方体的一个底面为长方形如图①所示,),此时所拼接成的长方体的表面积为16.
图甲图①
切割拼接方法二:
如图乙所示,设的中点分别为,以四点所确定的平面为截面,把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体(该长方体的一个底面为正方形),此时所拼接成的长方体的表面积为.
图乙图②
13.(本小题满分20分)
解一:
(1)点,是椭圆上不同的两点,
∴,.
以上两式相减得:
,
即,,
∵线段的中点为,
∴.
∴,
当,由上式知,则重合,与已知矛盾,因此,
∴.
∴直线的方程为,即.
由消去,得,解得或.
∴所求直线的方程为.
解二:
当直线的不存在时,的中点在轴上,不符合题意.
故可设直线的方程为,.
由消去,得(*)
.
的中点为,
.
.
解得.
此时方程(*)为,其判别式.
∴所求直线的方程为.
(2)由于直线的方程为,
则线段的垂直平分线的方程为,即.
由得,
由消去得,设
则.
∴线段的中点的横坐标为,纵坐标.
∴.
∴.
∵,
,
∴四点、、、在同一个圆上,此圆的圆心为点,半径为,
其方程为.
14.(本小题满分20分)
解:
(1),,¹0,
①当时,,显然是等比数列;
②当时,.
数列是等比数列,
∴,即,化简得.
此时有,得,
由,¹0,得(N),则数列是等比数列.
综上,与满足的条件为或().
(2)当,时,
∵,
∴,
依题意得:
,,…,
∴.
∴.
∴.
∴
.
令①
②
①-②得
.
∴.
∴.
15.(本小题满分20分)
解:
(1)当时,函数,其定义域是,
∴.
函数存在单调递减区间,
∴在上有无穷多个解.
∴关于的不等式在上有无穷多个解.
①当时,函数的图象为开口向上的抛物线,
关于的不等式在上总有无穷多个解.
②当时,函数的图象为开口向下的抛物线,其对称轴为
.要使关于的不等式在上有无穷多个解.
必须,
解得,此时.
综上所述,的取值范围为.
另解:
分离系数:
不等式在上有无穷多个解,
则关于的不等式在上有无穷多个解,
∴,即,而.
∴的取值范围为.
(2)当时,函数,其定义域是,
∴.
令,得,即,
,
,,则,
∴
当时,;当1时,.
∴函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
∴当时,函数取得最大值,其值为.
①当时,,若,则,即.
此时,函数与轴只有一个交点,故函数只有一个零点;
②当时,,又,
函数与轴有两个交点,故函数有两个零点;
③当时,,函数与轴没有交点,故函数没有零点.
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